Коротков А. Эконометрика. Вводный курс. Решение задач
Подождите немного. Документ загружается.
Московский Государственный Университет
Экономический факультет
Кафедра математических методов анализа экономики
Эконометрика: вводный курс
Решение задач
Незаконченная рабочая версия: комментарии приветствуются
14 сентября 2006 г.
Москва, 2006
Содержание
Введение 4
Задачи 5
Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Задача 1. Преобразовать регрессоры линейно . . . . . . . . . . . . 6
Задача 2. Сравнить оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Задача 3. Ещё раз сравнить оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Задача 4. Неверно специфицировать . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Задача 5. Провести декомпозицию оценок . . . . . . . . . . . . . . 7
Задача 6. Арифметика регрессии: посчитать . . . . . . . . . . . . . 7
Задача 7. Гипотезы: протестировать . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Задача 8. Различные R
2
: проварьировать . . . . . . . . . . . . . . . 8
Задача 9. Прорегрессировать на константу . . . . . . . . . . . . . . 9
Задача 10. Проверить на сезонность . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Задача 11. Модели: сравнить . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Задача 12. Стандартная гипотеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Задача 13. Модель: обратить . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Задача 14. Модели: нащупать связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Задача 15. Данные: агрегировать . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Задача 16. Оценки: взвесить . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Задача 17. Оценки МНК: модицифировать . . . . . . . . . . . . . . 12
Задача 18. Фиктивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Задача 19. Бинарный выбор: выбрать . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Задача 20. Probit: додумать . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Задача 21. ММП: справдоподобить . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Анализ временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задача 1. ACF и экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задача 2. Начальные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задача 3. Бернулли и стационарность . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задача 4. Импульсы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задача 5. Brief & Exhaustive
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задача 6. Порисовать . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Задача 7. Ещё порисовать . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Задача 8. Стационарная модель: спрогнозировать . . . . . . . . . . 17
1
c
названия – Станислав Анатольев
1
Задача 9. ARMA: автопосчитать . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Задача 10. Тип стационарности: предъявить . . . . . . . . . . . . . 18
Задача 11. Нестационарная модель: спрогнозировать . . . . . . . . 18
Задача 12. Посмотреть в бесконечность . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Решения 19
Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Задача 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Задача 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Задача 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Задача 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Задача 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Задача 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Задача 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Задача 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Задача 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Задача 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Задача 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Задача 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Задача 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Задача 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Задача 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Задача 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Задача 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Задача 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Задача 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Задача 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Задача 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Анализ временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Задача 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Задача 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Задача 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Задача 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Задача 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Задача 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Задача 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Задача 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Задача 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
Задача 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Задача 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Задача 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Приложения 48
Приложение 1. Задачи из экзаменов 49
Задача 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Задача 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Задача 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Задача 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Задача 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Задача 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Задача 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Задача 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Задача 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Задача 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Задача 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Задача 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Задача 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Задача 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Задача 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Задача 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Приложение 2. Пример расчетного задания по анализу временных
рядов
2
57
Приложение 3. О выборочной ковариации 59
Приложение 4. Уровень значимости и мощность тестов 60
Приложение 5. Законы больших чисел и предельные теоремы 62
2
Задание написано Ольгой Горелкиной (gorelkina@yandex.ru).
3
Введение
In theory, theory and practice are the same.
In practice, they are not.
c
Неизвестный автор
Экономика — это общественная наука, которая анализирует поведение ра-
зумных существ (людей, марсиан) в условиях ограниченности ресурсов.
3
Эконо-
метрика является составной часть ю экономики и нацелена на моделирование
экономических реалий и верификацию/фальсификацию экономических моде-
лей с использованием инструментов математической статистики и средств ста-
тистического анализа.
В этой небольшой книжице собраны задачи, которые автор давал в качестве
домашних заданий (которые мало кто делал :-) студентам экономфака МГУ в
2005 году. Копирайты на большинство из них принадлежат, видимо, Магнусу-
Катышеву-Пересецкому, хотя ни в одном из рассмотренных автором источников
это отмечено не было.
Составитель сборника желает всем приятного изучения эконометрики и на-
деется, что книга сослужит в этом деле доб рую службу.
Александр Коротков
akorotkov@bk.ru
14 сентября 2006 г.
3
c
В.М. Маракулин.
4
Задачи
Регрессионный анализ
Задача 1. Преобразовать регрессоры линейно
Как изменится качество оценки модели парной регрессии, если в место перемен-
ной X будет использоваться переменная Z = c · X, где c — константа?
Задача 2. Сравнить оценки
Пусть модель Y
i
= α+βX
i
+ε
i
, i = 1, . . . n, удовлетворяет условиям классической
модели линейной регрессии. Рассматривается с ледующая оценка коэффициента
β:
e
β =
1
n
n
X
i=1
Y
i
− Y
X
i
− X
.
a) Является ли оценка
e
β несмещённой? Является ли она линейной?
б) Вычислите дисперсию оценки
e
β.
в) Проверьте теорему Гаусса-Маркова, сравнив полученную оценку дисперсии
оценки
e
β с дисперсией оценки МНК σ
2
/
P
n
i=1
X
i
− X
2
.
Задача 3. Ещё раз сравнить оценки
Пусть истинная модель (data generating model) есть
Y
i
= βX
i
+ u
i
,
где E (u
i
) = 0, cov (u
i
, u
j
) = 0 при i 6= j и σ
2
при i = j. Пусть Z
i
= X
3
i
.
Рассмотрим следующую оценку параметра β:
e
β =
P
Z
i
Y
i
P
Z
i
X
i
.
а) Является ли эта оценка несмещённой?
б) Покажите прямым вычислением, что D
b
β 6 D
e
β, где
b
β — МНК-оценка.
6
Задача 4. Неверно специфицировать
Предположим, что модель Y
i
= α + βX
i
+ ε
i
, i = 1, . . . n, удовлетворяет усло-
виям классической модели линейной регрессии. Пусть bα,
b
β — оценки метода
наименьших квадрат ов , а оценка eα получена при дополнительном (вообще го-
воря, неверном) предположении, что β = 0.
а) Является ли оценка eα несмещённой?
б) Вычислите дисперсию оценки eα и сравните её с дисперсией МНК-оценки bα.
в) Какую из оценок и почему, по-вашему, лучше использо ва ть ?
Задача 5. Провести декомпозицию оценок
Зависимая переменная в регрессии Y
i
= α + βX
i
+ ε
i
разбивается на две компо-
ненты: Y
i
= Y
1i
+Y
2i
. Рассмотрим две регрессии для компонент: Y
1i
= α
1
+βX
i
+
ε
1i
и Y
2i
= α
2
+ βX
i
+ ε
2i
. Докажите следующие соотношения для МНК-оценок
трёх регрессий: bα = bα
1
+ bα
2
;
b
β =
b
β
1
+
b
β
2
.
Задача 6. Арифметика регрессии: посчитать
Пусть есть классическая модель линейной регрессии Y
i
= α + βX
i
+ ε
i
. МНК-
оценки коэффициентов равны bα и
b
β. Оценка дисперсии ошибки есть s
2
=
(
P
e
2
i
) /(n − 2), где e
i
— остатки регрессии. Введём следующие обозначения:
S
xx
=
X
x
2
i
, S
yy
=
X
y
2
i
, S
xy
=
X
x
i
y
i
.
Как и обычно, r
xy
— выборочный коэффициент корреляции между X и Y .
а) Выразите
b
β, s
2
, R
2
, s
2
b
β
через S
xx
, S
xy
, S
yy
.
б) Покажите, что выбо рочный коэффициент корреляции r
xy
равен
b
β
q
S
xx
S
yy
.
в) Пусть
b
Y
i
= bα +
b
βX
i
. Покажите, что
P
b
Y
i
− Y
2
= S
2
xy
/S
xx
и
P
e
2
i
=
(1 − r
xy
) S
yy
.
7
Задача 7. Гипотезы: протестировать
Имеется 50 наблюдений (X
i
, Y
i
). Известно, что
X
X
i
= 24.909,
X
Y
i
= 17.704,
X
X
2
i
= 16.269,
X
Y
2
i
= 67.886,
X
X
i
Y
i
= 12.120.
По этим наблюдениям методом наименьших квадратов оценивается классиче-
ская модель парной регрессии
Y
i
= β
1
+ β
2
X
i
+ ε
i
.
а) Найдите оценки коэффициентов, коэффициент детерминации, сумму квад-
ратов остатков.
б) Тестируйте на 5%-ном уровне значимости гипотезу H
0
: β
1
= 0. Найдите
P -значение теста.
4
в) Тестируйте на 5%-ном уровне значимости гипотезу H
0
: β
2
= 1.7. Найдите
P -значение теста.
г) Тестируйте на 5%-ном уровне значимости гипотезу H
0
: β
1
= 0 & β
2
= 1.7.
Найдите P -значение теста.
Задача 8. Различные R
2
: проварьировать
Для наблюдений
Y = (70, 65, 55, 60, 50, 35, 40, 30, 25, 32) ,
X = (5, 11, 15, 17, 20, 22, 25, 27, 30, 35)
вычислите следующие величины:
а) коэффициент детерминации R
2
в регрессии Y
i
на X
i
при на личии свобод-
ного члена;
б) коэффициент детерминации R
2
в регрессии Y
i
на X
i
при отсутствии сво-
бодного члена;
4
Неформально, P -значением (P -value) теста называется вероятность принять статисти-
кой, на которой построен тест, значения, ещё «лучшие» с точки зрения отвержения нулевой
гипотезы. Подробнее см. Магнус, 6-е издание, с. 540 (Приложение МС, проверка гипотез).
8
в) коэффициент детерминации R
2
в регрессии y
i
на x
i
при наличии свобод-
ного члена;
г) коэффициент детерминации R
2
в регрессии y
i
на x
i
при отсутствии сво-
бодного члена.
Задача 9. Прорегрессировать на константу
Рассмотрим модель регрессии на константу
Y
i
= α + ε
i
, i = 1, . . . , n.
а) Найдите МНК-оценки для α и σ
2
.
б) Найдите дисперсию оценки bα.
в) Покажите, что статистика (bα − α) /s
bα
имеет распределение T
n−1
(Стьюден-
та).
г) Чему равен коэффициент детерминации R
2
?
Задача 10. Проверить на сезонность
На основе квартальных данных с 1971 по 1976 г. с помощью МНК получено
следующее уравнение (в скобках указаны стандартные отклонения):
Y
t
= 1.12
(2.14)
− 0.0098
(0.0034)
X
t1
− 5.62
(3.42)
X
t2
+ 0.044
(0.009)
X
t3
,
RSS = 110.32, ESS = 21.43.
a) Проверить значимость каждого из коэффициентов.
б) Проверить значимость регрессии в целом.
в) Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответ-
ствующие трем первым кварталам года, величина RSS выросла до 118.20.
Проверить гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необходимые
предположения о виде этой сезонности.
5
5
Указание: см. тестирование гипотез вида H
0
: β
k−q+1
= β
k−q+2
= . . . = β
k
= 0 в 6-м
издании Магнуса et al, стр. 82.
9