Кормильцев В.В., Ратушняк А.Н. Моделирование геофизических полей при помощи объемных векторных интегральных уравнений

Подождите немного. Документ загружается.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ГЕОФИЗИКИ

В.В. Кормильцев

А.Н. Ратушняк

Моделирование

геофизических полей

при помощи объемных

векторных

интегральных

уравнений

ЕКАТЕРИНБУРГ 1999

УДК 550.3+550.83

В.В. Кормильцев, А.Н. Ратушняк. Моделирование

геофизических полей при помощи объемных векторных

интегральных уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. ISBN 5-

7691-0896-7.

Рассмотрены объемные векторные интегральные уравнения для

градиентов электрического потенциала, давления, температуры,

концентрации, для напряженности магнитного поля магнетиков в слу-

чае нескольких внутренне неоднородных по физическим свойствам

трехмерных тел, находящихся в однородном полупространстве. По-

лучены также интегральные уравнения для перекрестных и смешан-

ных эффектов, таких как электрические потенциалы течения и диф-

фузии, электроосмотическое давление, перенос тепла в фильтрую-

щей среде. Для сложно построенных геологических сред приведены

многочисленные примеры расчета электрического и магнитного поля

токов, магнитного поля сильно намагничивающихся тел, поля ско-

ростей при течении Дарси включая случай нестационарной филь-

трации сжимаемого флюида, электрического и магнитного поля при

течении Дарси, температур и тепловых потоков при наличии допол-

нительного конвективного переноса.

Изложенные материалы предназначены для лиц, изучающих и

применяющих геофизику и геофизические методы разведки.

Ил. 22. Библиогр. 33 назв.

Ответственный редактор

доктор физико-математических наук Ю.В.Хачай

Рецензенты

доктор физико-математических наук профессор А.Н.Мезенцев

кандидат физико-математических наук Н.В.Федорова

ISBN 5-7691-0896-7

164(98)

8 6(03)1998

Б О

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена расчетам потенциальных полей и включает

элементы теории, алгоритмическую и программную реализацию, а

также анализ пространственных и временных закономерностей полей

в однородной среде, содержащей трехмерные неоднородности и сто-

ронние источники. В стационарном случае такие задачи приводят к

интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. В нестационарном

случае эти уравнения могут быть записаны для Лапласовых изобра-

жений. Принадлежность исходных дифференциальных уравнений к

эллиптическому типу позволила разработать единый алгоритм расче-

та. Алгоритмы реализованы на языке FORTRAN-77. Основная про-

грамма для расчета какого-либо поля поддержана программами для

визуализации входной и выходной информации и объединена с ними

в пакет.

Математическое моделирование потенциальных полей является

частью геофизических методик, развивая представления об изучае-

мых объектах и возможностях их исследования. Под потенциалом

здесь понимают электрический потенциал, потенциал магнитного поля

магнетиков, температуру, давление флюида и концентрацию раство-

ренного в нем вещества. Будут рассмотрены такие задачи как пере-

распределение постоянного электрического тока электропроводными

объектами и связанное с этим аномальное магнитное поле токов, вы-

званная поляризация, намагничивание неоднородного магнетика зем-

ным магнитным полем и его вариациями, стационарное и нестацио-

нарное распределение температур при кондуктивном переносе тепла,

течение сжимаемого и несжимаемого флюида в порах горной породы

(течение Дарси), изменение концентрации растворенных газов или

электролитов при их диффузии. В качестве модели cреды использо-

вано однородное полупространство, часть которого занимает одна

или несколько неоднородных областей с зависящими от координат

свойствами: электропроводностью, коэффициентом вызванной поля-

ризации (поляризуемостью), магнитной или гидравлической прони-

цаемостями, теплопроводностью, пористостью, коэффициентом по-

тенциала течения. Каждая из этих задач приводит к векторному инте-

гральному уравнению относительно градиента соответствующего по-

тенциала.

Рассмотрены также смешанные и перекрестные эффекты в гор-

ных породах, такие как электрическое поле течения Дарси, электриче-

ское поле, возникающее при диффузии электролита, течение Дарси,

возникающее при наложении электрического поля (электроосмос),

распределение тепла при наличии дополнительного конвективного

переноса за счет течения флюида. В этих задачах градиенты потен-

циала одного поля участвуют при определении градиентов потенциа-

ла другого поля в качестве его источников, а в самосогласованных за-

дачах образуются парные векторные интегральные уравнения. Одна-

ко самосогласованные задачи здесь не рассмотрены, поскольку неко-

торое уточнение результата обычно не оправдывается громоздкостью

такой постановки.

Аномальный потенциал U

поляризованного объема V, огра-

ниченного поверхностью S, может быть представлен в точке (x,y,z) как

сумма потенциалов диполей, расположенных в точках (

), в виде

⋅

∫

E grad grad

= −=−

⋅

∫

r=(

x–

)i+(y–

)j+(z–

)k, dV=d

где F – вектор поляризации единичного объёма.

Для получения суммарного поля E необходимо добавить нор-

мальное поле E

=–gradU

в отсутствие неоднородностей, которое яв-

ляется первопричиной поляризации. Однако поле, воздействующее на

каждый элемент объема

dV и вызывающее его поляризацию, не равно

нормальному (первичному). Аналогичное физическое действие на

процесс поляризации оказывают аномальные (вторичные) поля со-

седних элементарных объёмов. Поляризация выделенного элемента

объема пропорциональна векторной сумме всех влияний, т.е. самому

искомому полю. Поэтому в изотропном неоднородном объеме среды

возникает интегральное соотношение

E E grad

=−

⋅

∫

где

N – коэффициент, определяемый физической сущностью процесса

поляризации и в общем случае зависящий от координат

Это интегральное соотношение, где искомое поле фигурирует

дважды, причем один раз под знаком интеграла, для внутренних точек

объема

V переходит в объемное векторное интегральное уравнение.

Под объемным векторным интегральным уравнением будем понимать

компактную запись системы из трех скалярных уравнений Фредгольма

2-го рода относительно компонентов вектора напряженности, приве-

денную выше.

Заметим, что для однородно поляризованных тел, когда divF=0, спра-

ведливо выражение

∫

. Здесь F

=F⋅n, n − внешняя нормаль

к элементу поверхности

dS. Поскольку F

связана с плотностью по-

верхностных источников (зарядов) , на этой основе возможно постро-

ить поверхностное интегральное уравнение для простого слоя, а за-

тем вычислить потенциал. Этот способ является традиционным для

однородных по свойствам объектов. При дискретизации скалярного

интегрального уравнения размерность получаемой системы линейных

алгебраических уравнений в три раза меньше и ее решение менее

громоздко.

Однако здесь будут рассмотрены именно объемные векторные

интегральные уравнения. Для этого есть две причины. Во-первых, для

решения ряда методических вопросов геофизических исследований,

использующих потенциальные поля, полезно рассмотреть неоднород-

ные объекты. Во-вторых, часть работы будет посвящена анализу со-

пряженных полей. В этом случае для определения одного поля необ-

ходимо знать напряженность или градиент потенциала другого. По-

этому интегральные формулы и уравнения для каждого из полей

удобнее записать относительно градиента потенциала.

Векторные интегральные уравнения для электрического поля то-

ков и магнитного поля магнетиков рассмотрены, например, в работах

[1, 2]. Здесь целесообразно привести вывод подобных уравнений та-

ким способом, который в явном виде учитывает внутреннюю неодно-

родность свойств локального объема. В качестве основной рассмот-

рена задача определения электрического поля объемно распределен-

ных сторонних токов. Вывод интегрального уравнения выполнен с ис-

пользованием формулы Грина. Интегральные уравнения для других

полей записаны на основе аналогии [3].

1. ОБЪЕМНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ГРА-

ДИЕНТА ПОТЕНЦИАЛА СТАЦИОНАРНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПО-

ЛЕЙ

1.1. Определение градиента электрического потенциала, созда-

ваемого объемно распределенными сторонними токами в не-

однородной среде.

Рассмотрим основную задачу, приводящую к интегральному

уравнению относительно напряженности электрического поля. Пусть в

безграничном пространстве с постоянной электропроводностью

расположен локальный объем V

с переменной электропроводностью

). Остальную часть пространства обозначим как V

. В среде

протекают сторонние электрическому полю процессы, приводящие к

перемещению зарядов силами неэлектрической природы (механиче-

скими, осмотическими и т.д.), разделению и накоплению разноимен-

ных зарядов в отдельных областях среды и возникновению электри-

ческого поля. Меру этих процессов, выраженную в электрических еди-

ницах, назовем плотностью стороннего тока i

. В однородном стацио-

нарном плоском случае, когда электрические заряды, создающие

электрическое поле, накопились в удаленных по оси OX источниках и

стоках стороннего тока, единственная составляющая плотности элек-

трического тока i

равна и противоположно направлена плотности сто-

роннего тока i

=0. В общем случае полный ток, являющийся век-

торной суммой стороннего и электрического, удовлетворяет уравне-

нию неразрывности

div( ) div( )ii grad i

−

U 0

Иногда i называют током миграции, а i

− током конвекции, диф-

фузии, переноса и т.п., в зависимости от происхождения.

Из уравнения неразрывности для электрического потенциала

имеем вне (индекс 1) и внутри (индекс 2) локального объема уравне-

ния Пуассона вида

div i

=− +

grad

σσ

div

(1)

Источником зарядов помимо неоднородности сторонних токов

является неоднородность электропроводности внутри объема.

На границе S локального объема и среды должны быть выполне-

ны условия непрерывности электрического потенциала и нормальной

составляющей плотности полного тока

, −+=− +

∂

cn c n

(2)

Из последнего соотношения

∂

∂σ

cn cn21 2

22 1

1−=−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

(3)

Для вывода уравнения воспользуемся формулой Грина

()(

∫∫

−=−

ψϕ ϕψ ψ

)

∂ϕ

∂

ΔΔ

где

− произвольные дважды дифференцируемые функции. Нор-

маль направлена наружу по отношению к объемуV

. Для остальной

части безграничного пространства V

внешняя нормаль направлена

противоположно внешней нормали V

, поэтому

()(

∫∫

−=−−

ψϕ ϕψ ψ

∂ϕ

∂

ΔΔ

Пусть

=U,

=1/r,

Δψ

=0, r

=(x–

)

+(y–

)

+(z–

)

, dV=d

ξ⋅

η⋅

. Опреде-

лим электрический потенциал для внутренней точки. Подставляя

в формулу Грина и выделяя полюс [4], получаем

∂

dS U

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

∫∫

=− −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

∫∫

dS U

∂

Складывая объемы

и V

, и используя уравнения (1) для заме-

ны

, имеем

∂

σσ

VVV

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

−+ −

∫

∫∫∫

()

div divigradgrad i

c2 c1

(4)

Подставим в поверхностный интеграл граничные условия (2), (3).

Выразим его через объемный по формуле Гаусса–Остроградского и

возьмем дивергенцию от частного, тогда

[]

......

cn cn

∫∫

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

22 1

∂

∂σ

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

∫

div 1

σσ

grad

c2 c1

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∫

div

σσ

grad

c2 c1

+−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∫

σσ

grad

c2 c1

(5)

поскольку

div div

a a grad grad

rr r r

=+⋅ =

В первом интеграле выражения (5) еще раз возьмем диверген-

цию, учитывая, что

=f(

), выразим еще раз

через правую

часть уравнения Пуассона (1), приведем подобные члены и получим

[]

div ......

div div

VVV

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−+

+−

=− + −

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

222

σσ

grad grad

grad grad i i

c2 c1

(6)

Подставив (6) в (5), а затем в (4) и приведя подобные, получим

VVV

212

1=− + −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∫∫

πσ π

σσ

div i

grad

c1 c2 c1

Первое слагаемое, в котором интегрирование распространено на

весь объем среды, представляет собой потенциал в однородном про-

странстве в отсутствие неоднородного объема

. Это нормальный

потенциал, который обозначим как

. Для потенциала U

точки, нахо-

дящейся вне объема

, получим выражение с той же правой частью.

Тогда, опуская индекс 2, запишем вне и внутри неоднородного объема

UU U

=+ −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∫

σσ

grad

(7)

И, наконец, обозначив

E=– gradU , имеем векторное интеграль-

ное уравнение [5]

E E grad E

=− −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∫

σσ

(8)

которое представляет собой для внутренних точек объема

V компакт-

ную запись системы трех объемных интегральных уравнений, для

внешних

− формулу для вычисления напряженности электрического

поля. Пусть для внутренних точек определены значения

E=E (

) в

результате решения интегрального уравнения (8). Тогда, согласно (7),

=+ −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∫

σσ

(9)

По формуле (9) можно рассчитать значения электрического по-

тенциала во всем пространстве, не вычисляя внешних значений на-

пряженности.

Уравнение (8) непосредственно обобщается на случай несколь-

ких неоднородных объемов, граничащих или не граничащих друг с

другом. В частном случае

может не зависеть от координат

(

≠

=const). Уравнение (8) имеет несколько вариантов в зависимо-

сти от природы сторонних токов. Если же объемно распределенные

сторонние токи отсутствуют, а электрическое поле создается точеч-

ным источником постоянного тока

I, то

grad E

=− −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅

∫

πσ π

(10)

где

=(x–x

)

+(y– y

)

+(z– z

)

, x

, y

, z

− координаты источника.

Если верхнее полупространство (

z>0) непроводящее, то для

проводящего нижнего полупространства (

z≤0), используя метод изо-

бражений запишем

grad E

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅+⋅

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∫

RR r r

πσ π

(11)

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

+−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅+⋅

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∫

11 1

πσ π

(12)

где

=(x–x

)

+(y– y

)

+(z+ z

)

; r

=(x–

)

+(y–

)

+(z+

)

;

E=E

i+E

j+E

k; E

i+E

j–E

При этом на дневной поверхности при

z=0 значения E

и E

уд-

ваиваются по сравнению с полным пространством, а

обращается в

нуль.

1.2. Определение магнитного поля полного тока.

Этот вопрос непосредственно не связан с интегральными урав-

нениями. Однако он важен, поскольку некоторые электрические явле-

ния в земной коре удобнее изучать по магнитному полю, создаваемо-

му полным током.

Определим аномальное магнитное поле

полного тока через

значения внутреннего поля и избыточные значения плотности полного

тока

п a

–

)E+i

–i

, которые получены в результате решения

уравнения (8).

Введем вектор-потенциал

П электрического типа, удовлетво-

ряющий соотношениям

=rotП , divП = −

(U+U

ΔП =−i

п a

σ−σ

)gradU–i

Здесь

− формально введенный сторонний потенциал так, что

−σ

gradU

. Электропроводность локальной области пространст-

ва

σ≠σ

в этих выражениях может являться функцией координат.

Уравнение Пуассона для вектора

П имеет известное решение [6]

iEi

−

∫∫

ππ

п a

()

Отсюда

[]

Ei i r

dV=

−+−×

∫

σσ

()

(13)

Хотя по смыслу

V − это весь объем, интегрирование фактически

ведут по объему неоднородности, где

σ≠σ

и i

≠i

Величина

и соответствующие ей электрические токи не соз-

дают магнитного поля, поскольку вместе со сторонними токами они

образуют в безграничной среде плотность полного тока, всюду тожде-

ственно равную нулю. Это относится ко всем рассмотренным здесь

задачам.

Выражение (13) показывает, что влияние неоднородности элек-

трических свойств эквивалентно изменению плотности стороннего то-

ка. По форме оно напоминает закон Био

−Савара, но по существу им

не является. На самом деле рассмотрим однородную по электропро-

водности среду

, тогда

−

∫

Таким образом для определения магнитного поля токов в без-

граничной однородной среде достаточно выполнить интегрирование

аномального стороннего тока в объеме неоднородности вместо интег-

рирования полного тока во всем пространстве по закону Био–Савара.

Это требует пояснений.

Действительно, например в [6, с.312], показано, что приравнивая

сторонние токи к току в кабеле, соединяющем два заземления, полу-

чают магнитное поле, у которого вне точек, занятых кабелем,

rotH=i ,

где

i – плотность электрического тока, создаваемого заземлениями в

безграничной однородной среде. А.А.Петровский [6, c.315] непосред-

ственным интегрированием показал, что магнитное поле электриче-

ских токов, растекающихся в безграничной однородной среде, тожде-

ственно равно нулю. Это справедливо и для суммы дипольных источ-

ников, каждый из которых включает два сближенных точечных зазем-