Корешев С.Н. Основы голографии и голограммной оптики

Подождите немного. Документ загружается.

амплитуду одной из волн, формируемых голограммой при дифракции на

ее структуре восстанавливающего излучения. При этом, если в качестве

восстанавливающего излучения использовать излучение, отраженное

одним из указанных на рис. 1.2.1 объектов, например объектом R, т.е.

положить, что С = R, то выражение (1.2.6) можно переписать в виде:

()

{

}

(

)

{

}

***

OROIIIRkORORRIIRkA

RRORO

+++=+++=

. (1.2.7)

Проанализируем полученное выражение. Его первое слагаемое

описывает комплексную амплитуду волны, распространяющейся в

направлении распространения восстанавливающей волны, т.е. волны,

отраженной от предмета N (см. рис. 1.2.1). Второе слагаемое описывает

волну, идущую в направлении распространения излучения, отраженного

от предмета M, комплексная амплитуда которой пропорциональна

амплитуде O. Эта волна формирует восстановленное с помощью

голограммы мнимое изображение

предмета М. Третье слагаемое (1.2.7)

описывает комплексную амплитуду волны, сходящейся в искаженное

множителем R

действительное изображение предмета М. Одну из

формирующих голограммную структуру волн, обычно ту, которая потом

используется в качестве восстанавливающей волны, принято называть

опорной волной, а вторую – объектной волной. Волну, описываемую

первым, вторым и третьим слагаемыми (1.2.7), обычно называют

нулевым, -1 и +1 порядками дифракции, соответственно.

Пространственное разделение этих порядков обычно обеспечивается

соответствующим выбором углов

падения опорной и объектной волн на

плоскость регистрации голограммы.

1.3. Геометрия формирования голограмм

Для демонстрации влияния геометрии получения голограммы на ее

дифракционные свойства рассмотрим представленное на рис. 1.3.1

сечение голографического поля, формируемого при интерференции

когерентных волн, испускаемых точечными источниками S

и S

. В

этом поперечном сечении, которое содержит оба точечных источника,

следами поверхностей максимумов интенсивности голографического

поля (интерференционной картины) являются параболы. В трехмерном

пространстве это семейство параболоидов вращения, которые можно

получить, поворачивая плоскость рисунка вокруг оси симметрии, в

качестве которой выступает прямая, соединяющая оба точечных

источника. Указанные параболоиды в случае синфазности волн,

испускаемых обоими источниками, описываются следующим

геометрическим выражением:

mPSPS =−

, (1.3.1)

где: P – некоторая точка голографического поля, характеризующаяся

максимальной интенсивностью; λ – длина волны излучения,

формирующего голографическое поле, m = 0, 1, 2, … . Цифрами 1,2, 3 на

рисунке обозначены некоторые характерные положения фотопластинки,

либо другой регистрирующей среды, используемой для записи

голограммы. Д. Габор, не имевший в своем распоряжении лазера и

вынужденный максимально использовать свет от источников с низкой

степенью когерентности

, помещал пластинку в положение 1.

1.3.1. Схема регистрации голограмм Габора

В этом положении (положении 1 на рис. 1.3.1) главные лучи объектного

и опорного пучков распространяются по одному направлению.

Полученные таким образом голограммы называются осевыми

голограммами или голограммами Габора. При их записи разность хода

объектной и опорной волн в пределах поверхности пластинки

минимальна по сравнению со всеми другими возможными

положениями, что позволяет использовать

её для формирования

голографического поля источники излучения с низкой степенью

когерентности. Относительно большое расстояние между соседними

поверхностями максимумов снижает требования к разрешающей

способности регистрирующей среды.

Рис. 1.3.1. Поперечное сечение

семейства пучностей в

голографическом поле

Принципиальная схема записи голограмм Габора представлена на

рис. 1.3.2. Здесь S –источник когерентного излучения, Т – транспарант с

изображением объекта, Н – голограмма. В соответствии с приведенной

схемой общую комплексную амплитуду U света, падающего на

светочувствительную среду, в плоскости регистрации голограммы

можно представить в виде суммы комплексной амплитуды

недифрагировавшей на структуре объекта фоновой или опорной

волны

R и комплексной амплитуды волны, дифрагировавшей на объекте – О:

+= , (1.3.2)

где:

exp

= ;

exp

= ;

оA

exp

= .

Отсюда интенсивность излучения I в плоскости регистрации

голограммы может быть описана следующим образом:

[

][]

)(exp)(exp)*)((*

0000

0 rооr

iоriоrоrОRОRUUI

ϕϕϕϕ

−+−++=++==

.(1.3.3)

При линейной обработке голограммы и ее восстановлении опорной

волной с комплексной амплитудой R амплитуда поля в плоскости

голограммы, непосредственно за ней – А, может быть описана с

точностью до коэффициента пропорциональности следующим образом:

()

() ( )

,*)2expexp

*2exp)exp()(

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+++

=+++==

Oii

ORr

Oiri

rORrRIA

ϕϕ

(1.3.4)

Рис.1.3.2.

Принципиальная схема

записи голограмм

Габора

где RR* = r

и R = r

exp(iφ

). Если амплитуда опорной волны одинакова

по всей плоскости голограммы, то первый член правой части выражения

(1.3.4.) описывает волновой фронт, комплексная амплитуда которого

пропорциональна амплитуде исходной волны U в выражении (1.3.2).

Далее, если амплитуда опорной волны настолько велика, что о

<< 1,

то вторым слагаемым выражения (1.3.4) можно пренебречь. Наконец для

опорной волны, фаза которой практически не изменяется на всей

плоскости голограммы, третий член пропорционален величине,

сопряженной комплексной амплитуде объектной волны. Он создает

второе, сопряженное изображение объекта. В случае использования

приведенной выше схемы сопряженное изображение является

действительным. Таким образом, при разглядывании

восстанавливающего голограмму

источника сквозь голограмму будут

видны этот источник, мнимое изображение объекта и сопряженное

действительное изображение объекта. Если наблюдатель сфокусирует

глаз на мнимом изображении, то действительное изображение окажется

расфокусированным. Наоборот, если поместить экран в той плоскости,

где дифрагированные на структуре голограммы лучи создают

действительное изображение, на нем будет присутствовать паразитная

засветка от

расфокусированного мнимого изображения объекта. Эти

взаимные световые помехи от изображения двойника в направлении

наблюдения являются основным, наиболее значимым, недостатком

голограмм, получаемых по осевой схеме Д. Габора.

1.3.2. Устранение проблемы второго изображения

Вновь обратимся к рис. 1.3.1. Если поместить регистрирующую

среду в положение, обозначенное цифрой 2, реализуется схема записи

голограмм, предложенная Е. Лейтом и Дж. Упатниексом. Полученные

таким образом голограммы называются внеосевыми голограммами. Они

характеризуются значительно более высокими, по сравнению с осевыми

голограммами, требованиями к разрешающей способности

регистрирующих сред и степени когерентности излучения,

используемого

для формирования голографического поля. Внеосевое

расположение регистрирующей среды хотя и требует использования

лазерных источников излучения для формирования голографического

поля, позволяет пространственно разделить порядки дифракции

голограммы и, тем самым, позволяет избежать переналожения

изображений, восстанавливаемых в +1 и -1 порядках дифракции.

Благодаря использованию внеосевых схем оптическая голография

освободилась от ограничений, возникших в первых работах по

электронной и рентгеновской голографии. Преимущества внеосевых

схем дали возможность применять голографию для любых прозрачных

или отражающих объектов, например, полутоновых транспарантов или

отражающих трехмерных объектов. При использовании внеосевого

метода, в отличие от осевой голографии, интенсивность опорного пучка

не обязательно должна быть намного больше интенсивности объектной

волны. Однако интенсивность опорного пучка лучей все же должна быть

достаточно большой по сравнению с амплитудой его модуляции,

обусловленной объектной волной

, чтобы результирующая экспозиция не

выходила за пределы линейного участка характеристической кривой

регистрирующей среды, т.е. чтобы запись голографического поля

оставалась линейной.

1.3.3. Схемы записи объемных голограмм. Схема Ю.Н.

Денисюка

Схема Лейта и Упатниекса (положение 2 на рис. 1.3.1) позволяет в

зависимости от толщины регистрирующей среды и ширины спектра

пространственных частот регистрировать как тонкие, так и объемные

голограммы. Если толщина регистрирующей среды мала по сравнению

с расстоянием между поверхностями максимумов интенсивности

регистрируемого голографического поля, то голограмма, полученная в

этом положении, действует как

двумерная дифракционная решетка. При

этом голограмма, по существу, представляет собой систему полос на

поверхности регистрирующей среды. То же самое справедливо, конечно,

и для габоровских осевых голограмм. Голограммы, получаемые на

относительно толстых, по сравнению с периодом следования

максимумов интенсивности голографического поля, регистрирующих

средах представляют собой объемную дифракционную решетку,

состоящую из последовательности частично

отражающих поверхностей.

Такая решетка, как известно, обладает селективным, т.е. зависящем от

угла падения и длины волны восстанавливающей волны, откликом,

описываемым законом Брэгга. Голограммы, обладающие такими

свойствами, называют объемными или брэгговскими. Если толстая по

сравнению с периодом следования максимумов голографического поля

регистрирующая среда устанавливается в положение 3, то опорная и

объектная

сферические волны падают на нее с разных сторон. В этом

случае расстояние между поверхностями максимумов интенсивности

голографического поля составляет примерно половину длины волны

регистрирующего излучения и эти поверхности близки к плоскостям,

параллельным поверхности регистрирующей среды. Такая схема

регистрации голограммы предложена Ю.Н. Денисюком и носит его имя.

При регистрации голограммы в

такой схеме в объеме регистрирующей

среды образуется большое количество частично отражающих излучение

поверхностей, называемых стратами, действующих подобно

отражательному интерференционному фильтру. Даже для толщин

регистрирующей среды 10 – 12 мкм число этих страт может быть более

50. Большое число содержащихся в голограмме частично отражающих

поверхностей обуславливает их высокую спектральную селективность,

позволяющую восстанавливать записанное на них изображение в белом

свете. Такие голограммы называются голограммами Ю.Н. Денисюка или

отражательными объемными голограммами. Следует отметить,

что

известная из курса физики фотография Липпмана является, по своей

сути, частным случаем голограммы Денисюка.

1.4. Получение голограмм с падающим под углом

диффузным и не диффузным опорным пучком

1.4.1. Понятие о спектре пространственных частот

Введем понятие плоской волны. Волна называется плоской, если

ее амплитуда и фаза в любой момент времени постоянны по всей

плоскости, уравнение которой имеет вид:

cons

=⋅

, (1.4.1)

где: r со стрелкой – радиус вектор точки в пространстве, а n со стрелкой

единичный вектор, нормальный к рассматриваемой плоскости.

Положим, что величина электрического поля V может быть описана

следующим выражением:

() ( )

(

)

ftinrikatzyxV

2expexp,,,

⋅−= , (1.4.2)

где a

- постоянная амплитуда волны, k – константа. Тогда для

Рис. 1.4.1. Плоская волна в

прямоугольной системе координат

конкретных значений r = r

и t = t

фаза волны будет равна φ

, t

()

nrkfttr

⋅−=

11111

. (1.4.3)

В более поздний момент времени t

> t

то же значение φ

фаза будет

иметь на большем расстоянии от начала координат, в то время как на

прежнем расстоянии она возрастет. Отсюда следует, что плоскости

постоянных фаз перемещаются в пространстве. Следовательно,

приведенное выше выражение (1.4.2) действительно описывает плоскую

волну. Направление вектора

, нормального к плоскости постоянной

фазы, является направлением распространения волны. Если cos α, cos β,

и cos γ –направляющие косинусы вектора n, то выражение (1.4.2) можно

переписать в виде:

() ( )

[

]

(

)

ftizyxikazyxV

2expcoscoscosexp,,

−= , (1.4.4)

где x, y, z – компоненты вектора r в декартовых координатах.

Подстановка (1.4.4) в волновое уравнение [6]

()

,,,1

,,,

tzyxV

∂

=∇

(1.4.5)

дает:

2222

)coscos(cos

ππ

γβα

−=−=++−

k , (1.4.6)

где λ – длина волны излучения. Поскольку направляющие косинусы

удовлетворяют соотношению:

1coscoscos

222

=++

γβα

, (1.4.7)

то (1.4.4.) является решением волнового уравнения при условии

=k . (1.4.8)

Величина k называется волновым числом.

С учетом этого соотношение (1.4.4) мы можем переписать в виде:

()

[]

()

).2exp(),,(2exp2exp

2exp

coscoscos

2exp),,,(

ftizyxAftizyxia

ftizyxiatzyxV

ππζηξπ

=++−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++−=

(1.4.9)

В данном курсе мы будем рассматривать, как правило, только

монохроматическое излучение. Тогда множитель exp(i2πft) можно

опустить и для описания электромагнитной волны пользоваться только

ее комплексной амплитудой A(x, y, z). Величины ξ, η и ζ, определяемые

равенствами

cos

;

cos

= ;

cos

= (1.4.10)

называются пространственными частотами. Они обратны

пространственным периодам волны, измеренным по осям x, y, z,

соответственно. Пространственные частоты измеряются в обратных

миллиметрах (мм

-1

) или в линиях на миллиметр (устаревшее).

Отметим, что пространственные частоты могут принимать как

положительные, так и отрицательные значения. Воспользуемся

следующим правилом знаков для пространственных частот и фаз волн.

Если направление распространения волны составляет с

соответствующей осью угол меньше 90

, то пространственная частота

положительна, если больше 90

, то она отрицательна. Если

ориентировать систему координат так, чтобы, например, ось z совпала с

направлением распространения волны (ξ = η = 0, ζ = 1/λ), то легко

видеть, что в (1.4.9) фаза волны в фиксированный момент времени

уменьшается с увеличением расстояния от источника.

Величины ξ, η и ζ не являются независимыми, их связь можно

получить из (1.4.7). При подстановке (1.4.10) в (1.4.7) получим:

222222

=++

ζληλξλ

, (1.4.11)

или

()

2222

ηλξλ

−−±= , (1.4.12)

где знак определяется направлением распространения волны в

соответствии с ранее принятым правилом знаков. Теперь мы можем

записать комплексную амплитуду A(x, y, z) плоской волны в виде:

()

[]

()

exp)0,,(

exp2exp

)

coscoscos

(2exp),,(

2222

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

++−=

ηλξλ

ηξπ

ziyxA

yxia

zyxiazyxA

(1.4.13)

Из (1.4.13) видно, что величина комплексной амплитуды плоской волны

на произвольном расстоянии z равна произведению комплексной

амплитуды волны при z=0 и экспоненты, убывающей при увеличении z.

Рассмотрим теперь поведение световой волны, встречающей на

своем пути какое – либо препятствие. Чтобы получить точное решение

задачи дифракции, необходимо решить волновое уравнение при

граничных условиях, соответствующих выбранному

препятствию. Такой

прямой подход, к сожалению, позволяет получить решение задачи

дифракции лишь для препятствий очень простой формы. Поэтому

обычно представляющие практический интерес задачи дифракции

решают приближенными методами, одним из которых воспользуемся и

мы.

1.4.2. Дифракция на периодических структурах

Рассмотрим плоскую волну с амплитудой a

распространяющуюся в направлении положительной полуоси z и

падающую на прозрачный объект (транспарант), находящийся в

плоскости z=0. Пусть транспарант имеет пропускание t, описываемое

периодической функцией

()

yttyxt

πη

2cos

, += . (1.4.14)

Рис. 1.4.2. Дифракция плоской

волны на транспаранте с

периодической структурой

Здесь t

и t

вещественные постоянные, т.е. предполагается, что

транспарант чисто амплитудный и не вносит фазового сдвига в

проходящую через него волну; η – пространственная частота

амплитудного коэффициента пропускания транспаранта. Отметим, что

понятие пространственной частоты применимо к синусоидальной

составляющей пространственного распределения любой физической

величины, а не только к распределению комплексных амплитуд света.

Непосредственно за транспарантом амплитуда волны A(x, y, 0) равна

произведению амплитуды падающего света a

и пропускания t

)2exp(

2cos),()0,,(

111101

11011

yitayitata

ytatayxtayxA

ηπηπ

πη

−++=

+==

(1.4.15)

Заметим, что второе слагаемое (1.4.15) имеет тот же вид, что и решение

волнового уравнения (1.4.9), если в него подставить ξ = 0 и η < 0.

Отсюда можно сделать вывод о том, что это второе слагаемое (1.4.15)

описывает плоскую волну, которая распространяется параллельно

плоскости yz и характеризуется отрицательной пространственной

частотой, поскольку направление ее распространения образует

с осью y

угол более 90

. При этом обозначенный на рис. 1.4.2. угол θ, который

составляет направление распространения этой волны с осью z и

определяется как 90

-β, является отрицательным углом, поскольку для

него должно выполняться равенство sinθ

= λη. Аналогично третье

слагаемое (1.4.15) описывает плоскую волну, которая также

распространяется параллельно плоскости yz с положительной

пространственной частотой по оси y, образуя при этом с осью z

положительный угол θ. Первое слагаемое в (1.4.15) не зависит ни от х,

ни от y и описывает плоскую волну, распространяющуюся в

направлении оси z. Итак, при

падении плоской волны,

распространяющейся вдоль оси z, на транспарант с синусоидальным в

направлении y амплитудным пропусканием за транспарантом возникают

три плоские волны: первая, с амплитудой a

, распространяется вдоль

оси z (не дифрагированная волна, т.е. волна, не изменившая направление

своего распространения); вторая, с амплитудой a

/2, распространяется

в плоскости yz, образуя с осью z угол |θ | = arcsin(λη) (дифрагированная

волна -1 порядка); третья, с амплитудой a

/2, распространяется в

плоскости yz вверх от оси z, образуя с нею такой же по модулю угол θ

(дифрагированная волна +1 порядка).

Мы рассмотрели один из важных случаев дифракции.

Транспаранты с периодическим распределением амплитудного