Контрольная - Модели управления производственными запасами с учетом спроса и цен на продукцию
Подождите немного. Документ загружается.
Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос
является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере
соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем
ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.
Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и
задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей
)(r
(обычно функции р(r) и
)(r
оцениваются на основании опытных или
статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение
(хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с
2
на
единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит
к штрафу за дефицит с
3
на единицу продукции.
В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических
моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или
математическое ожидание.
В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем
закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет
вид
1
:
(3.28)
В выражении (3.28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение
(хранение) излишка s - r единиц продукта (при
sr
), а второе слагаемое - штраф
за дефицит на r - s единиц продукта (при
sr
).
В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью
вероятностей
)(r
, выражение C(s) принимает вид:
(3.29)
Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при
котором математическое ожидание суммарных затрат (3.28) или (3.29) принимает
1
Учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта.
21
минимальное значение. Доказано, что при дискретном случайном спросе r
выражение (3.28) минимально при запасе s
0
, удовлетворяющем неравенствам
(3.30)
а при непрерывном случайном спросе r выражение (3.29) минимально при
значении s
0
, определяемом из уравнения
)(
0
sF
(3.31)
где
F(s) = p(r < s) (3.32)
есть функция распределения спроса r, F(s
0
) и F(s
0
+1) - ее значения;
- плотность
убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (2.24).
Рис. 9
Оптимальный запас s
0
при непрерывном спросе по данному значению
может быть найден и графически (рис. 9).
В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование
запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию
можно представить графически (рис. 10).
22
а б
Рис. 10
Рис. 10-а соответствует случаю
sr
, когда спрос не превосходит запаса, а
рис. 10-б — случаю, когда спрос превышает запас, т.е. r > s. Следует отметить,
что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную
на рис. 10 пунктиром, но для исследования модели нам проще рассматривать J(t)
в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.
Средний запас, соответствующий рис. 10-а, равен
(3.33)
Средний запас, соответствующий рис. 10-б с учетом формулы (2.17), в
которой полагаем n = r, составляет
(3.34)
Средний дефицит продукта за период T
2
для случая, соответствующего рис.
10-б с учетом (2.17), где n = r, равен
(3.35)
Математическое ожидание суммарных затрат составит:
(3.36)
Доказано, что в этом случае математическое ожидание (3.36) минимально
при запасе s
0
, удовлетворяющем неравенству
23
(3.37)
где
по-прежнему определяется по формуле (2.24):
(3.38)
L(s
0
) и L(s
0
+ 1) — значения функции (3.38), a F(s) находится в соответствии с
определением (3.32).
3.2. Стохастические модели управления запасами с фиксированным
временем задержки поставок
В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами
предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно.
Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько
значительным, что его необходимо учитывать в модели.
Пусть за время задержек поставок
уже заказаны n партий по одной в
каждый из n периодов продолжительностью Т =
/n.
Обозначим:
s
нз
— первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);
s
i
— запас за i-й период;
r
i
, — спрос за i-и период;
q
i
— пополнение запаса за i-и период.
Тогда к концу n-го периода на склад поступит
n
i
i
q
1
единиц продукта, а
будет израсходовано
n
i
i
r
1
, единиц, т.е
(3.39)
или
s
n=
s – r (3.40)
где
(3.41)
24
(3.42)
Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо
сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного
ранее заказа.
Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по
формуле (3.28), а оптимальный запас s находится по формуле (3.30), т.е.
(3.43)
Найдя оптимальный запас s
0
и зная q
1
,q,
2
,…,q
n-1
, можно вычислить q
n
по
формуле (3.41), т.е.
(3.44)
25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В любой задаче управления запасами решается вопрос выбора размеров и
сроков размещения заказов на запасаемую продукцию. К сожалению, общее
решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому
разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные
случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления
запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается,
что спрос является статическим детерминированным.
В большинстве моделей управление запасами осуществляется
оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов,
закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита. Потери от дефицита
обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими
нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой
стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение
в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание
задачи.
Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную
систему. Поэтому решение, получаемое на основе моделей этого класса, следует
рассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные
рекомендации. Найти аналитически оптимальные значения точки запаса и объема
партии удается только в относительно простых случаях.
Если же система хранения запасов имеет сложную структуру (много видов
хранимой продукции, иерархическая система складов), используемые
стохастические модели сложны, а их параметры меняются во времени, то
единственным средством анализа такой системы становится имитационное
моделирование, позволяющее имитировать («проигрывать») на ЭВМ
функционирование системы, исследуя ее поведение при различных условиях,
значениях параметров, отражая их случайный характер, изменение во времени и
т. п.
26
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Балашевич В.А., Андронов А.М.. Экономико-математическое моделирование
производственных систем – М.: Университетское, 1995.
2. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические
модели. — М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.. Математические методы в
экономике. - М.: ДИС, 1997.
4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и
математическая статистика. - М.: Статистика, 1991.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование
операций в экономике.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 г.
6. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика.
Математическое программирование. — Минск: Вышэйшая школа, 1994.
7. Математическое программирование / Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.:
Финстатинформ, 1995.
8. Первозванский А.А., Первозванская. Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. -
М.: ИНФРА-М, 1994.
9. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений.- М.: Аудит, 1997.
27