Коноваленков В.С., Заборова Т.М. Методичні вказівки та індивідуальні завдання до теми Дослідження поведінки функції за допогою похідних для студентів 1 курсу економічних спеціальностей
Подождите немного. Документ загружается.
,0),0(
f
следовательно, функция выпуклая на интервале
)
2
1
,
2
1
(
.
Таким образом, точка
2
1
0
x
является точкой перегиба.
,0)1(
f
функция
2
x
ey
- вогнута на интервале
),
2
1
(
и точка
2
1
0
x
также является точкой перегиба.
2.7.Асимтоты функции
Если мы хотим изучить функцию при неограниченном возрастании аргумента,
то нам приходиться иметь дело с так называемыми бесконечными ветвями
графика. С бесконечными ветвями графика приходиться иметь дело и вблизи
точек разрыва. Знание бесконечных ветвей нам необходимо для того, чтобы
правильно представить себе форму всего графика.
Определение. Прямая линия называется
асимптотой кривой
)(xfy
, если расстояние
точки кривой до этой прямой стремится к
нулю при неограниченном удалении этой
точки от начала координат.
В дальнейшем будем различать вертикальные,
наклонные и горизонтальные (правые и левые)
асимптоты.
1.Если существует число
0
x
такое, что
,)(lim
0
0
xf
xx
то прямая
0
xx
-
вертикальная асимптота для функции
)(xfy
, при этом точка
0
x
может не
принадлежать области определения функции или принадлежать но, при этом
быть точкой разрыва.
2.Если существуют пределы
2,1
)(
lim k
x
xf
x
(
1
k
при
2
;kx
при
x
) и
2,12,1
)(lim bkxf
x
(
1
b
при
2
;bx
при
x
), то прямые
2,12,1
bxky
являются правой и левой наклонной асимптотой для функции
)(xfy
(при
0
2,1
k
имеем горизонтальные асимптоты
2,1
by
).
Пример. Исследовать функцию
.
1
2
x
x
y
Область определения этой функции:
).,1()1,( x
Точка
1x
является точкой разрыва.
Найдем
.
1
lim
2
01
x
x
x
Таким образом, прямая
1x
является вертикальной
асимптотой, причем при приближении к точке
1x
справа функция
1
2
x
x
y
неограниченно возрастает (
y
при
01x
); при приближении слева –
неограниченно убывает (
y
при
01x
).
Исследуем данную функцию на наличие
наклонных асимптот. Для этого найдем
пределы:
.11
1
1
1
limlimlim
1
lim
22
2
2
2
2
2
2
k
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
xxxx
.11
1
lim
1
lim)1
1
(lim
222
b
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
Прямая
1xy
является наклонной асимптотой функции
.
1
2
x
x
y
3.ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
1.Исследование общего характера функции:
а) область определения функции;
б) точки разрыва и интервалы непрерывности;
в) поведение функции в окрестностях точек разрыва; вертикальные и
наклонные (горизонтальные) асимптоты;
г) четность, нечетность функции;
д) периодичность функции;
е) точки пересечения графика функции с осями координат.
2.Уточнение характера поведения функции с помощью производной первого
порядка:
а) интервалы возрастания, убывания функции;
б) точки экстремума.
3. Уточнение характера поведения функции с помощью производной второго
порядка:
а) интервалы выпуклости, вогнутости функции;
б) точки перегиба.
Информацию пп.2,3 удобно оформлять в виде таблиц.
В случае необходимости отдельные точки графика находятся непосредственно
путем подстановки конкретных значений x в выражение
)(xfy
.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график:
.
)1(
2
3
x
x
y
1.а) область определения этой функции:
,1x
т.е.
);,1()1,( x
б) точка разрыва
;1x
таким образом интервалы непрерывности:
);,1()1,( è
в) при
2
3
)1(
,01
x
x
x
, т.е. при приближении к точке
1x
функция
неограниченно возрастает;
2
3
01
)1(
lim
x
x
x
, следовательно прямая
1x
является вертикальной асимптотой функции
2
3
)1(
x
x
y
.
Найдем
;11
2
lim
)1(
lim
)1(
lim
23
3
2
3
2
3
k
xxx
x
xx
x
x
x
x
xxx
12
2
lim1
)1(
lim
2
233
2
3
xx
xxxx
x
x
x
xx
=
;22
12
2
lim
2
2
b
xx
xx
x
таким образом, прямая
2xy
является наклонной асимптотой
рассматриваемой функции;
г) проверяем определение четности, нечетности функции:
,
)1(
)1(
)1()1(
)(
)(
2
3
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
xf
следовательно функция не является
ни четной ни нечетной (график функции
2
3
)1(
x
x
y
не обладает
симметрией);
д) функция не является периодической, т.к.. в ее состав не входят
периодические функции;
е) точки пересечения с осями координат находим, полагая
;00 yx
таким образом график функции пересекает оси координат в начале
координат О(0,0).
2.Находим
.
)1(
3
)1(
233
)1(
)1(2)1(3
3
23
3
323
4
322
x
xx
x
xxx
x
xxxx
y
3;00)3(030
223
xxxxxxy
точки возможного экстремума.
Используя признаки монотонности и достаточное условие существования
экстремума, полученную информацию оформляем в виде таблицы:
x
)0,(
0x
)1,0(
1x
)3,1(
3x
),3(
)(xf
+ 0 +
- 0 +
)(xf
Нет
экстр.
Не
сущ.
min
8
27
3.Находим
.
)1(
6
)1(
)1(3)3()1()63(
46
22332
x
x
x
xxxxxx
y
0060 xxy
точка возможного перегиба.
Используя связь между выпуклостью и
вогнутостью функции и знаком производной
второго порядка, а также достаточное
условие существования точки перегиба,
полученную информацию оформляем в виде
таблицы:
x
(
)0,
0x
(0 , 1)
1x
),1(
)(xf
- 0 +
+
)(xf
Точка
перегиба
Не
существ.
Строим график.
4.ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Исследовать функцию и построить ее график:
1.
;
2
3
x
x
y
2.
;
9
2
2
x
y
3.
;
32
2
x
x
y
4.
;
4
12
x
x
y
5.
;
1
2
2
x
xx
y
6.
;
12
2
x
x
y
7.
;
4
12
2
2
x
y
8.
;
1
3
2
3
x
x
y
9.
;
1
2
2
2
x
x
y
10.
;
1
2
xx
y
11.
;
3
82
2
x
x
y
12.
;
1
1
2
x
x
y
13.
;
4
x
e
y
x
14.
;
8
2
2
x
x
y
15.
;
1
16
2
x
x
y
16.
;
3
2
2
x
y
17.
;
4
x
e
y
x
18.
;
1
2
3
x
xx
y
19.
;
41
2
2
2
x
x
y
20.
;
14
3
2
x
x
y
21.
;
1
x
xy
22.
;
1
2
2
x
xy
23.
;
4
3
3
x
x
y
24. .
;
1
3
4
x
x
y
25.
;
2
x
e
y
x
26.
;
2
x
xey
27.
;
1
2
x
x
y
28.
;
2
3
2
x
x
y
29.
;
3
2
x
x
y
30.
;
2
x
e
y
x
5.ЛИТЕРАТУРА
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, 2.- М.:
Наука, 1982.
2.Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. – М.:
Наука, 1969.
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч. 1,2 – М.: Высшая школа, 1980.
4.Берман Г.Е. Сборник задач по курсу математического анализа.-М.: Наука,
1977.
5.Высшая математика. Сборник задач. Под ред. Овчинникова П.Ф. – К.: Вища
школа, 1991.
6.Вища математика. Основні означення, приклади і задачі. Ч. 1, 2. – К.: Либідь,
1992.
7.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. –
М.: Высшая школа, 1966.
8.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков.: Изд-во
ХГУ, 1967.
9.Тевяшев А.Д. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Харків, Фактор,
2004.