Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород

Подождите немного. Документ загружается.

201

представить в виде подвижки в форме ступеньки,

распространяющейся по разлому с постоянной скоростью

разрыв

станция

Рис.5.12 Схема распространяющегося разрыва

Тогда на большом расстоянии от источника P- и S- волны

будут представлять собой импульсы прямоугольной формы, а их

временная протяженность будет задаваться (см. рис.5.12)

соотношением:

θτ

cos

−=

(5.17)

где θ – угол между направлением распространения разрушения и

путем пробега сейсмического луча, L – длина разлома, а C –

скорость распространения продольной или поперечной волны.

Первый член в (5.17) соответствует времени между началом и

окончанием разрушения, а второй – разнице между временем

пробега до станции волн, излученных из точки зарождения и из

точки остановки. Амплитудный спектр

такого импульса задается,

как известно, выражением:

)2/sin(

)(

ωτ

τω

AU = , (5.18)

вид которого показан на рис.5.13 сплошной линией. Пунктиром для

ориентировки показаны линии, имеющие наклон ω

-1

и ω

-2

202

0.1 1 10

ωτ

0.01

0.1

)

−1

−2

Рис.5.13 Амплитудный спектр импульса, излучаемого движущимся

разрывом

Рис.5.14 – Амплитудный спектр смещения на расстоянии 5580км от

землетрясения

= 5.7

203

Структура спектра характеризуется горизонтальным плато в

области низких частот и затухающими осцилляциями с наклонной

прямолинейной огибающей в области высоких частот.

Такой вид спектра – с плато в области низких частот и

прямолинейной огибающей в виде степенной функции в

высокочастотной области - является типичным для землетрясения

(рис.5.14).

Частота, отвечающая значению

ωτ

, называется угловой

частотой

. Из соотношения (5.17) получаем:

)cos(

θω

−

, (5.19)

т.е. по значению угловой частоты спектра колебаний, излучаемых

при землетрясении, можно оценить длину разрыва землетрясения.

5.2.3 Характерные параметры развития разлома

Как видно из предыдущего раздела, форма сейсмического

импульса содержит информацию о характерных параметрах

разлома. При выводе соотношения (5.18) мы полагали, что

зависимость изменения напряжений на поверхности разлома от

времени имеет ступенчатый характер. Ясно, что физически это

неправдоподобно. В более совершенных моделях вводится

временная функция источника, учитывающая конечность времени

нарастания напряжений до максимума

Так, например, в модели Хаскелла смещение по поверхности

разлома задается в виде:

)/()(

0 r

vxtGutu

−

= , (5.20)

где

- константа, v

– скорость распространения разрушения, а

⎩

⎨

⎧

≥−

−

0,1

0,0

)(

204

Рис.5.15 Схема к модели Хаскелла

Функция (5.20) соответствует процессу, при котором подвижка

с некоторым характерным временем ~2.3τ нарастания до максимума

(время при котором функция (5.20) достигает 90% асимптотического

уровня) распространяется вдоль разлома с характерными размерами

L и D (рис.5.15) со скоростью

Хаскелл показал, что для такой модели излучение в дальней

зоне выражается через массовую скорость (скорость смещения

грунта) следующим образом:

SSpp

DIrRDIrR

μϕθμϕθ

),,(),,( += , (5.21)

где

ξθ

∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−−=

)cos(

)4/()coscossin2cos(

),4/(sin2sin

ree

RreR

srp

⋅+=

=⋅=

ρπβϕθϕθ

ρπαϕθ

ϕθ

θ, φ, r – сферические координаты,

ϕθ

eee

-единичные векторы в

направлении r, θ, φ, μ – модуль сдвига, индекс С принимает значение

либо C

– скоростей распространения продольных или

поперечных волн, ρ- плотность среды.

Первый член в (5.21) соответствует излучению продольных, а

второй – поперечных волн.

Преобразовывая (5.21) можно получить выражение для

амплитудного спектра смещения в P и S волнах на большом

205

расстоянии от источника, которое, из-за его громоздкости, мы здесь

приведем в упрощенном виде:

2/122

)1(

)/,(

τω

⋅

vLFRDLu

(5.22)

Рис.5.16 Спектр колебаний на большом расстоянии от источника. ω

– угловые частоты

Пример расчета спектра (5.22) при некотором наборе

параметров приведен на рис.5.16. Амплитуда спектр в области

высоких частот сначала снижается ~ω

-1

, а затем ~ω

-2

. Это приводит к

появлению в спектре двух угловых частот – ω

и ω

(см. рис. 5.16).

Из (5.22) можно показать, что первая угловая частота, как

отмечалось выше, обратно пропорциональна длине разлома L:

L/C~

, (5.23)

а значение второй угловой частоты связано аналогичным

соотношением с меньшим линейным размером – шириной разлома

D/C~

. (5.24)

206

Вводя амплитуду скачка напряжений на разломе

u∂

=Δ

μσ

из (5.20) можно оценить скорость смещения частиц (массовую

скорость среды) в окрестности разлома:

−

≈

∂

т.е.

cмсм

МПа

/1~/103

103

max

⋅

. (5.25)

Судя по результатам наблюдений в ближней зоне

землетрясений, оценка (5.25) по порядку величины совпадает с

зарегистрированными значениями.

Таким образом, из результатов сейсмологических наблюдений

можно оценить характерные параметры разлома.

Существуют различные эмпирические соотношения,

полученные по результатам наблюдений, между магнитудой

землетрясения и параметрами очага. Хотя соотношения,

приводимые разными авторами, довольно заметно различаются,

приведем,

для ориентира, данные, приводимые В.В.Штейнбергом:

Таблица 5.5. Параметры разрыва в очаге для землетрясений разного

типа.

Вид

подвижки

Длина разрыва Амплитуда подвижки:

Сдвиг

25.064,0)(lg

MмL

21.575,0)(lg −

Mмu

Надвиг

46.145,0)(lg

MмL 49.125,0)(lg −

Mмu

Сброс

94.138,0)(lg

MмL

05.348,0)(lg −

Mмu

207

-4 0 4 8

Магнитуда

100

1000

1E+004

1E+005

1E+006

1E+007

Длина разрыва, м

Сдвиги

Надвиги

Сбросы

0246810

Магнитуда

0.001

0.01

0.1

100

мплитуда подвиж

и, м

Сдвиги

Надвиги

Сбросы

Рис.5.17. Соотношения между параметрами очага и магнитудой

землетрясения

208

Эти зависимости показаны линиями на рис.5.17. Там же

значками показаны результаты измерений длины разрывов

некоторых землетрясений, собранные по различным источникам.

Можно видеть, что характерный размер разрыва в очаге меняется от

нескольких метров для мелких событий типа небольших горных

ударов, до нескольких тысяч километров для гигантских

землетрясений. При этом амплитуда подвижки изменяется

от

миллиметров до десятков метров.

Анализ амплитудного спектра колебаний, излучаемых при

землетрясении, позволяет объяснить эффект насыщения магнитуд,

рассмотренный выше. Все шкалы магнитуд, за исключением

моментной магнитуды

, определяются по результатам измерений

параметров сейсмических колебаний. При этом, магнитуда m

вычисляется по результатам измерений в течение первых пяти

секунд после вступления в области периодов ~1с, а магнитуда М

по

параметрам более низкочастотных поверхностных волн.

Согласно (5.23), (5.24) угловые частоты спектра излучаемых

колебаний обратно пропорциональны характерным размерам

разрыва. Это означает, что для более крупных землетрясений спектр

оказывается обеднен в области высоких частот. Таким образом,

величины магнитуд, определенные по результатам измерений

параметров сейсмических волн, будут систематически занижаться,

начиная с некоторого масштаба события.

Макромеханическим признаком возникновения эффекта

насыщения магнитуд является превышение характерным размером

источника толщины хрупкого слоя земной коры (рис.5.18). Начиная

~ 20км

Рис.5.18. Схема эффекта насыщения 1- мелкое землетрясение; 2 –

среднее землетрясение; 3 – крупное землетрясение

209

с определенного масштаба разрывы рассекают всю верхнюю кору. В

последнем случае очаги событий с различной длиной разрыва могут

иметь фактически одну и ту же ширину. Этот эффект необходимо

иметь в виду при применении тех или иных моделей очага. Для

разных регионов характерна разная граница между «малыми» и

«большими» событиями. Так,

например, для Калифорнии этот

переход соответствует значениям магнитуд М~6÷6.5, а для

землетрясений в субдукционных зонах М~7.5.

Как видно из соотношения (5.22),амплитуда спектра в

низкочастотной области пропорциональна величине:

ALuM

⋅

, (5.26)

т.е. произведению модуля сдвига среды на величину подвижки и на

площадь разлома.

Величина

имеет размерность н м и, как отмечалось выше,

называется

сейсмическим моментом.

Связь сейсмического момента и моментной магнитуды

землетрясения

определяется соотношением (5.4). Напомним, что

поскольку моментная магнитуда определяется по низкочастотной

части спектра, то на этом параметре эффект насыщения магнитуд не

сказывается.

5.2.4 Скачок напряжений

По окончании динамической стадии, поле напряжений в

окрестности очага изменяется. Скачок напряжений, вызываемый

землетрясением, есть

)()()(

rrr

σσσ

−=Δ

. Обычно

рассматривается только сдвиговое напряжение на плоскости

разлома:

01 sss

−

, (5.27)

и эта величина называется скачком статических напряжений,

связанным с землетрясением.

210

Относительное перемещение бере

ов

Напряжение

(1)

(2)

(3)

Рис.5.19 Изменение напряжений при формирования разрыва в

очаге

Поскольку распределение напряжений и прочностных

характеристик около разлома неоднородное, то и смещение берегов

Δu и скачок напряжений

являются, вообще говоря, сложными

функциями пространства и времени.

В простейшем случае полагают, что значение напряжений

изменяется скачком от начальной величины

до конечной σ

(сплошная линия на рис.5.19).

Изменение напряжений в ходе формирования разрыва может

быть и более сложным. Например, напряжение может увеличиться

до пикового значения напряжений

в начале скольжения (кривая

(1) на рис.5.19) из-за специфического rate-state закона трения (см.

раздел 3). Величина фрикционного сопротивления также не остается

постоянным в процессе относительного перемещения берегов

разрыва. В зависимости от свойств контакта и напряженного