Кобяк Г.Ф. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
б) С помощью обратной матрицы
H,
1
AX
где
1
A
- обратная матрица к А, Н –
столбец правых частей:
11
A
21
A
31
A
A
A
1
1
12
A
22
A
32
A
13
A
23
A
33
A
- 1 1 2 1 2 -1 2 -1
11
A
1 5 = - 6 ;
12
A
3 5 = - 7 ;
13
A
3 1 = 5;
21
A
1 5
= -11;
1 -1 1 2 2 -1 1 - 1
22
A
3 5 = 8;
23
A
3 1 = 5;
31
A
-1 1 = 3;
32
A
2 1 = -3;
1 2
33
A
2 -1 = - 5.
Решение системы:
1
x
6 - 11 3 6
1
х =
2
x
=
25
1
-7 8 -3
-1 = 2
3
x
5 5 -5 0 -1
т.е.
.1,2,1
321
xxx
в) Наша система эквивалентна
55
1335
62
3
32
321
x
xx
xxx
(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц
A
и
A
~
) :
тогда
;1
3
x
;25/)313(
32
xx
.126
321
xxx
Пример 9. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:
044
053
043
321
321
321
xxx
xxx
xxx
С помощью элементарных преобразований матрицу А приведем к трапециевидной форме:
3 4 -1 1 -3 5
A
1 -3 5 0 13 -16
4 1 4 0 0 0
Следовательно, rangA = 2
3 и система имеет бесконечное множество решений,
зависящих от 3 – 2 = 1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна
01613
053
32
321
xx
xxx
Откуда
,
13
16
3
2
x
x
13
17
3
1
x
x
Полагая
cx
3
(произвольной постоянной), имеем
,
13
17
1
C
x
,
13
16
2
C
x
.
3
Cx
6. Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
… Векторы
,
1
a
n
aa ...
2
называются линейно зависимыми, если существуют
действительные числа
,
1
L
,
2
L
…,
n
L
(из которых по меньшей мере одно отлично от
нуля), такие, что
0...
2211
nn
aLaLaL
(*)
в противном случае (т.е. когда таких чисел не существует) векторы называются линейно
независимыми; другими словами, векторы линейно независимы, если равенство (*)
выполняется лишь при
0...
21
n
LLL
Множество линейно независимых векторов называется базисом. Число векторов в базисе
называется размерностью.
Пример 10. Показать, что векторы
вa,
и
c
образуют базис линейного векторного
пространства и найти разложение вектора d в этом базисе:
),2;3;1(a
),0;2;0(в
),9;7;5(c
)16;4;0(d
Решение. Векторы
вa,
и
c
образуют базис тогда, когда выполнится условие
0L
321
cвLaL
при условии, что
.0
321
LLL
0
0
0
9
7
5
0
2
0
2
3
1
321
LLL
092
0723
05
31
321
31
LL
LLL
LL
решая эту систему, получим, что
,0
321
LLL
значит
вa,
и
c
образуют базис. Найдем
разложение вектора
d
базисе
cz вyaxd
16
4
0
9
7
5
0
2
0
2
3
1
zyx
1692
423
05
Zx
ZZyx
zx
Решая эту систему, получаем: х = 80, у = -62, Z = - 16, а вместе с этим и разложение
вектора
.166280 свad
Итак, координаты вектора
d
в базисе
вa,
и
c
равны 80, -62, -16.
Пример 11. По координатам точек найти: А(-5; 1; 6), В(1; 4; 3), С(6; 3; 9)
а) модель вектора
CBBAa
)3;3;6()63;14);5(1( BA
)6;1;5()39;43;16( CB
)9;4;1()63);1(3;56( CBBAa
222
)9(41 a
=
81161
=
.98
б) скалярное произведение векторов
a
и
СВв
536)9()1(451);( вa
в) проекцию вектора
CBc
на вектор
BAd
пр
54
9
9936
6)3()1(356);(
d
dc
C
d
г) координаты точки
),,,(
MMM
zyxM
делящей отрезок
AB
в отношении 1 : 3;
.
3
1
Следовательно:
;
2
7
3
1
1
1
3
1
5
M
x
;
4
7
3
1
1
4
3
1
1
M
y
.
4
21
3
1
1
3
3
1
6
M
z
(см. замечание)
Замечание! Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве
),,(
1111
zyxM
и
),,(
2222
zyxM
. Найти координаты точки М, делящей отрезок
21
MM
в
отношении
:
По определению
,
2
1
MM
MM
где
MM
1
и
2
MM
величины направленных отрезков
MM
1
и
2
MM
оси, проходящей через точки
1
M
и
,
2
M
поэтому
MM
1
=
.
2
MM
Координаты точки М находятся по формулам
;
1
21
xx
x
;
1
21
yy
y
.
1
21
zz
z
В частности, координаты середины отрезка определяются формулами
;
2
21
xx
x
;
2
1
yy
y
.
2
21
zz
z
Задача. Предприятие производит изделия
,
1
u
2
u
и
.
3
u
За рассматриваемый промежуток
времени плановый выпуск характеризуется вектором х = (10; 7; 4). Для изготовления
изделий используется сырье
4321
,,, cccc
и
.
5
c
В таблице приведены нормы расхода
сырья на единицу каждого изделия. Вектор С = (7; 4; 5; 10; 2) задает стоимость единицы
сырья каждого вида, а вектор Т = (3; 2; 3; 6; 3) – стоимость перевозки единицы сырья
каждого вида.
№
п/п
Изделие Расход сырья
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
1
1
u
5 10 3 9 2
2
2
u
4 8 5 6 8
3
3
u
6 6 12 4 3
1. Сколько единиц сырья каждого вида потребуется для выполнения плана?
2. Установить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия каждого вида.
3. Определить стоимость сырья, необходимого для выполнения плана.
4. Найти стоимость всего сырья с учетом его транспортировки.
Решение. Обозначим через А матрицу норм расхода сырья на единицу каждого изделия:
,
1034126
86584
293105
A
a
через у – матрицу строку (вектор), характеризующую количество сырья каждого вида,
требуемого для выполнения плана, тогда у =
.AX
Проведем вычисления:
1034126
86584
293105
4;7;10;;;;
54321
yyyyy
;124871010;6447510(
)116;144;81;204;102()10487210;3467910;4457310
.
Теперь можно вычислить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия i –го вида,
обозначив ее матрицей-столбцом z =
:),,(
т
321
zzz
.
Т
CAZ
2
10
5
4
7
1034126
86584
293105
3
2
1
Z
Z
Z
.1602101035441276
,16128106554874
,184221095341075
3
2
1
Z
Z
Z
Таким образом, стоимость единицы изделия задается матрицей
Z = (184; 161; 160)
Т
Следовательно, стоимость всего сырья, необходимого для выполнения плана, можно
вычислить по формуле
360721161014458142047102
2
10
5
4
7
)116;144;81;204;102(
TТ
CYCAX
Для того, чтобы вычислить стоимость всего сырья с учетом его транспортировки,
посчитаем сначала, во что обойдется его транспортировка, используя формулу
21693116614438122043102
3
6
3
2
3
)116;144;81;204;102(
Т
ТY
Следовательно, все расходы составят:
577621693607
ТТ
ТYCY
Задача.
4.1. Пределы. Основные формулы
1. Свойства пределов
1)
0
lim
xx
(f(x)nn(x))=
0
lim
xx
f(x)n
0
lim
xx
(x)
2)
0
lim
xx
fxn·nnx=
xxf
xxxx
00
limlim
3)
0
lim
xx
cn·nf(x)n=ncn·
0
lim
xx
f(x) где с = const
4)
0
lim
xx
(f (x))
n
= (
0
lim
xx
f (x))
n
5)
0
lim
xx
)(
)(
x
xf
n=n
,
)(lim
)(lim
0
0
x
xf
xx
xx
0)(lim
0
x
xx
2. Первый замечательный предел
,1
sin
lim
0
x
xx
x
в частности
.
sin
lim
0
a
ax
x
xx
3. Второй замечательный предел
,
1
1lim e
n
n
n
если
nприхx
n
0,
1
то
ex
x
x
/1
0
1lim
в частности
k
x
x
e
x
k
1lim
0
4. При нахождении пределов вида
ax
lim
x
xf
=С, нужно иметь в виду
следующее:
1) если существуют конечные пределы
;,lim,lim
В
axax
АСтоBxиAxf
2) если
xиAxf
axax
lim,1lim
то предел находится с помощью
формул:
а) если
,10 A
то
0C
б) если
СтоA ,1
3) если
,lim,1lim
xxf
axax
то полагают
,1 xxf
где
0x
при
ax
и следовательно
xxfLimxxLim
xx
x
ax
axax
xC
1
1
expexp1lim
5. Чтобы раскрыть неопределенность вида
0
0
, заданную отношением
двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить
критический множитель (т.е. множитель, равный нулю при предельном
значении х) и сократить на него.
Пример. Найти
154
23
2
2
1
xx
xx
Lim
x
Решение. При х = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль, получается
неопределенность вида
0
0
. Преобразуем данную функцию, разлагая на
множители числитель и знаменатель по формуле
21
2
xxxxacвxax
где
21
xиx
- корни уравнения
0
2
cвxax
3
5
4
1
14
3
2
13
4
1
4
3
2
3
4
1
14
3
2
13
154
23
11
2
2
1
x
x
Lim
xx
xx
Lim
xx
xx
Lim
xxx
6. Чтобы
раскрыть неопределенность вида
, заданную отношением двух
многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую
высокую входящую в них степень х, а затем перейти к пределу.
Пример. Найти
273
456
2
2
xx
xx
Lim
x
Решение. При
x
числитель и знаменатель неограниченно
увеличиваются (получаем неопределенность вида
). Разделим числитель и
знаменатель на
2
x
, т.е. на старшую степень х. Получим:
2
003
006
27
3
45
6
27
3
45
6
273
456
2
2
2
2
2
2
x
x
Lim
x
x
Lim
x
x
x
x
Lim
xx
xx
Lim
x
x
xx
Здесь принято во внимание, что
0
x
c
Lim
x
,
constc
,
0lim
2
x
c
x
.
7. Чтобы раскрыть неопределенность вида
0
0
, в которой числитель и
знаменатель содержат иррациональность, следует соответствующим
образом избавится от иррациональности.
Пример. Найти
21
9
2
3
x
x
Lim
x
Решение При х = 3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и
знаменатель на
.21 x
.
2
2
33
2
3
21
2133
lim
2121
2133
lim
21
9
x
xxx
xx
xxx
x
x
Lim
xx
x
=
2421333213
41
2133
33
xxLim
x
xxx
Lim
xx
Пример. Найти
x
x
Lim
x
1ln
0
Решение Так как
,1ln1ln
11ln
1
0
x
x
xx
xx
x
Lim
то
1ln1limln1ln
1ln
1
0
1
00
exxLim
x
x
Lim
x
x
x
xx
Пример. Найти
x
tgx
x 0
lim
Решение. Так как
x
x
tgx
cos
sin
и
,10coscoslim
0
x
x
то
x
x
xxx
x
x
tgx
xxx
sin
cos
1
lim
1
cos
sin
limlim
000
111
sin
lim
cos
1
lim
00
x
x
x
xx
Пример. Найти
x
x
x
x
32
12
lim
Решение. Это предел вида
x
ax
xf
lim
, где
,
32
12
x
x
x
xx )(
На
основании формул 4 имеем
,1
32
12
lim
x
x
x
x
x
lim
, т.е. предел вида
1
; в
соответствии с третьим случаем из формул 4 имеем
x
x
x
x
32
12
lim
℮
x
x
x
x
1
32
12
lim
= ℮
x
x
xx
x
32
3212
lim
= ℮
x
x
x
32
4
lim
=
℮
32
4
lim
x
x
x
= ℮
x
x
3
2
4
lim
= ℮
2
4.2. Производная и дифференциал. Основные определения и свойства.
Производной функции
)(xfy
в точке
0
x
называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю, т.е.
0
0
0
00
0
0
limlim
xx
xfxf
xfyили
x
xfxxf
y
xxx
Основные правила дифференцирования
0
c
constc
Если
wvи ,,
- дифференцируемые функции от х, то
wvuwvu
vuvuvu
,vcvc
constc
2
v
vuvu
v
u
.
Если
xu
, а
ufy
, то
xfy
имеет производную
x
y
, т.е.
.
xux
uyy
Производные основных элементарных функций
xx
Lxx
x
c
LL
2
1
0
2
1
aaa
ee
x
x
x
x
x
xx
xx
ln
11
0,
2
1
2
xx
xx
ax
x
x
x
a
sincos
cossin
ln
1
log
1
ln
2
2
2
2
1
1
arccos
1
1
arcsin
sin
1
cos
1
x
x
x
x
x
ctgx
x
tgx
2
1
1
1
1
ln
2
1
x
x
x
1
1
1ln
1
1
1ln
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
x
xx
x
xx
x
arcctgx
x
arctgx
Пример. Найти производные функций
а)
2
23
31),53
2
x
x
еxtgyбxxy
Решение. а)
.
52
533
53ln32
52
533
523ln3
5
52
1
353ln3
535353
3
2
3
3
2
3
3
3
32
333
2
2
2
2
22
222
xx
x
xxx
xx
x
xxx
xx
xx
xxx
xxxxxy
x
x
x
x
xx
xxx
б)
2
2
2
2
2/22/
2
2
2
2
2
2
2
2
2/22/2
2
2
31
2
1
3cos
36
2
1
313
3cos
32
2
1
31
3
3cos
1
32
2
31332
3131)31(
xx
xx
xx
xx
xx
x
еxtgе
x
xtg
extge
x
xtg
еxtgе
x
x
xtg
x
еxtgеxtgxtg
еxtgеxtgеxtgy
Дифференциалом функции
xfy
называется произведение ее
производных на приращение независимой переменной:
.xxfdy
В частности, при
,xxf
получим
.,..,,1
dx
dy
xfоткудаdxxfdyетxdxxdx
Применение дифференциала к приближенным вычислениям