Каримов З.Ф., Павлов Е.П. Теоретические основы теплотехники. Термодинамика

4.2. Методические указания к выполнению

контрольных заданий и практических работ

Эти указания реализованы в виде решения ряда характерных примеров с

иллюстрацией хода решения, используемых справочных данных, порядка и спо-

соба представления полученных результатов. Рекомендуется ознакомиться с

этими примерами до выполнения практических и контрольных работ.

Пример 1. Смесь идеальных газов задана объемными долями: =0,6;

=0,3; =0,1. Общая масса смеси

m

2

CO

r

2

N

r

2

O

r

см

=20 кг. В начальном состоянии объем

смеси

V

1

=15 м

3

и температура t

1

=47˚C. В результате адиабатного сжатия давле-

ние смеси увеличивается до

p

2

=0,9 МПа.

Определить давление смеси p

1

в начальном состоянии, температуру t

2

и

объем

V

2

смеси в конечном состоянии, работу сжатия L

1-2

и изменение внутрен-

ней энергии Δ

U. Считать, что теплоемкость газов не зависит от температуры и

определяется из приложения [П.1].

Определить парциальные давления газов, входящих в смесь, в конечном

состоянии. Изобразить процесс в

pv - и Ts - диаграммах.

Решение

Дано: V

1

, m

см

, p

2

, t

1

,

2

CO

r,

2

N

r,

2

O

r.

Необходимо найти:

p

1

, t

2

, V

2

, L

1-2

, ΔU=U

2

–U

1

.

1. Сначала схематично представим рассматриваемый процесс в

pv - и Ts - диа-

граммах, следуя рис. 4.1.

Рис. 4.1

2. Состояние исследуемой газовой смеси описывается уравнением Клапейрона -

Менделеева (см. формулу 1), которое в обозначениях, принятых в данной зада-

че, можно представить в виде

p·V=m

см

·R

см

·T. (4.1)

Газовая смесь из состояния 1 переходит в состояние 2 по адиабате, поэтому

211

параметры начального и конечного состояний смеси связаны с уравнениями

(1.59, 1.60, 1.61). Применительно ко всему объему (

V

i

=m

см

·v

i

) эти уравнения

принимают вид

p

1

· =p

k

V

1

2

· ; T

k

V

2

1

·

1

−

k

V =T

2

·

1

2

−

k

V ; T

1

k

·

1

−

k

p =T

2

k

· . (4.2)

1

2

−k

p

Из структуры формулы (4.1) следует, что, в начале необходимо определить

газовую постоянную смеси

R

см

. Для этого используем формулу (1.18):

()

.

,,,

rrrr

R

OONNCOCOii

см

219

321030284460

8314

83148314

222222

=

⋅+⋅+⋅

=

μ⋅+μ⋅+μ⋅

=

μ⋅

=

∑

Анализ процесса сжатия смеси осуществляется при помощи уравнений

(4.2), но прежде необходимо найти показатель адиабаты

vcм

рсм

с

c

k =

, для нахож-

дения значения которого нужно рассчитать изобарную

c

pсм

и изохорную c

vсм

те-

плоемкости смеси, используя формулы (1.22,1.21):

222222

pOOpNNpCOCOpiiрсм

ccccc

⋅

γ

+

⋅

γ

+

⋅

γ

=⋅

γ

=

∑

. (4.3)

222222

vOOvNNvCOCOviivcм

ccccc

⋅

γ

+

⋅

γ

+

⋅

γ

=

⋅

γ

=

∑

По условию рассматриваемой задачи смесь задана объемными долями r

i

, а

в формулах (4.3) состав смеси выражен в массовых долях γ

i

. Перевод в массо-

вые доли производим при помощи формулы (1.19):

(

)

()

∑

μ⋅

μ

⋅

=γ

ii

i

r

.

(

)

()

(

)

()

695,0

321,0283,0446,0

446,0

222222

22

2

=

⋅+⋅+⋅

⋅

μ⋅+μ⋅+μ⋅

μ⋅

=γ

OONNCOCO

COCO

CO

rrr

r

.

(

)

()

(

)

()

221,0

321,0283,0446,0

283,0

222222

22

2

=

⋅+⋅+⋅

⋅

μ⋅+μ⋅+μ⋅

μ⋅

=γ

OONNCOCO

NN

NO

rrr

r

.

212

(

)

()

(

)

()

084,0

321,0283,0446,0

321,0

222222

22

2

=

⋅+⋅+⋅

⋅

μ⋅+μ⋅+μ⋅

μ⋅

=

OONNCOCO

OO

O

rrr

r

g

.

Из [П.1] находим значения мольных изобарных и изохорных теплоемко-

стей компонентов газовой смеси

= 37,4;

2

pCO

cμ

2

vCO

c

μ

= 29,1

= 29,1 ;

2

pN

cμ

2

vN

c

μ

= 20,8

2

pO

cμ = 29,1 ;

2

vO

c

μ

= 20,8

Переводим значения мольных теплоемкостей в массовые с помощью

формул:

i

pi

c

с

μ

= ;

i

vi

c

с

μ

=

85,0

4,37

2

=

μ

=

CO

pCO

c

;

66,0

44

1,29

2

==

мCO

c ;

039,1

28

1,29

2

==

pN

c ;

743,0

28

8,20

2

==

vN

c ;

909,0

32

1,29

2

==

pO

c ;

650,0

32

8,20

2

==

vO

c .

Найденные массовые доли компонентов газовой смеси γ

i

и их изобарные,

изохорные теплоемкости подставляем в уравнения (4.3):

c

pсм

=0,695·0,85+0,221·1,039+0,084·0,909=0,8967.

c

vсм

=0,695·0,66+0,221·1,743+0,084·0,650=0,6775.

213

Определяем значение показателя адиабаты:

324,1

6775,0

8967,0

===

vcм

рсм

с

c

k

.

Формулу (4.1) напишем применительно к начальному состоянию смеси

р

1

V

1

=m

см

·R

см

·T

1

,

где

T

1

=t

1

+273.

Из последнего выражения находим начальное давление:

093,0

15

32021820

1

=

⋅

=

⋅

=

V

ТRm

р

смсм

.

Далее в соответствии с первой из формул (4.2)

p

1

k

V

1

=p

2

k

V

2

определяем

конечный объем смеси:

7,2

9,0

093,0

15

324,1

1

2

1

12

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

k

p

VV

.

Пользуясь второй из формул (4.2)

T

1

−

k

V

=T

2

1

2

−

k

V

, рассчитываем конеч-

ную температуру смеси:

557

7,2

15

320

324,0

1

2

1

12

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

−k

V

TT

.

284273557273

22

=

−

=

−

= Tt

.

Обращаясь к формуле (1.63), находим удельную работу сжатия газовой

смеси:

(

)

1

21

−

=

−

k

ТТR

l

см

.

214

Применительно ко всей массе смеси работа сжатия равна

19,3

1324,1

)557320(21820

1

)(

21

−=

−

⋅

=

−

⋅

=⋅=

−

k

ТТRm

lmL

смсм

.

Отрицательное значение

L

1-2

означает, что эта работа внешних сил над га-

зовой смесью.

Изменение удельной внутренней энергии смеси определяем, используя

формулу (1.64)

Δ

u=(u

2

-u

1

)=c

v

·(T

2

-T

1

).

Применительно ко всей массе смеси изменение внутренней энергии равно

Δ

U=U

2

-U

1

=m

см

·(u

2

-u

1

)=m

см

·c

v

·(T

2

-T

1

)=

=

20·0,6775(557-320)=3,19.

Определяем парциальные давления компонентов газовой смеси. Из зако-

на Бойля - Мариотта следует

iсм

см

i

смiiсмсмi

rр

V

ppVрVp

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=⇒⋅=⋅ .

Используя последнее выражение, определяем парциальные давления

компонентов газовой смеси:

2

CO

p = ·p

2

CO

r

2

=0,6·0,9=0,54,

2

N

p = ·p

2

N

r

2

=0,3·0,9=0,27,

2

O

p = ·p

2

O

r

2

=0,1·0,9=0,09.

Пример 2. Рассчитать цикл ДВС с изохорным подводом теплоты (цикл

Отто), если начальные параметры рабочего тела

p

1

=0,1 МПа, t

1

=20 ˚C, степень

сжатия ε=6,5, а отведенная теплота |

q

2

|=320 кДж/кг. Определить параметры со-

стояния рабочего тела в характерных точках цикла, подведенное количество

теплоты

q

1

, работу цикла l

ц

и термический КПД η

t

, а также термический КПД

цикла Карно в том же диапазоне температур. Изобразить цикл в координатах

p,

v и T, s. Рабочее тело - воздух. Средняя изохорная теплоемкость

c

vm

=0,716 кДж/(кг·К); удельная газовая постоянная R

в

=287 Дж/(кг·К); показа-

тель адиабаты

k=1,4.

215

Решение

Дано: p

1

, t

1

,

2

1

V

=ε , |q

2

|.

Необходимо определить

v

1

, v

2

, v

3

, v

4

, p

2

, p

3

, p

4

, t

2

, t

3

, t

4

, η

t

, l

ц

.

1. Представим рассматриваемый цикл в координатах

p, v и T, s, следуя рис. 4.2.

Рис. 4.2

Параметры точки 1:

p

1

=0,1·10

6

Па; T

1

=273+t

1

=293 К.

Удельный объем определяем с помощью формулы (1.4).

(

)

841,0

101,0

293287

6

1

=

⋅

=

⋅

=⇒⋅=⋅

p

ТR

vТRvp

в

.

Параметры точки 2: находим, исследуя адиабатный процесс 1-2, который

описывается формулой (1.59):

64,16

1

2

1

122211

10374,15,6101,0 ⋅=⋅⋅=ε=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⇒=

k

kk

p

v

ppvpvp .

В соответствии с формулой (1.60)

=⋅ = ε=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

6195,6293T

v

T T

4,01

1

1-k

2

1

12

k

v

,

129,0

5,6

841,0

1

2

==

ε

=

v

.

Для нахождения параметров точек 3, 4 составляем зависимости, соответ-

ствующие процессам:

2-3; 3-4; 4-1. Процесс 2-3 - изохорный, v

3

=v

2

=const. Из

216

уравнения состояния pv=R

в

·T

следует ==

v

R

T

p

в

const. Следовательно,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⇒=

2

3

23

3

2

T

pp

T

p

T

p

. (4.4)

Для изохорного подвода теплоты справедлива зависимость

q

1

=с

v

·(T

3

-T

2

). (4.5)

Процесс 3-4 - адиабатный:

p

3

k

v

3

=p

4

k

v

4

. (4.6)

Процесс 4-1 - изохорный:

,

14

vv

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

4

14

T

pp

; (4.7)

и изохорный отвод теплоты

q

2

=с

v

·(T

4

–T

1

). (4.8)

В уравнениях (4.4 – 4.8) неизвестными являются

p

3

, T

3

, p

4

, T

4

, q

1

. Решая

эту замкнутую систему уравнений, находим искомые величины:

9,739

716,0

320

293

2

14

=+=+=

v

c

q

TТ

,

66

1

4

14

10252,0

293

9,739

101,0 ⋅=⋅⋅==

T

pp

,

p

3

= p

4

·ε

k

=0,252·10

6

·6,5

1,4

=3,46·10

6

,

1559

107741

10463

619

6

2

3

23

=

⋅

==

б

р

ТТ

.

Параметры всех характерных точек найдены.

217

Находим количество подведенной теплоты в соответствии с формулами:

q

1

=c

v

(T

3

-T

2

)=0,716 (1559-619)=673 .

Определяем термический КПД по формуле (3.16):

527,0

5,6

1

4,01

=−=

ε

−=η

−k

t

.

Рассчитываем работу цикла

l

ц

=q

1

-q

2

=(673-320)=353 кДж/кг.

Находим термический КПД цикла Карно в диапазоне температур

max

n

T =T

3

=1559 K, =T

min

от

T

1

=293 .

81,0

1559

293

11

3

1

=−=−=η

T

t

.

Пример 3. Из сужающегося сопла вытекает кислород, находящийся в ре-

зервуаре, давление и температура в котором

р

1

=6 МПа, t

1

=100

о

С. Давление сре-

ды, в которую проходит истечение

р

2

=3,6 МПа.

Определить скорость истечения и расход кислорода, если площадь вы-

ходного сечения

f=20 мм

2

.

Газ подчиняется уравнению Клапейрона - Менделеева

pv=RT, теплоем-

кость не зависит от температуры. Входная скорость кислорода близка к нулю.

Процесс изменения состояния текущего газа изоэнтропный.

Решение. Прежде всего, устанавливаем каков режим истечения, для чего

находим значение параметра

6,0

6

6,3

1

2

===β

р

.

Сравниваем полученное значение с критическим отношением давлений в

соответствии с формулой (2.56).

528,0

1

2

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

==β

−k

k

кр

kр

р

,

где

k=1,4 - коэффициент адиабаты;

218

кр

β>β , т.е. это означает, что давление среды перед соплом больше, чем крити-

ческое, следовательно, располагаемый перепад давления будет использован

полностью для разгона потока газа.

На выходе из сопла установится давление, равное давлению среды, а ско-

рость истечения окажется меньше критической скорости, т.е. режим истечения

будет - дозвуковой.

Определяем скорость истечения в соответствии с формулой (2.52):

()

3036,01373

32

8314

14,1

4,12

1

2

286,0

1

12

=−⋅⋅

−

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−

−

=

−

k

RT

k

w

.

Подсчитываем удельный объем кислорода на выходе из сопла:

()

743,067,1

106

3738314

4,1

1

6

1

2

1

2

1

12

=

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

kk

p

RT

p

vv

.

В заключение находим массовый расход кислорода при помощи уравне-

ния неразрывности (2.40):

008,0

743,0

3031020

6

2

22

=

⋅⋅

==

v

wf

G .

Пример 4. Необходимо определить конструктивные параметры сопла

Лаваля, которое должно работать при следующих условиях.

На входе сопла давление и температура воздуха соответственно

р

1

=0,9 МПа, Т

1

=1100 К, в выходном сечении давление р

2

=0,11 МПа. Массовый

расход газа G=0,7 кг/с.

Истечение через сопло адиабатное, при k=1,4. Трение газа в каннале и

входная скорость его не учитываются. Удельная газовая постоянная

R=287 Дж/(кг·К).

Решение. Находим отношение давлений в выходном сечении сопла:

12,0

109,0

1011,0

6

1

2

=

⋅

==β

p

.

219

По формуле (2.56) определяем критическое значение

β

:

528,0

14,1

2

1

2

14,1

4,1

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=β

−

−k

k

кр

k

.

Для условий данного примера имеет место условие

кр

β<

β

, следователь-

но, в минимальном сечении сопла будет достигнута критическая скорость и со-

пло Лаваля будет работать в сверхзвуковом режиме. Критическую скорость,

соответствующую начальной температуре Т

1

=1100 К, определяем по формуле

(2.57)

6071100287

14,1

4,12

1

2

1

2

111

=⋅

+

⋅

=

+

=

+

= RT

k

vp

k

w

кр

.

Площадь минимального сечения сопла находим по формуле:

кр

w

Gv

f =

min

,

где

k

кркр

vv

1

−

β= ; 351,0

109

1100287

5

1

=

⋅

==

p

RT

v .

554,0528,0351,0

4,1

1

=⋅=

−

кр

v

м

3

/кг; 638

607

554,07,0

min

=

⋅

=f .

Диаметр минимального сечения сопла

29

14,3

63844

min

=

⋅

=

π

=

f

d .

Длину сужающейся части сопла l

1

обычно принимают равной диаметру

минимального сечения:

l

1

=29.

Скорость газов в выходном сечении сопла находим по формуле (2.52):

220

Каримов З.Ф., Павлов Е.П. Теоретические основы теплотехники. Термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.