Каган А.В. Математическое моделирование в электромеханике
Подождите немного. Документ загружается.
С учетом этого получаем (осуществив переход к индуктивным
сопротивлениям)
ω
ω
++
ω
ω
++++=
ω
ω
+−
ω
ω
−+++=
+++=
+++=
ααββββ
β
ββαααα
ββββ
β
αααα
α
.)()(0
;)()(0
);(
);(
1
2
02
1
1
0
21
0
2
2
2
2
1
2
02
1
1
0
21
0
2
2
2
2
21
0
1
1
1
1
1
21
0
1
1
1
1
1
IxxIxIIjxIjxIr
IxxIxIIjxIjxIr
IIjxIjxIrU
IIjxIjxIrU
Преобразуем систему уравнений к виду
ω
ω
+
ω
ω
+
ω
ω
+++=
ω
ω
−
ω
ω
−
ω
ω
−++=
++=
++=
αααβββ
β
βββααα
βββ
β
ααα
α
,0
;0
;
;
1
2
0
1
2
2
1
1
0
0
0
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
1
1
0
0
0
2
2
2
2
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
IxIxIxIjxIjxIr
IxIxIxIjxIjxIr
IjxIjxIrU
IjxIjxIrU
,
где
ααα
+=
210
III ;
βββ
+=
210
III .
Переписываем систему из четырех уравнений, произведя
группировку членов уравнений для роторных цепей,
ω
ω
+
ω
ω
+++=
ω
ω
−
ω
ω
−++=
++=
++=
ααβββ
β
ββααα
βββ
β
ααα
α
.0
;0
;
;
1
2
2
1
0
0
0
0
2
2
2
2
1
2
2
1
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
IxIxIjxIjxIr
IxIxIjxIjxIr
IjxIjxIrU
IjxIjxIrU
Умножив члены 2-го и 4-го уравнения на j и сложив почленно 1-е
уравнение со 2-м, а 3-е с 4-м, получаем
ω
ω
−
ω
ω
−++=
++=
α
.0
;
1
2
2
1
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
1
1
1
1
1
IjxIjxIjxIjxIr
IjxIjxIrU
31
Произведя группировку членов 2-го уравнения, записываем:
ω
ω
−+
ω
ω
−+=
++=
α
).1()1(0
;
1
0
0
1
2
2
2
2
0
0
1
1
1
1
1
IjxIjxIr
IjxIjxIrU
Имея в виду, что скольжение
11
1
1
ω
ω
−=
ω
ω
−
ω
=s , окончательно
получаем известную математическую модель асинхронной машины в
установившемся режиме:
++=
+
+
=
,0
;
0
0
2
2
2
2
0
0
1
1
1
11
IjxIjxI
s
r
IjxIjxIrU
α
где
210
III += .
Этим уравнениям напряжений соответствует Т-образная схема
замещения (рис.9).
Рис.9. Т-образная схема замещения асинхронной машины
Полученная математическая модель позволяет представить основные
соотношения и показатели работы асинхронной машины в уставившемся
режиме через параметры схемы замещения. Так, комплексное входное
сопротивление
z =
)(
)(
20
2
2
2
0
11
xxj
s
r
jx
s
r
jx
jx
++
+
++r
=
32
=
2
02
2
2
0220
2
02
22
1
)()(
))(()(
xx
s
r
xxxx
s
r
xx
s
r
s
r
r
++
+++−
+
+
+
]
)()(
))(()(
[
2
02
2
2
0202
2
20
22
1
xx
s
r
xxxx
s
r
xx
s
r
s
r
x
++
+−−+
+j
=
= jx
r
+ .
Ток в фазе обмотки статора
1
I =
22
1111
))((
)(
xr
xUjrU
jxrjxr
jxrU
jxr
U
z
U
+
1
−
=
+−
−
=
+
= =
=
r
jII
z
xU
j
z
rU
11
2
1
2
1
−=−
α
,
где
22
xrz += - модуль комплексного сопротивления z;
,
a
I
1
r
I
1
- активная и реактивная составляющие полного
тока
1
I
1
I =
2
1
2
1
ra
II + =
z
U
.
1
Коэффициент мощности
z
r
z
U
z
rU
I
I
a
===ϕ
1
2
1
1
1
1
cos .
Подводимая в двигательном режиме активная мощность
2
11
11111
)(cos
z
U
mr
z
r
z
U
mUImUP ==ϕ= ,
где m – число фаз машины.
ЭДС, индуктируемая в обмотках машины,
2
1
2
1
1
121
)()( xxrr
z
U
zIEE
П
−+−=== ,
где
П
z - модуль комплексного эквивалентного сопротивления двух
параллельных ветвей схемы замещения.
33
Ток в обмотке ротора
2
2
2
2
2
1
2
11
2
2
2
')
'
(
)()(
'
'
'
x
s
r
xxrr
z
U
z
E
I
+
−+−
== ,
где
2
2
2
2
2
')
'
(' x
s
r
z += - модуль комплексного сопротивления цепи
ротора.
Электромагнитная мощность
эм
P =
2
2
2
2
2
2
1
222
')
'
(
'
cos
x
s
r
s
r
E
mI
+
=ψ
mE
,
где - угол между
2
ψ
2
E и
2
I ;
2
2
2
2
2
2
')
'
(
'
cos
x
s
r
s
r
+
=ψ .
Электромагнитный момент (без учета падения напряжения на
сопротивлении обмотки статора)
эм
M =
ω
эм
P
=
p
f
P
эм
1
2π
≈
2
2
2
2
2
1
1
)
'
(
'
2
k
x
s
r
s
r
U
f
mp
+
π
,
где p – число пар полюсов машины;
21
'xxx
k
+= .
Зависимость
, построенная по последнему выражению,
имеет известный вид (рис.10).
)(SfM
эм
=
34
Рис.10. Механическая характеристика асинхронного двигателя
Аналогично могут быть получены выражения и для других
показателей асинхронной машины, работающей в установившемся
режиме.
В общем случае уравнения Парка-Горева для явнополюсной
синхронной машины имеют вид
ψ+=
ψ+=
ωψ−ψ+=
ωψ+ψ+=
.0
;
;
;
222
2222
11111
11111
qqq
dddd
dqqqq
qdddd
dt
d
ir
dt
d
iru
dt
d
iru
dt
d
iru
В системе координат d,q для перехода от дифференциальных
уравнений электромеханического преобразования к уравнению
установившегося режима следует произвести замену d/dt на js, ω на 1-s.
Тогда, для любого установившегося режима, справедливо:
ψ+=
ψ+=
ψ−−ψ+=
ψ
−
+
ψ
+
=
.0
;
;)1(
;)1(
2
2
2
2
2
2
2
11
1
1
1
11
1
1
1
q
q
q
d
d
d
d
dq
q
q
q
qd
d
d
d
jsIr
jsIrU
sjsIrU
sjsIrU
35
В синхронном режиме работы s=0, следовательно,
=
ψ−=
ψ+=
.
;
;
222
1111
1111
ddd
dqqq
qddd
IrU
IrU
IrU
Учитывая, что в режиме синхронного вращения 0
, а ток
является током возбуждения,
2
=
q
I
d
I
2
qqqaqqqq
IxIxIx
1211
=
+
=ψ ;
faddddadddd
IxIxIxIx
+
=
+
=ψ
1211
.
Имея в виду, что
и переходя к общепринятым в теории
синхронных машин обозначениям, получаем
rrr
qd
==
11
=
+−=
+=
,
;
;
fff
fddqq
qqdd
IrU
EIxrIU
IxrIU
где ЭДС, индуктируемая потоком возбуждения в обмотке якоря,
.
fadf
IxE −=
Полученным уравнениям соответствует на пространственно-
временной плоскости диаграмма токов и напряжений синхронного
двигателя (перевозбужденного) (рис.11).
36
Рис.11. Диаграмма токов и напряжений синхронного двигателя
Продольная и поперечная составляющие напряжения
θ=
θ
=
,cos
;sin
UU
UU
q
d
где θ - временной угол между векторами напряжения U и ЭДС -
.
f
E
Поскольку в машинах большой и средней мощности относительная
величина активного сопротивления обмотки статора составляет r<0,01
(о.е.), то на векторной диаграмме он может быть приравнен
пространственному углу между вектором ЭДС -
, наводимой в фазной
обмотке результирующим магнитным потоком машины, и вектором
.
δ
E
f
E−
Тогда система уравнений синхронной машины приобретает вид
=
+−=θ
+=θ
.
;cos
;sin
fff
fddq
qqd
IrU
EIxrIU
IxrIU
37
Решим уравнения относительно токов. Из первого уравнения
r
IxU
I
qq
d
−
θ
=
sin
.
Подставив ток
во второе уравнение, имеем
d
I
f
qqd
q
E
r
IxUx
rIU +
−
θ
−=θ
)sin(
cos .
После преобразования получаем
qd
fd
qd
fd
q
xxr
EUrUx
xxr
rEUxrU
I
+
−θ
+
θ
=
+
−
θ
+θ
=
22
)cos(sinsincos
.
Подставим
в первое уравнение
q
I
qd
fq
qd
fq
d
xxr
rUUEx
xxr
rUEUx
I
+
θ+
θ
−
=
+
θ
+
−θ−
=
22
sin)cos(sin)cos(
.
Ток возбуждения
f
f
f
r
U
I =
.
Результирующий ток
22
qd
III += .
Угол
ϕ
между напряжением U и током I
ψ
+
θ
=
ϕ
,
где угол между векторами
-E и I может быть найден в виде
θ
−θ
=−=ψ
sin
)(cos
)(
d
f
q
q
d
x
U
E
x
arctg
I
I
arctg
.
38
Получим выражение электромагнитной мощности через токи и
потокосцепления:
эм
P =
q
ψ =
qdd
II ψ−
qdfdddqq
IIEIxIIx )(
−
−
=
=
d
f
q
q
x
UE
x
U
x
θ
−
θ
cos
sin
-
q
f
d
f
d
x
U
E
x
UE
x
θ
−
θ
−
sin
)
cos
(=
=
qdd
x
U
x
U
x
UE
1
cossin
1
cossin
22
θθ+θθ−θ
f
sin
=
=
θ−+θ 2sin)
11
(
2
sin
2
dqd
xx
U
x
UE
f
=
=
'
P + ,
''
эмэм
P
где =θθcossin
θ2sin
2
1
.
Зависимость
=)
эм
P (θ
f
показана на рис.12.
Рис.12. Угловая характеристика электромагнитной мощности
Электромагнитный момент
θ−
ω
+θ
ω
= 2sin)
11
(
2
sin
1
2
1 dqd
f
эм
xx
U
x
UE
M ,
где
30/60/2/2
1
nppnpf
π
=
π=
π
=ω ;
n – частота вращения, об/мин.
39
В системе о.е. (при
δ
=
= UU
ном
U ):
*
эм
P = =
*
эм
M θ−+θ 2sin)
11
(
2
1
sin
dqd
f
xxx
E
.
Полученная математическая модель позволяет анализировать
установившийся режим синхронной машины.
Машины постоянного тока обычно выполняются с несколькими
обмотками. Между обмоткой вращающегося якоря и обмоткой статора
при нагрузке возникают сложные взаимодействия. Поэтому их
математические модели – это уравнения многообмоточных машин.
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите основные методы решения дифференциальных
уравнений электромеханических преобразователей.
2. Какой метод называется классическим?
3. В чем состоит сущность операторного метода?
4. Какой вид имеет преобразование Лапласа?
5. Как перейти от дифференциальных уравнений
электромеханического преобразования к уравнениям
установившегося режима?
6. Запишите модель установившегося режима работы
трансформатора.
7. Какой вид имеет математическая модель асинхронной машины в
установившемся режиме?
8. Дайте характеристику модели явнополюсной синхронной
машины, работающей в установившемся режиме.
40