Ивантер Э.В., Коросов А.В. Введение в количественную биологию

Подождите немного. Документ загружается.

Задача «Найти зависимость между двумя признаками»

180

Таблица 8.5

ВЫВОД

ИТОГОВ

Регрессионная

статистика

Множест-

венный R

0.9720

R-квадрат

0.9449

Нормир

R-квадрат

0.7782

Стандартн

1.2193

Наблюден

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость F

Регрессия

1 153.079

153.079

102.958

0.00015

Остаток 6 8.92085

1.48680

Итого 7 162

Коэф-

фици-

енты

Стан-

дартная

ошибка

стати-

стика

P-

Значение

Нижние

95%

Верхние

95%

Нижние

95.0%

Верхние

95.0%

Y-пересеч

0 #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д

х 0.0709

0.00101

70.1713

5.6E-10

0.06850

0.07345

0.06850

0.07345

В окне макроса нужно указать диапазоны ячеек, содержащих

ряды значений изучаемых признаков (не перепутав x и y), желатель-

но сразу с метками этих рядов (в этом случае нужно поставить га-

лочку в окне Метки), ОК. Результаты будут выведены на новый ав-

томатически созданный лист книги Excel. Помимо описательной

статистики они содержат таблицу дисперсионного анализа, а также

коэффициенты регрессии с их ошибками и оценкой статистической

значимости по Стьюденту. Если при первом прогоне программы

оказалось, что свободный член значимо от нуля не отличается, при

втором прогоне макроса в окне Константа-ноль следует поставить

галочку.

Выполнение регрессионного анализа с помощью пакета

StatGraphics показано в следующем разделе.

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

181

Криволинейная регрессия

Рассмотренный выше метод линейной регрессии позволяет

описывать и прогнозировать явления и процессы, при которых зави-

симость между изучаемыми признаками приближается к линейной,

простой пропорции. Таковы, например, зависимость веса сердца

разных видов млекопитающих от массы их тела или экстраполяция

данных о численности популяции, полученных на пробных площа-

дях, на всю занимаемую ею территорию и т. п. Однако в большин-

стве случаев связь биологических признаков не бывает линейной и

они изменяются с разной скоростью (и в разных масштабах). Соот-

ветственно на графике форма такой связи отображается не прямой, а

кривой линией. Примерами могут служить геометрическая прогрес-

сия роста численности популяции в оптимальных условиях, харак-

терное для теплокровных животных изменение метаболизма –

невысокий уровень в оптимуме, ускоренно возрастающий при смене

условий, рост числа видов, попавших в описание, по мере увеличе-

ния площади обследованной территории, а также различие скоро-

стей роста разных частей тела, определяющее аллометрический ха-

рактер зависимости признаков. Так, увеличение массы тела опе-

режает по темпам весовой рост сердца и других внутренних орга-

нов, лицевой отдел черепа растет более интенсивно, чем мозговой; с

разной скоростью растут листья на одном и том же побеге.

В подобных случаях использование уравнения прямой линии

(у

= ах

b) неэффективно: теряются многие детали процесса, коэф-

фициенты корреляции и регрессии получаются заниженными, а ре-

зультаты анализа – приблизительными, недостаточно точными. Ре-

шить эту проблему можно с помощью уравнений кривых линий.

В практике биологических исследований в число наиболее часто

используемых входят следующие пять видов криволинейной зави-

симости (табл. 8.6).

Существуют два достаточно простых пути подгонки уравне-

ний под конкретные данные (аппроксимации данных – кривой), два

способа оценки коэффициентов в уравнениях кривых – это настрой-

ка параметров модели с помощью макроса «Поиск решения» (этот

путь рассмотрен в разделе Имитационное моделирование) и рас-

чет коэффициентов методом наименьших квадратов.

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

182

Таблица 8.6

Название зависимости Уравнение График

Степенная

(аллометрическая)

(multiplicative)

= bх

Гиперболическая

(reciprocal)

y +=

Показательная

(экспоненциальная,

exponencial)

у = be

и у

= b

Параболическая

(polynomial)

= c+bх+aх²

Логистическая (кривая

Ферхюльста)

(logistic)

bax

101

Поскольку метод наименьших квадратов исходно ориентиро-

ван на линию (поиск уравнения линии, наименее удаленной ото всех

эмпирических точек), прямой расчет уравнений кривых в рамках

регрессионного анализа невозможен. Натурные данные необходимо

предварительно «выпрямить», т. е. сделать возможным вычисление

линейного уравнения регрессии с тем, чтобы потом из него получить

уравнение криволинейной связи. Общий порядок регрессионного

анализа для криволинейной зависимости следующий:

– преобразование исходных данных, «выпрямляющее» за-

висимость,

– расчет коэффициентов линейной регрессии преобразо-

ванных данных,

– проведение дисперсионного анализа, оценка значимости

коэффициентов регрессии,

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

183

– обратное преобразование коэффициентов линейной рег-

рессии для конструирования уравнения криволинейной

регрессии.

Рассмотрим процесс поиска уравнения криволинейной рег-

рессии на примере изучения зависимости веса печени прыткой яще-

рицы от длины ее тела (рис. 8.11).

Рассчитанное по исходным данным уравнение линейной рег-

рессии имеет вид:

у = 107.9х– 404.2.

И хотя коэффициент регрессии достоверен (T

= 7.6, α<0.05) и

коэффициент детерминации высок R²

= 0.866, это уравнение весьма

приблизительно описывает зависимость признаков – для наимень-

ших наблюдаемых значений длины тела оно дает абсурдное (отри-

цательное) значение массы печени (107.9·3.4–404.2 = –37.3 мг).

Итак, линейная модель не годится даже для интерполяции изучае-

мых данных. Гораздо успешнее справляется с подобной задачей

степенная (аллометрическая) функция у

= bx

-100

100

200

300

400

500

600

700

2 4 6 8 10

x, y

у = 107.9х – 404.2

у = 0.765

Рис. 8.11. Зависимость веса печени (M, мг) от длины тела (L, мм)

у ящериц

·x

3.07

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

184

Для вычисления коэффициентов этого уравнения воспользу-

емся преобразованием: Y

= lgy, X

= lgx, B

= lgb. После логарифмиро-

вания степенное уравнение приняло линейный вид: lgy

= lgb + a·lgx

или Y

= B

aX. Теперь остается отыскать коэффициенты уравнения

B и a, используя алгоритм метода наименьших квадратов (табл. 8.7).

Таблица 8.7

№

х у

= lg

X² Y² X·Y

Y’ (Y’–Y)²

y’

1 3.4

40 0.531

1.60 0.282

2.567

0.85

1.517

0.00718

2 4.2

50 0.623

1.69 0.388

2.886

1.06

1.799

0.01009

3 5.2

150

0.716

2.18 0.513

4.735

1.56

2.085

0.00838

121

4 5.8

120

0.763

2.08 0.583

4.323

1.58

2.23 0.02284

170

5 7.1

240

0.851

2.38 0.725

5.665

2.03

2.5 0.01442

316

6 7.0

410

0.845

2.61 0.714

6.827

2.21

2.481

0.01728

303

7 7.4

370

0.869

2.57 0.756

6.596

2.23

2.556

0.00016

359

8 8.2

500

0.914

2.69 0.835

7.284

2.47

2.693

0.00004

493

9 8.5

610

0.929

2.78 0.864

7.758

2.59

2.741

0.00201

550

Σ 56.8

2490

7.043

20.6 5.66 48.64

16.6

0.08239

Для преобразования исходных данных (Y

= lgy, X

= lgx) мож-

но воспользоваться функцией =log10(ячейка) среды Excel.

Далее рассчитаем суммы, необходимые промежуточные зна-

чения и коэффициенты (приведены округленные значения с листа

Excel): ΣY

= Σlgy

= 20.6, ΣY²

= Σ(lgy)²

= 48.64, ΣX = Σlgx = 7.043,

ΣX² = Σ(lgx)² = 5.659, ΣXY = Σ(lgx·lgy) = 16.577,

= ΣY/n = 20.6/9 = 2.289, M

= ΣX/n = 7.043/9 = 0.7826,

= ΣXY–(ΣX)·(ΣY)/n = 16.572–7.043·20.602/9 = 0.45542,

= ΣX²–(ΣX)²/n = 5.655–(7.04)²/9 = 0.14816,

= ΣY²–(ΣY)²/n = 48.638–(20.601)²/9 = 1.4823,

8/4823.1)1/( =−= nCS

= 0.4305,

8/14816.0)1/( =−= nCS

= 0.1361,

34823.114816.045542.0 ⋅⋅=⋅⋅=

YXXY

CCCr = 0.9718,

= C

= 0.45541/0.14815

= 3.0739,

= M

–

= 2.289 – 3.0739·0.7826 = –0.11643.

Линейное уравнение для преобразованных данных имеет вид:

lgy = 3.07·lgx

– 0.116 или Y' = 3.07·X – 0.116.

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

185

Оно дает возможность рассчитать теоретические значения признака

Y' (теоретические значения логарифмов массы печени), а также

квадраты отклонений прогнозных значений от реальных: (Y'–Y)² и

их сумму Σ(Y'’–Y)² = 0.08239.

Эта величина есть остаточная сумма квадратов; вместе с об-

щей суммой квадратов Cy = C

общ.

= 1.4823 она позволяет сформиро-

вать таблицу дисперсионного анализа (табл. 8.8):

мод.

= С

общ.

– С

остат.

= 1.4823 – 0.08239 = 1.39993.

Таблица 8.8

Составляю-

щие диспер-

сии

S² F

Наклон мо-

дельной ли-

нии

мод.

= Σ (Y'

– M

)

1.39993

мод.

0.39993

F =

01177.0

39993.1

= 118.9377

Отклонения

вариант от

линии рег-

рессии

остат.

= Σ (y

– Y'

)

0.08239

остат.

0.01177

(0.05,1,7)

= 5.6

Общая

(всего)

общ.

= Σ (y

– M

)

1.482322

Полученное значение F

= 118 больше табличного (5.6), сле-

довательно, дисперсия, обусловленная регрессией, достоверно

больше случайной, т. е. признак Y действительно зависит от призна-

ка X, и линия регрессии адекватна исходным данным. Коэффициент

детерминации больше, чем у линейной регрессии, и составляет:

R² = С

мод.

/С

общ.

= 1.39993/1.482322

= 0.944417.

Ошибка коэффициента криволинейной регрессии равна:

−

⋅=

−

⋅=

0.97181

136.0

430.0

0.281,

а критерий Стьюдента, проверяющий гипотезу Но: a = 0, составляет:

T = a/ m

= 3.0739/0.281 = 10.9.

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

186

Полученное значение больше табличного (T

(0.05,8)

= 2.31 для

уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы df = n–2 = 8)

(α<<0.05), зависимость признака Y от X есть, причем очень тесная.

Следует помнить, что при расчете ошибки коэффициента криволи-

нейной регрессии используются стандартные отклонения для пре-

образованных (у нас – прологарифмированных) значений при-

знаков.

В завершение выполним обратное преобразование второго

коэффициента регрессии, свободный член равен:

b = 10

= 10

–0.11643

= 0.764839.

Теперь уравнение регрессии принимает вид степенной зави-

симости:

у'

= 0.765·x

3.07

Теоретические значения у', рассчитанные по этому уравне-

нию, гораздо ближе к исходным данным, что хорошо видно и на

графике (рис. 8.11), и по большей величине коэффициента детерми-

нации (0.94>0.87) (читателю несложно будет проделать все вычис-

ления в среде Excel с помощью программы Регрессия – как для ис-

ходных, так и для преобразованных данных).

Аллометрическое уравнение (у'

= 0.77х

3.1

) не только лучше

описывает зависимость между сравниваемыми признаками в стати-

стическом плане, но и придает ей более ясный биологический смысл

(масса печени = 0.77·длина тела

3.1

). Как известно, объемные величи-

ны (объем, масса тела) пропорциональны кубу линейных промеров

(длина тела). В свою очередь, вес печени и вес тела связаны прямой

пропорциональной зависимостью. Так становится понятной наблю-

даемая пропорциональность веса печени кубу длины тела.

Когда зависимость между изучаемыми признаками имеет

иную форму, чем может описать степенное уравнение, пользуются

другими способами преобразования данных (табл. 8.9).

Выбрать, какой из видов описания лучше подходит к эмпи-

рическим данным, можно, ориентируясь на величину коэффициента

детерминации или корреляции. Чем ближе линия проходит к эмпи-

рическим точкам, тем меньше остаточная сумма квадратов, тем

больше коэффициент детерминации. Существуют и другие уравне-

ния для описания криволинейных зависимостей (например, очень

интересна парабола).

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

187

Таблица 8.9

Название

уравнения

зависимости

Линейный вид

криволинейной

зависимости

Y = B+AX

Необходимое

преобразование

исходных зна-

чений перемен-

ных x, y

Обрат-

ное

преоб-

разо-

вание

коэф-

фици-

ентов

Степенное

= bх

lgy = lgb + a·lgx Y

= lgy, X

= lgx b

= 10

Гипербола

y +=

= аX

b X

= 1/x –

Показательное

= be

или у

= b

lgy = lgb + lga·x Y

= lgy

= 10

Логистическая

кривая

bax

101













−

1lg

= ах+b













−

= 1lg

–

Самый простой способ расчета уравнений регрессии в среде

Excel реализуется программой Добавить линию тренда. Для того

чтобы построить линию и рассчитать уравнение регрессии между

двумя столбцами данных (x и y), следует сначала построить точеч-

ную диаграмму (чтобы получить зависимость y

= f(x), столбец x

должен быть первым, y

–

вторым). На построенной диаграмме долж-

ны присутствовать точки только одного цвета, наличие точек двух

цветов говорит о том, что диаграмма построена неверно.

Далее нужно один раз щелкнуть мышкой по какой-либо точ-

ке (x, y) диаграммы. При этом точки ряда окрасятся другим цветом,

а в главном меню появится новый пункт Диаграмма (справа от Сер-

вис). Он позволяет построить линию регрессии с помощью команды

Диаграмма\ Добавить линию тренда…

Задача "Найти зависимость между двумя признаками"

188

В открывшемся окне (вкладка Тип) будет предложено на вы-

бор пять моделей (линейная, логарифмическая, полиномиальная,

степенная, экспоненциальная) и сглаживание по средним, с помо-

щью которых можно дать обобщенное описание данных. На вкладке

Параметры следует поставить галочку, как минимум, в одном поле

– Показывать уравнение на диаграмме, ОК. На диаграмме появится

черная жирная линия регрессии. Изменить установки можно в окне

настройки, которое появляется после двойного клика по линии.

Когда исходные данные содержат нулевые значения, их

преобразование (логарифмирование) для «выпрямления»

зависимости становится невозможным; в этом случае на вкладке

Тип будут высвечиваться не все виды уравнений криволинейной

регрессии. Ситуацию удается исправить, если нули исключить из

рассмотрения или заменить правдоподобными малыми числами,

следя за тем, чтобы основную роль в расчете уравнения играли

реальные значения.

Регрессионный анализ в среде StatGraphics

Обширный список криволинейных функций предлагает пакет

StatGraphics. Для выбора лучшего уравнения организуется таблица,

сравнивающая результаты разных способов аппроксимации.

Сначала необходимо ввести данные на лист StatGraphics

(один из простейших способов – простое копирование данных с

листа Excel через буфер обмена). Для расчета разных видов парной

регрессии нужно дать команду меню Relate\ Simple Regression…,

выбрать переменные, выбрать все позиции Tabular options и Graph-

ics options. Исходно в появившихся окнах будет рассчитана линей-

ная регрессия. В окошке Comparison of Alternative Models будут ото-

бражены результаты 12 способов аппроксимаций, ранжированных

по величине коэффициентов детерминации. Увидеть результаты

расчетов для других видов уравнений можно, щелкнув правой кноп-

кой мыши и выбрав в окне Analysis Options нужный вид модели

(Type of Model). Найти уравнение полиномиальной зависимости (па-

раболы) можно, дав команду Relate\ Polynomial Regression… Рас-

считать линейную регрессию без свободного члена позволяет ко-

манда Relate\ Multiple Regression…, если в окне контекстного меню

Analysis Options убрать галочку из рубрики Constant in Model.

Задача «Найти зависимость между двумя признаками»

189

Корреляционный анализ

Взаимная связь (взаимная зависимость) двух признаков при

их изменчивости, т. е. сопряженность их вариации, называется кор-

реляцией. Корреляция имеет место в тех случаях, когда признаки из-

меняются не автономно, а согласованно. Если с увеличением одного

признака происходит соответствующее увеличение другого, говорят

о положительной корреляции, и коэффициент корреляции имеет в

этом случае положительный знак (+). Если же по мере увеличения

первого признака второй уменьшается, то это отрицательная корре-

ляция, и коэффициент корреляции пишется со знаком минус (–).

Полная положительная корреляция выражается единицей

r = 1, полная отрицательная r = –1. В природе такая ситуация встре-

чается редко, и степень связи выражается той или иной долей еди-

ницы. При этом о тесной (сильной) корреляции обычно говорят в

тех случаях, когда коэффициент корреляции не ниже ±0.6; значения

ниже ±0.6 указывают на среднюю связь, а ниже ±0.3 – на слабую.

Логико-теоретические основы

Рассмотренный выше регрессионный анализ изучает измене-

ние среднего уровня одного признака при изменении другого, т. е.

ориентирован асимметрично на один из признаков. Однако по лю-

бому массиву значений двух сопряженных признаков (x и y) можно

рассчитать два уравнения регрессии и построить две линии регрес-

сии зависимости y от x и зависимости x от y:

= a

·x

, X

= a

·y

= a

·y

= a

·x