Ипатов В.П. Широкополосные сигналы
Подождите немного. Документ загружается.
198
6.24. Доказать независимость двузначного характера от конкретного выбора при-
митивного элемента.
6.25. Определить примитивный элемент поля
)13(GF
. Построить таблицу лога-
рифмов и двузначных характеров всех ненулевых элементов
)13(GF
.
6.26. Построить последовательность Лежандра длины
11N
, вычислить ее перио-
дическую АКФ и сравнить ее с теоретически предсказываемой ПАКФ.
6.27. Построить последовательность Лежандра длины
13N
, вычислить ее перио-
дическую АКФ и сравнить ее с теоретически предсказываемой ПАКФ.
6.28. Определить циклический сдвиг последовательности из задачи 6.26, обеспечи-
вающий минимальный боковой лепесток апериодической АКФ.
6.29. Доказать идеальность периодической АКФ кодов Чу нечетной длины.
6.30. Доказать идеальность периодической АКФ кодов Франка. (При доказательст-
ве использовать представление вида
1,,,0;,
21212121
hmmiimhmmihii
и сум-
мирование по
21
,ii
в (5.9)).
6.31. Существует ли последовательность с ФМ-8 длины
64N
и идеальной перио-
дической АКФ? Если существует, то построить ее.
6.32. Доказать не существование последовательностей нечетной длины с квадра-
турной ФМ и идеальной периодической АКФ.
6.33. Доказать не существование последовательности с квадратурной ФМ длины
30N
и идеальной периодической АКФ.
6.34. Доказать, что для троичных
}1,0{
последовательностей с идеальной ПАКФ
число ненулевых элементов на периоде всегда является квадратом целого числа.
6.35. Доказать не существование троичных
}1,0{
последовательностей, обладаю-
щих идеальной ПАКФ и единственным нулевым элементом на периоде, для любой нечет-
ной длины.
6.36. Построить ФПБЛ, продемонстрировать эффект подавления боковых лепест-
ков и определить потери в отношении сигнал-шум для бинарной последовательности вида
}{
.
6.37. Определить энергетические потери в ФПБЛ для последовательности вида
}{
.
6.38. Определить максимальную длину ЧМ последовательности с объемом частот-
ного алфавита
4M
и не более одним совпадением частот.
199
7. Ансамбли широкополосных сигнатур
в CDMA приложениях.
7.1. Широкополосная передача данных.
Из рассмотренного в 4.3–4.6 материала очевидным образом следует, что в CDMA
сети каждый из
K
абонентов передает или получает свои индивидуальные данные по-
средством использования некоторой специфической для пользователя сигнатуры, причем
тщательно выбранный ансамбль из
K
сигнатур обеспечивает максимально возможную
совместимость абонентов. С целью обеспечения транспортировки
k
–й сигнатурой потока
данных необходимо применение некоторого вида модуляции, которая, учитывая широко-
полосную природу CDMA сигнатур, часто называется широкополосной модуляцией. Раз-
личают две классические версии широкополосной модуляции: прямой последовательно-
стью (direct sequence (DS)) и прыгающей частотой (frequency hopping (FH)). Первая из
них наиболее типична для современных коммерческих многопользовательских беспро-
водных приложений, тогда как вторая будет лишь кратко рассмотрена.
7.1.1. Прямое расширение спектра: бинарная манипуляция данных и бинарные сигнатуры.
Общая идея прямого расширения спектра состоит в амплитудно-фазовой модуля-
ции APSK сигнатур потоком данных. Для облегчения восприятия данной концепции нач-
нем рассмотрение с простейшего случая передачи данных с помощью бинарной модуля-
ции без расширения спектра. Пусть
)(tB
k
информационный сигнал
k
–го пользователя
(рис. 7.1), в котором импульсы положительной и отрицательной полярности длительности
b
T
отвечают передаче бита информации, равного 0 или 1 соответственно. Если, как и в
главе 4,
),,,,(
1,0,1,
kkkk
bbb
b
описывает битовый поток
k
–го пользователя, то
bbikk
iTtTibtB )1(,1)(
,
. Передача
)(tB
k
с использованием бинарной ФМ просто
означает умножение ее на непрерывную несущую частоту
0
f
, позволяя прийти к отсы-
лаемому модулированному сигналу (см. рис. 7.1):
)2cos()();(
0
tftBts
kkk
b
. (7.1)
Таким образом, практическая реализация бинарного ФМ модулятора представляет собой
0
1
0
1
b
T
t
t
t
Рис.7.1. Иллюстрация передачи данных с помощью бинарной ФМ
)(tB
k
)2cos(
0
tf
);(
kk
ts b
200
умножитель, представленный на рис. 7.2, a. После распространения по каналу сигнал при-
обретает временную задержку
k
и начальную фазу
k
, а также испытывает ослабление,
которое не учитывается в дальнейшем рассмотрении. Тогда принятый полезный сигнал
имеет вид
)2cos()();(
0 kkkkkr
tftBts b
. (7.2)
Типичный приемник бинарной ФМ информации содержит схемы слежения за задержкой
и фазой несущей частоты, которые оценивают текущие значения задержки
k
и началь-
ной фазы
k
. В настоящий момент вопрос о точности оценивания может быть оставлен в
стороне, допуская, что приемнику известны «истинные» значения
k
и
k
. Если рассмат-
риваемый сигнал искажен АБГШ, то оптимальная (максимально правдоподобная) проце-
дура (см. 2.2) восстановления
i
–го переданного бита состоит в вычислении корреляции
наблюдения
)();()( tntsty
kkr
b
с разностью сигналов, отвечающих значениям инфор-
мационного бита 0 и 1 соответственно, которая в рассматриваемом случае есть просто
)2cos(2
0 k
tf
. Поскольку для решения о принятом бите используется только поляр-
ность корреляции и поскольку
i
–й бит на выходе канала занимает временной интервал
],)1[(
kbkb
iTTi
, то обсуждаемая корреляция представляет собой выражение
kb
kb
iT
Ti
kk
dttftyz
)1(
0
)2cos()(
,
а решение
0
ˆ
,
ik
b
или
1
ˆ
,
ik
b
принимается в зависимости от положительного или отри-
цательного знака
k
z
. Возможная и широко распространенная структура демодулятора,
реализующего данное правило, представлена на рис. 7.2, b. Она содержит коррелятор, вы-
полненный в виде перемножителя наблюдения и генерируемого местного образца
)2cos(
0 k
tf
и интегратора со сбросом. В конце каждого последовательного битового
интервала с выхода интегратора берется отсчет, решение о текущем бите принимается в
соответствии с его полярностью и после этого осуществляется обнуление интегратора,
подготавливая его к работе на следующем битовом интервале.
Рассмотрим теперь изменения, которые необходимо осуществить в случае переда-
чи бинарных ФМ данных с расширением спектра бинарной ФМ прямой последовательно-
стью. Пусть
)(ts
k
–
k
–я пользовательская сигнатура, т.е. дискретный сигнал, состоящий
из чипов длительности
, манипулированная некоторой специфической для каждого
пользователя бинарной последовательностью. Пусть на интервале одного бита данных со-
держится
N
чипов сигнатуры. Тогда расширение прямой последовательностью бинарно-
)(tB
k
)2cos(
0
tf
);(
kk
ts b
Решающее
устройство
ik
b
,
ˆ
Выборка в
kb
iT
)(ty
)2cos(
0 k
tf
Сброс в
kb
Ti )1(
a)
b)
Рис.7.2. Бинарный ФМ модулятор (a) и демодулятор (b).
201
го ФМ сигнала заключается только во введении еще одного умножения в (7.1) – на сигна-
туру
)(ts
k
:
)2cos()()();(
0
tftBtsts
kkkk
b
. (7.3)
Поскольку ширина полосы сигналов (7.1) и (7.3) есть величина обратная длительности би-
та
RT
b
/1
и длительности чипа
RNNT
b
/1/
соответственно, то распределение
прямой последовательностью расширяет спектр в
N
раз. Последнее объясняет еще одно
наименование, используемое для обозначения частотно-временного произведения и выиг-
рыша от обработки
NWT
, показателя расширения (spreading factor). На практике опе-
рации умножения в (7.3) могут быть выполнены в произвольном порядке, например, как
это показано на рис. 7.3 (расширение бинарной
m
– последовательностью длины
NTN
b
,7
) и 7.5, a, где битовый поток
)(tB
k
первоначально умножается на сигнату-
ру
)(ts
k
, а результат произведения
)()( tBts
kk
модулирует непрерывную несущую. Мож-
но сказать, что в данном случае битовый поток первоначально модулирует бинарную сиг-
натуру, а результат используется для бинарной фазовой манипуляции несущей.
После распространения по каналу, в ходе которого приобретается задержка
k
и
начальная фаза
k
, сигнал принимает вид
)2cos()()();(
0 kkkkkkkr
tftBtsts b
. (7.4)
Предполагая, как и ранее, полное знание о параметрах
kk
,
, приемник для восстановле-
ния текущего (
i
–го) бита должен лишь сделать выбор между сигналом
)2cos()(
0 kkk
tfts
и ее противоположной копией. Для выполнения этой операции
оптимальным образом вначале может быть вычислена корреляция
NT
b
t
t
t
t
t
)(tB
k
)(ts
k
)()( tstB
kk
)2cos(
0
tf
);(
kk
ts b
Рис.7.3. Прямое расширение бинарных ФМ данных бинарной сигнатурой.
0
1
0
1
202
kb
kb
iT
Ti
kkkk
dttftstyz
)1(
0
)2cos()()(
между наблюдаемым колебанием
)(ty
и формируемой на месте полосной копией сигна-
туры
)2cos()(
0 kkk
tfts
, а ее полярность использована при вынесении решения. Ин-
тересно отметить, что та же самая оптимальная процедура может быть реализована в два
этапа: на первом снимается расширение, а на втором осуществляется демодуляция данных
точно так, как и в случае отсутствия расширения. Пусть наблюдение
)(ty
умножается на
формируемую в приемнике низкочастотную копию
)(
kk
ts
сигнатуры, в точности син-
хронизированную с принимаемым сигналом. Полезная составляющая (7.4) наблюдения
после этой операции примет вид
)2cos()()2cos()()()();(
00
2
kkkkkkkkkkkkr
tftBtftBtststs b
,
где учтена бинарная природа сигнатур
)1)(( ts
k
, вследствие чего
1)(
2
ts
k
. Как видно,
после данного шага принятый сигнал не обладает никакими чертами широкополосного,
полностью совпадая с простым сигналом (7.2) с бинарной манипуляцией, определяемой
потоком данных. Вследствие этого процедура умножения наблюдения на копию сигнату-
ры называется снятием расширения (despreading). Рис. 7.4 иллюстрирует процедуру
трансформации широкополосного сигнала с прямым расширением в обычный бинарный
ФМ сигнал, модулированный потоком данных.
Поскольку сигнал со снятым расширением представляет собой непрерывную не-
сущую с бинарной фазовой манипуляцией данными, то дальнейшее извлечение информа-
ции осуществляется привычным демодулятором бинарного ФМ сигнала, например таким,
который представлен на рис. 7.2, b. Полный цикл расширения и сжатия демонстрирует
рис. 7.5.
Для проведения обсуждения в терминах частотной области обратимся к рис. 7.6, на
t
t
t
t
NT
b
)(
kk
tB
)(
kk
ts
);(
kkk
ts b
)2cos(
)(
0 k
kk
tf
tB
0
1
0
1
Рис.7.4. Снятие расширения бинарного ФМ сигнала.
203
котором приведены спектральные плотности мощности
)(
~
),(
~
fSfS
bsb
исходного потока
данных
)(tB
k
и его широкополосной версии
)()( tBts
kk
соответственно. Для последо-
вательности
)(tB
k
битовых импульсов длительности
b
T
, полярности которых случайны и
независимы, спектр мощности определяется как
)(sinc)(
~
2
bbb
fTTfS
. Рассмотрение
расширенного потока данных снова как случайную последовательность импульсов с неза-
висимыми полярностями (на этот раз длительности
) приводит к спектру мощности той
же формы, но занимающему в
N
раз большую полосу:
)/(sinc)/()(sinc)(
~
22
NfTNTffS
bbbs
. Передача в эфире широкополосного сигна-
ла обладает всеми преимуществами распределенного спектра (см. главы 3, 4), но на при-
емной стороне снятие расширения возвращает спектр в исходную полосу, превращая сиг-
нал в узкополосный, что позволяет применять простейшие технологии демодуляции
данных.
7.1.2. Прямое расширение: общий случай.
Идея прямого расширения спектра, рассмотренная выше для случая передачи дан-
ных с помощью бинарной ФМ и применения бинарных сигнатур, легко может быть обоб-
щена на более широкий диапазон методов модуляции данных и сигнатур. Пусть
)(tB
k
обозначает комплексное колебание, отвечающее потоку данных
k
b
k
–го пользователя,
передаваемых в некотором цифровом формате модуляции данных (АМ, М–ичная ФМ,
КАМ и др.) При М–ичной цифровой передачи данных
)(tB
k
состоит из соприкасающихся
прямоугольников длительности
b
TMT )(log
, манипулированных комплексными симво-
)(tB
k
)(ts
k
);(
kk
ts b
ik
b
,
ˆ
)(ty
)(
kk
ts
a)
b)
Рис.7.5. Расширение (a) и сужение (b) сигнала с бинарной ФМ.
)2cos(
0
tf
Модулятор
БФМС
f
0
)(
~
fS
b
)(
~
fS
bs
Рис.7.6. Спектр мощности исходного и расширенного потока
204
лами, принадлежащими конкретному алфавиту М-ичной модуляции. Например, в случае
ФМ-8 прямоугольники длительности
b
TT 3
манипулированы комплексными амплиту-
дами, принадлежащими алфавиту
}7,,1,0:)4/{exp( ljl
, которые изображены на рис.
2.6, с. Если же выбрана манипуляция КАМ-16, тогда прямоугольники имеют длительность
b
TT 4
, а их комплексные амплитуды принимают значения, определяемые рис. 2.6, b и
т.д. В случае обычной (не широкополосной) М-ичной модуляции передаваемый сигнал,
переносящий поток данных
k
b
(теперь удобно полагать, что компоненты
ik
b
,
потока
k
b
представляют собой
M
–ичные комплексные символы
iTtTibtB
ikk
)1(,)(
,
), имеет
вид
)2exp()(Re);(
0
tfjtBts
kkk
b
.
Тогда принятый сигнал
)]2(exp[)(Re);(
0 kkkkkr
tfjtBts
b
обладает комплексной огибающей вида
)exp()();(
kkkkkr
jtBtS
b
. (7.5)
Передаваемый
i
–й символ данных
ik
b
,
есть ничто иное, как комплексная амплиту-
да непрерывной несущей, постоянной на интервале
],)1(( iTTi
. Следовательно, для вос-
становления этого символа приемник должен принять решение относительно
M
копий
прямоугольного импульса, существующего на интервале
],)1((
kk
iTTi
и обла-
дающего различными конкурирующими значениями комплексной амплитуды. Для вы-
полнения указанной задачи необходимо вычислить корреляцию между наблюдаемой ком-
плексной огибающей
)(tY
, выделенной из зашумленного наблюдения
)(ty
, и
)exp(
k
j
,
представимую в виде
k
k
iT
Ti
kk
dtjtYz
)1(
)exp()(
,
которая (после нормировки к энергии символа опорного образца) используется для выне-
сения необходимой оценки
ik
b
,
ˆ
о символе
ik
b
,
.
Демодулятор на рис. 7.7, где двойной круг символизирует операцию комплексного
умножения, реализует указанную процедуру. Данная схема является обобщением корре-
Блок
решения
ik
b
,
ˆ
Выборка в момент
k
iT
)(tY
)exp(
k
j
Сброс при
k
Ti )1(
Рис.7.7. M-ичный демодулятор.
)]exp()(Re[
k
jtY
)]exp()(Im[
k
jtY
205
ляционной структуры, представленной на рис. 7.1, b, на случай произвольной цифровой
модуляции данных. Первоначально наблюдаемая комплексная огибающая
)(tY
умножает-
ся на
)exp(
k
j
с целью компенсации канального фазового сдвига
k
. После этой опера-
ции полезная компонента (7.5) наблюдения
)(tY
становится
)(
kk
tB
. Любое комплекс-
ное колебание эквивалентно двум вещественным (реальной и мнимой частям), так что вы-
ход умножителя на рис. 7.7 трактуется в терминах реальной и мнимой частей произведе-
ния
)exp()(
k
jtY
. Полезными компонентами произведения служат реальная и мнимая
части
)(
kk
tB
, а последующее их интегрирование, как и ранее, служит выделению из
шума. Отсчеты с выхода интегратора в моменты
k
iT
являются оценками реальной и
мнимой частей принятого М–ичного символа данных, которые используются в блоке ре-
шения для выдачи демодулированного символа.
Рассмотрим теперь, как прямое расширение спектра может быть включено в дан-
ную схему модуляции – демодуляции. Пусть
)(tS
k
будет комплексной огибающей
k
–й
пользовательской CDMA сигнатурой. Ее алфавит может быть выбран независимо от ал-
фавита модуляции данных, например, может быть бинарным, квадратурным, АФМ и т.д.
Тогда прямое расширение означает умножение колебаний модулированных данных
)(tB
k
на сигнатуру
)(tS
k
с целью использования их произведения
)()( tBtS
kk
как комплексной
огибающей передаваемого сигнала:
)2exp()()(Re);(
0
tfjtBtSts
kkkk
b
. (7.6)
Принятый полезный сигнал представляет собой задержанную и сдвинутую по фазе копию
сигнала (7.6)
)]2(exp[)()(Re);(
0 kkkkkkkr
tfjtBtSts
b
с комплексной огибающей
)exp()()();(
kkkkkkkr
jtBtStS
b
. (7.7)
Постоянство
)(
kk
tB
на интервале
],)1((
kk
iTTi
снова означает, что для выде-
ления
i
–го символа приемник должен принять решение об истинности одной из M конку-
рирующих копий одной и той же сигнатуры
)exp()(
kkk
jtS
, умноженной на различ-
ные символы данных
ik
b
,
. Тогда корреляция вида
k
k
iT
Ti
kkkk
dtjtStYz
)1(
*
)exp()()(
(7.8)
послужит (после соответствующей нормировки) для получения необходимой оценки
ik
b
,
и снова может трактоваться, как пара отсчетов с выходов интеграторов демодулятора,
изображенного на рис. 7.7, при изменении опорного сигнала в комплексном умножителе с
)exp(
k
j
на
)exp()(
*
kkk
jtS
. После умножения на подобный опорный сигнал по-
лезная компонента наблюдаемой комплексной огибающей
)exp()()()();(
2
*
kkkkkkkkkr
jtBtStStS
b
на интервале
i
-го символа данных становится просто одной из M возможных копий ви-
деосигнала
2
)(
kk
tS
, умноженного на различные комплексные коэффициенты
ik
b
,
.
Если чипы сигнатуры не имеют амплитудной модуляции, т.е.
)(tS
k
подвергается только
206
фазовой манипуляции, то
1)(
2
kk
tS
и, как показывает предыдущее соотношение,
умножение на
)(
*
kk
tS
превращает комплексную огибающую принятого сигнала в одну
из характеристик обычной (не широкополосной) M–ичной модуляции данных, т.е. осуще-
ствляет снятие расширения. Благодаря этому приемник снова может рассматриваться как
двухэтапный: первоначально осуществляется снятие расширения, а затем обычная М–
ичная демодуляция, использующая, например, схему на рис. 7.7.
Остановимся более подробно на реализации комплексного умножения и выделении
комплексной огибающей
)(tY
из действительно наблюдаемого вещественного колебания
)(ty
. Вспомнив основные правила комплексной арифметики
),Im()Im()Re()Re()Re( yxyxxy
)Re()Im()Im()Re()Im( yxyxxy
,
видно, что умножитель двух комплексных величин
x
и
y
содержит четыре обычных ум-
ножителя и два сумматора (рис. 7.8). Входные комплексные величины
yx,
определены
своими реальными и мнимыми частями, а результат представляет собой двумерный век-
тор, состоящий из вещественной и мнимой частей произведения
xy
.
Получение комплексной огибающей наблюдения основывается на определении
)(tY
:
)2exp()(Re)(
0
tfjtYty
. Применив вышеприведенное правило комплексного ум-
ножения и формулу Эйлера, получаем
)2sin()(Im)2cos()(Re)(
00
tftYtftYty
. Умно-
жение обоих частей этого выражения на
)2cos(2
0
tf
и
)2sin(2
0
tf
, а также применение
тригонометрического преобразования приводит к следующему результату
)4sin()(Re)4cos()(Im)(Im)2sin()(2
)4sin()(Im)4cos()(Re)(Re)2cos()(2
000
000
tftYtftYtYtfty
tftYtftYtYtfty
. (7.9)
Первые слагаемые в правых частях соотношений (7.9) представляют собой низкочастот-
ные колебания (поскольку комплексная огибающая определяет закон модуляции, т.е. яв-
ляется низкочастотной), тогда как остальные являются полосными сигналами с централь-
ной частотой
0
2 f
. Полоса закона модуляции значительно меньше
0
f
(см. рис. 7.9, а).
Следовательно, фильтр низких частот легко может отфильтровать высокочастотные ком-
поненты в (7.9), пропустив только вещественную и мнимую части желаемой комплексной
огибающей
)(tY
. Данный принцип восстановления комплексной огибающей из реального
наблюдения
)(ty
реализуется схемой, представленной на рис. 7.9, b.
В качестве заключения приведенному обсуждению рис. 7.10 иллюстрирует опера-
x
y
xy
=
+
+
+
+
+
–
)Re(x
)Im(x
)Re(y
)Im(y
)Re(xy
)Im(xy
Рис.7.8. Комплексный умножитель.
207
ции, выполняемые на передающей и приемной сторонах обычной широкополосной систе-
мы с прямым расширением спектра. Модулятор (рис.7.10, а) реализует алгоритм, опре-
деляемый соотношением (7.6), используя только вещественную часть комплексного про-
изведения. В демодуляторе (рис. 7.10, b) комплексная огибающая наблюдения, восстанав-
ливаемая согласно схеме на рис. 7.9, b, в дальнейшем подается на вход обычного М–
ичного демодулятора (см. рис. 7.7) для принятия решения о принятых символах.
Отметим также, что только что описанный способ реализации расширения–сжатия
не является единственным и что существует многообразие конкретных схемных решений
этих операций. Например, перемножение комплексных огибающих может быть выполне-
но неявным образом в ходе процедуры гетеродинирования. В частности, если
2,1)],(2cos[)()( ittftUtu
iiii
– два полосных сигнала с несущими частотами
i
f
и
комплексными огибающими
)](exp[)()( tjtUtU
iii
, то их произведение будет
)]()()(2cos[)()(
2
1
)()(
21212121
tttfftUtUtutu
+
)]()()(2cos[)()(
2
1
212121
tttfftUtU
.
Два слагаемых в последнем выражении представляют собой полосные сигналы с несущи-
0
f
0
2 f
НЧ спектр
ВЧ спектр
Характеристика
фильтра НЧ
a)
)2cos(2
0
tf
)2cos(2
0
tf
)2sin(2
0
tf
ФНЧ
ФНЧ
)(Re tY
)(Im tY
)(ty
b)
Рис.7.9. Восстановление комплексной огибающей.
)(tS
k
)(tB
k
)2cos(
0
tf
)2sin(
0
tf
+
);(
kk
ts b
a)
)(tY
)(
kk
tS
)()(
kk
tStY
b)
ik
b
,
ˆ
M-ичный
демодулятор
Рис.7.10 Модуляция (a) и демодуляция (b) при прямом расширении спектра.