Имаев Д.Х. Синтез систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.5

0.5

1.5

theta

Рис.4.13. Процессы в системе с дискретными регуляторами

4.8. Синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта

Подвергнем линейную модель объекта дискретизации для периода

01.0

с. В случае дискретизации аналогового регулятора, построенного

методом пространства состояний, такой период оказался недопустимо большим.

>> Ts=0.01;

>> dplant=c2d(plant,Ts);

Собственные значения дискретного объекта

>> eig(dplant)

1.0000

1.0797

0.9262

связаны с собственными значениями непрерывного объекта

>> eig(plant)

7.6681

-7.6681

следующим соотношением

)exp(

sii

Tpq 

где

qp ,

— собственные значения непрерывной и дискретной систем. Известно,

что собственные значения матриц связаны тем же функциональным

соотношением, что и матрицы

)exp(

TAA 

где

— матрицы состояний дискретного и непрерывного объектов.

Как видно из расположения собственных значений, дискретный объект

также неустойчив — двукратное собственное значение на единичной

окружности и одно — вне единичного круга.

Дискретизация не приводит к потере управляемости объекта:

>> [Ad,Bd,Cd,Dd]=ssdata(dplant);

>> rank(ctrb(Ad,Bd))

ans =

Дискретный регулятор будем синтезировать методом пространства

состояний по заданным собственным значениям системы. Желаемые

собственные значения выберем так, чтобы процессы в дискретной системе не

слишком отличались от соответствующих процессов в непрерывных системах.

При синтезе непрерывной системы были назначены следующие значения

p =

-1

-2

-4

-7

Теперь вычислим собственные значения дискретной системы по команде

>> q=exp(p*Ts)

0.9900

0.9802

0.9608

0.9324

Матрица коэффициентов регулятора состояний дискретной системы

вычисляется так

>> Kd=place(Ad,Bd,q)

Kd =

-0.5327 -11.9367 -1.6167 -1.0110

Аналогично назначим собственные значения дискретного наблюдателя.

Для непрерывного наблюдателя они были следующими:

po =

-5

-10

-20

-35

Для дискретного наблюдателя их вычислим

>> qo=exp(po*Ts)

0.9512

0.9048

0.8187

0.7047

Они принадлежат единичному кругу, но дальше от границы устойчивости

(имеют меньшие модули), что должно обеспечивать быстрейшее затухание

процессов в наблюдателе. Матрицу наблюдателя вычислим так:

>> Ld=place(Ad',Cd',qo)'

0.6264

-27.2384

-206.0671

12.9491

Дискретный динамический регулятор объединяет регулятор состояния и

наблюдатель; его матрицы вычисляются по команде

>> [Ard,Brd,Crd,Drd]=dreg(Ad,Bd,Cd,Dd,Kd,Ld);

>> ddregulator=ss(Ard,Brd,Crd,Drd,0.01);

Последний аргумент команды декларирует период дискретизации.

Анализ по линейным дискретным моделям предполагает проверку

собственных значений замкнутой системы

>> dsysc=feedback(dplant,ddregulator);

>> abs(eig(dsysc))

0.4756

0.9104

0.9900

0.9802

0.9608

0.9477

0.9324

Можно заметить, что замкнутая система имеет в точности назначенные при

синтезе регулятора собственные значения, но собственные значения

наблюдателя несколько иные.

Проведем компьютерную имитацию системы «нелинейный непрерывный

объект+дискретный линейный регулятор» с целью оценки максимальных

отклонений (рис. 4.14).

Получен положительный результат, заключающийся в том, что по

сравнению с дискретизацией аналогового регулятора синтез по дискретной

модели объекта дает желаемый результат для периода дискретизации времени в

десять раз больше.

Попытаемся увеличить периода дискретизации до 0.1 с и повторим процедуры

анализа и синтеза.

>> Ts=0.1;

>> dplant=c2d(plant,Ts);

>> abs(eig(dplant))

1.0000

2.1529

0.4645

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

cart

pole

Рис. 4.14. Процессы в системе «нелинейный непрерывный объект+дискретный линейный

регулятор»

01.0

с (по дискретной модели объекта)

31.0



рад

Расположение собственных значений относительно единичного круга

сохраняется. Проверим, является ли дискретный объект управляемым

>> [ad,bd,cd,dd]=ssdata(dplant);

>> rank(ctrb(ad,bd))

Дискретизация также сохранила свойство полной управляемости объекта.

Выберем желаемые собственные значения, опираясь на аналоговый

прототип — отобразим их по известной формуле:

>>p =[-1 -2 -4 -7]’;

>> q=exp(p*Ts)

0.9048

0.8187

0.6703

0.4966

Коэффициенты регулятора состояния равны

>> Kd=place(ad,bd,q)

-0.2782 -9.3391 -1.2541 -0.5438

Анализ устойчивости по линейной модели дает те же значения

>> abs(eig(ad-bd*Kd))

0.4966

0.6703

0.8187

0.9048

Синтез наблюдателя:

>>po =[-5 -10 -20 -35]’;

>> qo=exp(po*Ts)

qo =

0.6065

0.3679

0.1353

0.0302

Матрицу дискретного наблюдателя вычислим по команде

>> Ld=place(ad',cd',qo)';

Динамический дискретный регулятор

>> [Ard,Brd,Crd,Drd]=dreg(ad,bd,cd,dd,Kd,Ld);

> ddregulator=ss(Ard,Brd,Crd,Drd);

Укажем период дискретизации

>> ddregulator.Ts;

и вычислим собственные значения дискретной замкнутой системы с

динамическим регулятором

>> dsysc=feedback(dplant,ddregulator);

>> abs(eig(dsysc))

6.7923

0.8855

0.9048

0.8187

0.6703

0.4966

0.4651

Система не устойчива — одно собственное значение находится вне единичного

круга. Таким образом, период дискретизации

1.0

с оказывается недопустимо

большим.

Список литературы

1. Анализ и синтез систем управления/ Имаев Д. Х., Ковальски З., Яковлев В. Б.

и др. ― СПб, Гданьск, Сургут, Томск: Информ. Центр Сургутского гос. ун-

та, 1998.

2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами.  М.:

Наука, 1976.

3. Андриевский Б. Р. Глобальная стабилизация неустойчивого маятника с

маховичным управлением//УБС, 24 (2009). С. 258-280.

4. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования

в программных средах MATLAB 5 и Scilab. ― СПб: Наука, 2001.

5. Аязян Г. К. Расчет автоматических систем с типовыми алгоритмами

регулирования / Уфим. нефт. ин-т.  Уфа, 1989.

6. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. М.:

Иностр. лит-ра, 1948.

7. Вавилов А. А. Структурный и параметрический синтез сложных систем /

ЛЭТИ  Л., 1979.

8. Вавилов А. А., Имаев Д. Х. Эволюционный синтез систем управления /

ЛЭТИ  Л., 1983.

9. Гришин А. А., Ленский А. В., Охоцимский Д. Е., Панин Д. А., Формальский

А. М. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый

маятник. Известия РАН. Теория и системы управления, № 5, 2002.

10. Изерман Р. Цифровые системы управления.  М.: Мир, 1984. С.541.

11. Имаев Д. Х. Дискретные системы управления: Учеб. пособие. — СПб.:

Изд-во СПбГЭТУ”ЛЭТИ”, 2005.– 148 с.

12. Колесников Ал. А. Синергетическое управление системой "Перевернутый

маятник на управляемой тележке"// Тезисы докладов VII Международного

семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления".

Москва, ИПУ РАН, 2002 г.

13. Крутько П. Д. Декомпозирующие алгоритмы робастно устойчивых

нелинейных многосвязных систем // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. № 1.

14. Крутько П. Д. Робастно устойчивые структуры управляемых систем

высокой динамической точности. Алгоритмы и динамика управления

движением модельных объектов// Изв. РАН. ТиСУ. 2005. № 2.

15. Крутько П. Д., Палош В. Е. Стабилизация состояний равновесия двойного

маятника, нагруженного следящей и консервативной силами// Изв. РАН.

ТиСУ. 2009. № 2. С. 3-17.

16. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для

студентов. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

17. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ.  М.: Мир, 1987.

18. Палош В. Е. Исследование динамики двойного маятника со следящей и

консервативной силами //Изв. РАН. ТиСУ. 2008. № 3.

19. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления.  М.:

Наука, 1986.

20. Пошехонов Л. Б. Основы теории управления. Часть 1 – линейные

непрерывные системы: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”,

2006. 92 с.

21. Решмин С. А., Черноусько Ф. Л. Оптимальное по быстродействию

управление перевернутым маятником в форме синтеза // Изв. РАН. ТиСУ.

2006. № 3.

22. Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем

регулирования.  М.: Энергия, 1973.

23. Теория автоматического управления / Под ред. А. В. Нетушила.  М.:

Высш. шк., 1976.

24. Теория автоматического управления: учеб. для вузов /С. Е. Душин, Н. С.

Зотов, Д. Х. Имаев и др.; Под ред. В. Б. Яковлева. — М.: Высшая школа,

2005. — 567 с.: ил.

25. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / Под

ред. В. В. Солодовникова.  М.: Машиностроение, 1967.

26. Федосов Б.Т. Управление неустойчивыми объектами. Обратный маятник .

www . keldysh . ru / papers /2007/ source / prep 2007_20. pdfwww . keldysh . ru / papers /2007/

source / prep 2007_20. pdf

27. Формальский А. М. О стабилизации перевернутого маятника с

неподвижной или подвижной точкой подвеса // ДАН, Т. 406, № 2, 2006. С.

175-179.

28. Формальский А. М. Перевернутый маятник на неподвижном и подвижном

основании // ПММ, Т. 70, № 1, 2006, с. 62-71.

29. Формальский А. М. О стабилизации двойного перевернутого маятника при

помощи одного управляющего момента //Изв. РАН. ТиСУ. 2006. № 3. С. 5-

12.

30. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических

системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990. № 6.

31. Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем и систем

регулирования.  М.: Госэнергоиздат, 1959.

32. Anderson C. W. Learning to Control an Inverted Pendulum Using Neural

Networks// IEEE Control Systems Magazine. April, 1989. P. 31-36.

33. Cannon R. H. Dynamics of Physical Systems. ― McGraw-Hill, 1967.

34. Demuth H., Beale M. Neural Network Toolbox for Use with MATLAB. The

MathWorks, Inc., Natick, MA, 1994.

35. Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M. An Introduction to Fuzzy Control. 

Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1993.

36. Furuta K., Okutani T., Sone H. Komputer control of a double inverted

pendulum// Comput. & Elec. Engng. Vol. 5. Pergamon Press Ltd, 1978. P. 67-84.

37. Furuta K., Kajiwara H., Kosuge K. Digital control of a double inverted

pendulum on a inclined rail// Int. J. Control, 1980, vol. 32, No 5. P. 907- 924.

38. Furuta K., Ochiai T., Ono N. Attitude control of a triple inverted pendulum//Int.

J. Control, 1984, vol. 39, No 6. P. 1352-1365.

39. Geva S., Sitte J. A Cartpole Experimental Benchmark for Trainable Controllers//

IEEE Control Systems Magazine. October, 1993. P. 40-51.

40. Górecki H. Optymalizacja systemów dynamicznych. — PWN: Warszawa, 1993.

41. Gulley N., Jang R.J.-S. Fuzzy Logic Toolbox for Use with MATLAB. The

MathWorks, Inc., Natick, MA, 1995.

42. Imajew D., Dudek A., Hajdasz R., Jastrebow W. Modele dynamiczne wzajemne

sprzężonych wahadeł odwróconych jako niestabilnych obiektów

sterowania//Zeszyty naukowe WSI w Opolu. Seria: Elektryka z. 39, Nr kol.

201/1995. S. 5-20.

43. 43. Inverted pendulum — Wikipedia, the free encyclopedia.

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverted_pendulum

44. Kosko B. Neural Networks and Fuzzy Systems.  Englewood Cliffs, NJ: Prentice

Hall, 1992.

45. Mori S., Nishihara H., Furuta K. Control of Unstable mechanical system.

Control of pendulum// Int. J. Control, 1976, vol. 23, No 5. P. 673-692.

46. Nguyen D. H., Widrow B. Neural Networks for Self-Learning Control Systems//

IEEE Control Systems Magazine, April, 1990. P. 18-23.

47. Roberge J. K. The Mechanical Seal/ S. B. Thesis. MIT, Cambridge, MA. May,

1960.

48. Schaefer I.F., Cannon R.H. On the Control of Unstable Mechanical Systems.

IFAC, 3d Congress, London, 1966.

49. Seto D., Baillieul J. Control Problems in Super-Articulated Mechanical Systems//

IEEE Trans. On AC. Vol. 39, NO. 12. December 1994. P. 2442-2452.

50. Sturgen W. R., Loscutoff M. V. Application of modern control and dynamic

observers to control a double inverted pendulum//Proc. of JACC, 1972. P. 857-

865.

51. Szymkat M. Komputerowo wspomaganie w projektowaniu układów regulacji.

— WNT: Warszawa, 1993.