Илюшин Б.Б. Моделирование процессов переноса в турбулентных течениях
Подождите немного. Документ загружается.
11
(2.19) показывает, что турбулентность характеризуется большим числом степеней свободы.
Так для течения с
6
L
10Re = число степеней свободы будет
14
10~ !
Механизм растяжения вихревых трубок
Для выяснения механизма дробления турбулентных вихрей и формирования описан-
ного выше каскадного процесса трансформации энергии турбулентности перепишем уравне-
ние Навье-Стокса без учета внешних сил в терминах завихренности
i
~
ϖ
применив операцию
“ротор” (
l
pli
x
e
∂
∂
):
(2.20) .
xx
~
ν
x
u
~
~
x
~
u
~
t
~
jj
p
2
j
p
j
j
p
j
p
∂∂
ϖ∂
=
∂
∂
ϖ−
∂
ϖ∂
+
∂
ϖ∂
Для получения (2.20) использовалось следующее очевидное тождество:
(2.21) .
x
u
~
~
x
u
~
~
)(0
x
u
~
)
~
e(e
x
u
~
x
u
~
x
u
~
x
u
~
x
u
~
e
,
x
~
u
~
x
u
~
x
u
~
x
u
~
x
u
~
x
u
~
e
x
u
~
e
x
u
~
x
u
~
x
u
~
e
x
u
~
u
~
x
e
l
p
l
l
j
klkpjljpk
l
j
kijkpli
i
j
l
j
i
j
j
i
l
j
pli
j
p
j
i
j
l
j
i
j
j
i
l
j
pli
l
i
pli
j
j
j
i
l
j
pli
j
i
j
l
pli
∂
∂
ϖ−=
∂
∂
ϖδδ−δδ=+
∂
∂
ϖ−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
ϖ∂
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
В (2.20) использованы уравнение неразрывности и равенство нулю произведения антисим-
метричного и симметричного тензоров (в (2.20) “немой” индекс l может быть заменен на j).
Заметим, что:
(2.22) : , ,
x
u
~
x
u
~
s
~
s
~~
x
u
~
x
u
~
~
2
1
x
u
~
x
u
~
~
2
1
x
u
~
~
i
j
j
i
ijijj
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
∂
∂
+
∂
∂
=ϖ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ϖ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
ϖ=
∂
∂
ϖ
(где
ij
s
~
- тензор скоростей деформаций), поскольку второе слагаемое в (2.22) равно самому
себе
15
с обратным знаком, а это означает, что оно равно нулю:
(2.23) .
~~
e
~~
e
x
u
~
x
u
~
~
;
~~
e
x
u
~
x
u
~
~
kjkijjkjik
i
k
k
i
kkjkij
i
j
j
i
j
ϖϖ−=ϖϖ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ϖϖϖ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ϖ
Тогда уравнение (2.20) можно записать в виде:
(2.24) .
xx
~
νs
~~
x
~
u
~
t
~
jj
i
2
ijj
j
i
j
i
∂∂
ϖ∂
+ϖ=
∂
ϖ∂
+
∂
ϖ∂
Рассмотрим эволюцию завихренности вихревых трубок масштаба l , соответствующего
инерционному интервалу (т. е
1Re >>
l
). Изменение во времени завихренности может быть
описано уравнением:
(2.25) .s
d
t
d
ijj
i
ϖ=
ϖ
Пусть поле деформаций двумерно и предположим в целях упрощения, что sss
2211
=
−=
16
, где
s
- постоянная, не зависящая от времени, а 0s
12
=
. Тогда из уравнения (2.25) следует:
(2.26) ).st2(ch2,e,e
2
0
2
2
2
1
st
0
2
st
0
1
ϖ=ϖ+ϖϖ=ϖϖ=ϖ
−
Таким образом, суммарная завихренность увеличивается при всех положительных значениях
st. Эти простые расчеты показывают, что вихревые трубки растягиваются (с уменьшением
15
Аналогично (2.21) “немой” индекс j может быть заменен на k.
16
След тензора
ij
s
равен нулю в силу уравнения неразрывности.
12
диаметра) очень быстро, тогда как увеличение размеров вихрей характеризуется существен-
но меньшей скоростью. Следовательно, процесс эволюции двух взаимно перпендикулярных
вихревых трубок, находящихся в поле постоянного сдвига скорости, происходит таким обра-
зом, что в среднем вихревые трубки растягиваются, что, очевидно, приводит к уменьшению
первоначального масштаба (см. рис.4). Кроме того, процесс растяжения сопровождается вто-
ричными эффектами, которые противодействуют медленному нарастанию
2
ϖ , как описыва-
ется ниже.
По-прежнему пренебрегая вязкостью, из закона сохранения момента количества дви-
жения можно получить, что произведение завихренности на квадрат радиуса должно оста-
ваться постоянным. Другими словами, в отсутствие сил вязкости, в процессе растяжения
циркуляция скорости вокруг вихревых элементов должна оставаться постоянной. Таким об-
разом, кинетическая энергия вращательного движения увеличивается за счет кинетической
энергии движения со скоростью
1
u , вызывающего растяжение вихря. При этом масштаб
движения в плоскости )x,x(
32
уменьшается. Следовательно, растяжение в одном направле-
нии приводит к уменьшению размеров и увеличению составляющих скорости в двух других
направлениях, вследствие чего растяжению подвергаются вихревые трубки, имеющие со-
ставляющие завихренности вдоль этих направлений (см. рис.5). На рис. 5 показано, как при
растяжении двух параллельных вихревых трубок вдоль оси
1
x возрастает величина состав-
ляющей скорости
2
u (которая имеет положительный знак в верхней полуплоскости )x,x(
32
и
отрицательный - в нижней). При этом увеличивается скорость деформаций, которые воздей-
ствуют на вихрь
2
ϖ , заставляя его растягиваться. Растяжение вихря
2
ϖ
порождает новое по-
ле деформаций, которые вызывают растяжение других вихрей и т.д. Этот процесс продолжа-
ется, и масштаб длины в таком течении уменьшается на каждой очередной его стадии, до тех
пор, пока эффекты вязкости пренебрежимо малы.
Брэдшоу предложил графическую схему (рис. 6), которая показывает, как растяжение
вдоль оси
1
x приводит к интенсификации движения вдоль осей
2
x и
3
x , вызывающей рас-
тяжение меньших масштабах вдоль осей
2
x и
3
x и интенсификацию движения вдоль осей
1
x ,
2
x и
3
x соответственно. Таким образом, исходное растяжение в одном направлении при-
водит к прогрессивно нарастающему растяжению во всех трех направлениях. Поэтому влия-
ние направленности средней скорости деформации ослабляется при каждом новом растяже-
нии и, как следствие, мелкомасштабные вихри в турбулентном течении должны иметь уни-
версальную структуру, которая является однородной и изотропной.
Ранее указывалось, что энергией могут обмениваться только вихри сравнимых разме-
ров. Разъясним это утверждение. Рассмотрим энергетический спектр и вихрь на его фоне в
виде энергетического возмущения, локализованного как в пространстве волновых чисел, так
и в физическом пространстве. Будем представлять вихрь в энергетическом спектре в виде
Рис. 4. Растяжение вихревых трубок в двумерном поле скоростей деформа-
ций: 1 - растяжение, 2 - сжатие.
Рис. 5. Увеличение скорости
деформации
32
xu ∂∂ при рас-
тяжении вихревых трубок вдоль
оси
1
x .
13
вейвлета, т.е. отдельный
вихрь размера
1
l с харак-
терным волновым числом
11
/2k lπ
=
проявляется как
энергетическое возмуще-
ние в интервале волновых
чисел
[]
2/kk,2/kk
1111
+
−
(см. рис. 7). Энергия, со-
ответствующая этому
вихрю, составляет
)k(Ek~
11
и, следователь-
но, характерная скорость
этого вихря
[]
2/1
11
)k(Ek~ .
Тогда характерная ско-
рость деформации вихря:
[
]
[
]
.
2/1
1
3
1
2/1
11
1
)k(Ek
2
1
~
)k(Ek
~)k(s
π
l
Для вихрей инерционного интервала энергетический спектр подчиняется закону Колмогоро-
ва:
3/5
k~)k(E
−
, поэтому скорость деформации оценивается как:
3/2
11
k~)k(s . Скорость де-
формации, создаваемая вихрями с волновым числом 3/kk
12
=
(значение величины
2
k вы-
числяется из условия сопряжения двух вейвлетов: 2/kk2/kk
1122
−
=
+
) будет
3/23/2
1
)3/1(k~ , а
отношение: 5.0~)k(s/)k(s
12
. Скорость деформации, создаваемая вихрями второго по порядку
более крупного размера 9/k3/kk
123
== дает: 25.0~)k(s/)k(s
13
. Таким образом, в суммарную
скорость деформаций, воздействующую на вихри размера
1
k/2
π
=
l , вклад 50% дают бли-
жайшие по порядку более крупные вихри, 25% - следующие более крупные вихри и т.д. От-
сюда следует, что энергией обмениваются в основном соседние по размерам вихри.
В заключение данной главы, заметим, что рассмотренные выше оценки, конечно, не
могут претендовать на математическую строгость и являются качественными. Однако они
дают представление о механизме развития и структуре турбулентности, достаточное для изу-
чения методов моделирования турбулентных течений, процессов турбулентного переноса
импульса, тепла и вещества.
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
10
1
1
3
5
11
21
0
1
1
3
5
11
21
0
2
2
6
10
22
Рис. 6. Графическая схема Брэдшоу, иллюстрирующая, как при растяжении
вихревых трубок происходит дробление масштабов и уменьшается эффект
анизотропии.
k
k
k
k
E(k)
~ k
k
k
k
12
2
-5/3
3
3
1
Рис. 7. Представление отдельных вихрей в виде вейвлетов.