форм уравнений, позволяет выявить обобщенные переменные, называемые критериями
подобия.
Если вывести уравнения не удается, а известны соотношения, характеризующие
процесс только в самых общих чертах, единственно возможным теоретическим методом
исследования является анализ размерностей (АР). Этот путь предполагает глубокое
знание физических особенностей процесса и заключается в выборе системы размерностей,
составлении перечня величин, существенных для данного процесса, и определении ч ис ла
обобщенных переменных.
При АР наибольшее число безразмерных комплексов, описывающих данный
процесс, определяется формулой i=n-m, где n- число размерных параметров,
характеризующих процесс; m- число первичных размерностей. Далее формулы
размерности преобразуются в степенные комплексы. Оба способа вывода обобщенных
переменных опираются на отчетливые представления о механизме процесса. Однако для
применения ТП необходим большой объем знаний, который был бы достаточен для
вывода определяющих уравнений. В рамках ТП выясняется физический смысл критериев
подобия. Ее аппарат проще, чем аппарат метода АР.
При широком развитии экспериментальных исследований сплошных сред
исключительно важно знать законы моделирования, допускающие перенос модельных
испытаний на натуру. Даже для простых процессов, кроме геометрического подобия и
равенства граничных условий, необходимо совпадение ряда безразмерных параметров.
Количество этих параметров или условий настолько велико, что одновременное и строгое
их выполнение в большинстве случаев делает невозможным модельные испытания. В то
же время из опыта известно, что некоторые критерии подобия в определенном диапазоне
изменения оказывают на конечный результат лишь незначительное влияние. Так,
например, если скорости остаются намного меньше скорости звука, то можно не
принимать во внимание число Маха, в то время как числа Рейнольдса учитываются тогда,
когда они относительно невелики (пример, течение у стенки трубопровода).
Замечание: задача ТП и МАР заключается также и в том, чтобы установить влияние
отдельных критериев на конечные результаты исследований и определить допустимые
границы частичного моделирования процессов.
2. Основные теоремы
1 теорема. У подобных явлений одноименные числа подобия одинаковы.
Эта теорема указывает условия, при которых результаты, полученные при
исследовании математической модели, могут быть перенесены на натуральный объект.
Доказательство теоремы иллюстрируется конкретным примером подобия
гидродинамических и тепловых процессов.
2 теорема. Подобны только те явления условия однозначности, которых подобны.
Теорема показывает как входные и начальные условия в математической модели
подобных процессов определяют решения задач данного класса. Доказательство для
газожидкостных систем.
3 теорема (π-теорема Ваши-Бекингема). Связь между (n+1) размерными
параметрами (a
1
, a
2
, … , a
k
, a
k+1
, … ,a
n
) в безразмерном виде имеет соотношение между
(n+1-k) величинами П
1
, П
2
, … , П
n-k
. Здесь П
1
, П
2
, … , П
n-k
- безразмерные комбинации из
(n+1) величин.
Теорема указывает путь получения чисел подобия, при этом использование
безразмерной формы записи исходных уравнений и ГУ позволяет снизить степень
конкретизации данной задачи, т.е. результаты единичного расчета в безразмерном виде
оказываются справедливыми по отношению к бесконечному набору геометрически и
физически подобных процессов. Дается доказательство теоремы для широкого круга
термодинамических процессов.