Гусев В.П. Основы гидравлики

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 2. ГИДРОСТАТИКА

2.1 Дифференциальное уравнение равновесия Эйлера

Постановка задачи. Одной из основных теоретических задач

гидростатики является вопрос о характере распределения давления в объеме

жидкости, которая в самом общем случае может находиться в абсолютном

или относительном покое.

Абсолютный покой. Если жидкость находится в покое (скорость

движения равна нулю, т.е. w=0) относительно системы координат, жестко

связанной с Землей, такой покой называется абсолютным. Например,

жидкость, находящаяся в покое в любом аппарате или емкости (резервуаре),

которые в свою очередь находятся в неподвижном состоянии относительно

Земли.

Относительный покой. Если жидкость находится в покое (скорость

движения равна нулю, т.е. w=0) относительно системы координат, которая

движется относительно Земли, такой покой называется абсолютным.

Например, жидкость, находящаяся в покое в любом аппарате или емкости

(резервуаре), которые свою очередь находятся в движении относительно

Земли. При этом, движение может быть равноускоренным или с постоянной

скоростью.

Состояние покоя в некоторой степени можно рассматривать частным

случаем движения жидкости, но при этом скорость ее движения

приравнивается нулю. Тогда, закон распределение сил давления в объеме

жидкости, в соответствии с законом сохранения импульса (количества

движения), который в свою очередь является общим выражением первого

закона термодинамики (что внутренняя энергия изолированной от внешней

среды системы постоянна, т.е. U= const), не должен зависеть от вида покоя.

Данное утверждение справедливо только бесконечно малых объемов, в

пределах которых изменения всех переменных параметров ограничивается

либо их постоянством (в этом случае говорят об изотропности), либо их

изменением на бесконечно малые величины. Именно по этой причине ,

прежде всего, в теории рассматриваются закономерности поведения

жидкостей в пределах элементарного объема. Применительно к трехмерному

пространству обычно элементарный объем представляется в форме

прямоугольного параллелепипеда, грани которого сориентированы

параллельно координатным плоскостям декартовой системы координат.

Для определения закона распределения давления выделим в объеме

покоящейся жидкости элементарный объем и поместим его в декартову

систему координат (рис.2.1) и

составим баланс сил,

действующих на него в

направлении всех трех

координатных осей (x, y, z).

Размеры граней элементарного

объема в форме прямоугольного

параллелепипеда dx ,dy, dz и,

следовательно, величина его

объема составит dV= dxdydz .

Если принять, что жидкость в

этом элементарном объеме изотропна (т.е. с равномерно распределенной

плотностью ρ), то масса жидкости в этом объеме составит dM=ρdV.

В общем случае на жидкость, находящуюся в абсолютном или

относительном покое действуют силы давления и силы инерции. По общему

определению сила давления равна произведению давления на площадь, на

которую действует данная сила, т.е. F=P∙S. В свою очередь силы инерции,

как массовые, могут быть представлены произведением массы жидкости на

величину соответствующего ускорения, т.е. F

= M∙ɑ. Ускорение ɑ является

векторной величиной и определяется соответствующими проекциями

ускорения на координатные оси. С другой стороны ускорение можно

рассматривать и как инерционную силу, отнесенную к единице массы

вещества. Очевидно, что и силы инерции являются векторными величинами

и их величины будут различными в направлении координатных осей.

Обозначим соответствующие проекции ускорения (ɑ

, ɑ

и ɑ

) на

координатные оси как X, Y и Z и составим баланс действующих сил. При

этом следует иметь в виду, что в общем случае ускорение ɑ представляет

собой массовую силу, отнесенную к единице массы. Поскольку для

жидкости, находящейся в покое, равнодействующая всех сил равна нулю, то

баланс всех сил, действующих на элементарный объем, может быть

представлен следующим образом:

по оси x: Pdzdy – (P +