Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Подождите немного. Документ загружается.
Реш
е н и
е.
Учитывая
формулы
(2.5.15)
и
(3.5.11)
получаем
....
....
D(X)
=
S(x-a)2
p
(x)dx=
~S(x_a)2e-(X-a,z!202dx.
_
(5,,2п
_~
Переходя
к
новой
переменной
t
по
формуле
(3.5.9),
получаем
I
....
S
2/
(52
....
S
2/
D(X)=--
(
2
(52
е
-'
2(5dt=--
(
2
е-'
2dt.
(5&_
&_~
Применяем
метод
интегрирования
по
частям.
Положим
t =
и,
te-
N2
dt=dv,
тогда
du=dt,
v=_e-
N2
,
(ибо
dv=d(-е-
N2
).Позтому
-
(5
_,2/2
S
_,2/
2d
_
(5
_,2/2
(5
S
_,2/2d
-
2 [
I+~....
] 2
I+~
- 2
....
- -
~
(е
-
е
t - -
~
(е
+
~
е
t -
,,2n - _ ,,2n -
,,2n_
(52
2
=0+
~
.
.fiit=(5.
,,2n '
(Здесь
также
принято
во
внимание
равенство
(3.5.10».
Итак,
D(X)
=
(52,
(3.5.12)
(5
=.J
D(X)
(3.5.13)
Следовательно,
параметр
(5,
входящий
в
функцию
(3.5.1)
является
средним
квадратическим
отклонением
нормальной
случайной
величи
ны.
При
м
е
р
4.
Доказать,
что
функция
Лапласа
является
нечетной.
Реш
е н и
е.
Действительно,
Ф(
)
_
1
-fХ
_,2/
2d
_ 1
SX
-1I
2
/2d
_ 1
fX
_,2/
2d
_
Ф(
)
-х
---
е
1----
е
и----
е
(--
х
.
..fiЛ
о
..fiЛ
о
.fiit
o
Здесь
с
помощью
замены
переменной
по
формуле
u = - t
от
первого
интеграла
перешли
ко
второму;
во
втором
интеграле
переменную
интег
рирования
обозначили
буквой
t
и
получили
третий
интеграл.
2]
1
Таким
образом,
Ф(-х)
=
-Ф(х),
Т.е.
функция
Лаrmаса
является
нечетной.
При
м.е
р
5.
Доказать,
что
для
функции
Лаrmаса
выполняется
равен
ство
lim
Ф(х)
=.!..
Х-Н-
. 2
(3.5.14)
Реш
е
н
и
е.
Принимая
во
внимание
определение
несобственного
ин
теграла
и
формулу
(3.5.3),
получаем
\
.
Ф()
_
\.
1
fX
-t
2
/zd _ 1
+OOf
-t
2
/2d _ 1
..{i;
_ 1
1т
х
-
lill
--
е
t
---
е
t
---.----.
Х->+ОО
Х
___
J2;.
J2;.
J2;
2 2
о о
З
а
м
е ч а
н и
е.
Здесь
использовано
равенство
которое
получается
из
равенства
(3.5.1
О).
Поскольку
e-
t2
/
2
-
четная
функция,
то
+00 +00
+-
f
e-
t2
/
2
dt = 2 f
e-
t2
/
2
dt,
но
f e-
t2
/
2
dt = J2;.
о
При
м
е
р
6.
Найти
функцию
распределения
F(x)
случайной
величи
ны
Х,
распределенной
по
нормальному
закону.
Реш
е
н
и
е.
В
соответствии
с
формулой
(2.3.2)
и
определением
нор
мального
распределения
(3.5.1)
получаем
F(x)
=
fX
_1_e-(t-ai/202
dt =
_1_
fX
e-
U
-
O
)2/20
2
dt.
_~
cr..{i; cr..{i;
_~
t-a
Переходим
к
новой
переменной
u =
--,
тогда
t =
а
+
иа,
dt =
crdu.
cr
Поэтому
.'(-а
х-о
212
х-а
х-а
F(x)
=~+i
х:а],
(3.5.]5)
где
Ф(х)
-
функция
Лапласа,
определяемая
формулой
(3.5.3).
З
а
м
е ч а
н
и
е.
Здесь
принято
во
внимание,
что
_1_
fO
е
_,,2/2
du
=
-J21ё.
-J21ё_~
2
Это
равенство
следует
из
равенства
(3.5.10).
Действительно,
е-"'/2
-
четная
функция,
поэтому
....
О
....
f e-"'/2du = 2 f e-"'/2dU,
но
f e-"'/2du
=..[2;..
При
м
е
р
7.
Вычислить
центральные
моменты
случайной
величины,
распределенной
по
нормальному
закону.
Реш
е
н
и
е.
В
соответствии
с
определением
(см.
формулу
(2.6.7))
и
формулой
(3.5.1)
получаем
....
11
-
_1_
f (
_.)*
-{х_а)2
/202
dx
t'""k -
~
Х
а
е
.
cr""l/21t
_~
х-а
Переходим
к
новой
переменной
t
по
формуле
t =
--,
тогда
cr
х
=
а
+
crt,
dx
=
crdt,
и
Рассмотрим
отдельно
случаи,
когда
k -
нечетное
число
и
k -
четное
число.
Пусть
k = 2/ + 1 -
нечетное
число,
тогда
112/+1
=
а;
ft2/+1
e-
"
/2dt
=
а;
[]t2/+le-t2/2dt
+
ft2/+le-t'f2dt].
""I/2п
_
""I/2п
_~
О
Замена
переменной
z = r
в
~боих
интегралах
приводит
к
равенству
213
2/+1 [
О
-]
-
(5
1 f 1 -</2dz 1 f 1 -z/2dz -
~21+1
-
Б
2"
z
е
+
2"
z
е
-
--
о
-
cr
1 f 1 -z/2dz 1 f 1 -z/2dz
-о
21+1
[-
- ]
---
--
z
е
+-
z
е
- .
Б
2
о
2
о
Итак,
все
центральные
моменты
нечетных
порядков
случайной
ве
личины,
распределенной
по
нормальному
закону,
равны
нулю.
Если
k = 2/ -
четное
число,
то
а
21
-f
2/
2cr
21
-f
2/
~21
=--
t
2l
e-
1
2dt
=--
t
2l
e
-l
2dt,
Б_
& '0
поскольку
в
этом
случае
подынтегральная
функция
четная
.
Т.е
.
Применяя
метод
интегрирования
по
частям,
получаем
- -
f t
21
e-
12
/
2
dt =
(2/-1)
f
t2/-2e-12/2dt.
о
о
с
помощью
этой
формулы
последовательно
находим:
21
+-
-
2а
(2/
-1)
f
2/-2
-12/2
d -
~21
-
г;::-
t
е
t -
,,21t
о
= lcr
21
(2/
-1)(2/-
з)
·
7
е
2/
-4
e-
N2
dt = ... =
о
[2
Б
21
=
а
21
(2/-1)(2/-
3)
...
3 ·1·
v;
.
-2-
=
1·
3
...
(2/
-1)а
,
J..I.21
= 1· 3
...
(2/
-1)0"21
.
В
частности,
центральный
момент
четвертого
порядка
случайной
величины,
распределенной
по
нормальному
закону,
J..I.
4
=
}.
3·
а
4
=
3а
4
•
При
м
е р
8.
Определить
закон
распределения
случайной
величины
Х
,
214
если
ее
rшотность
распределения
вероятностей
задана
функцией:
- 1
2/
1)
р(х)
=
__
e-(:r-I)
50;
5$
2)
р(х)
=
_1_
e
-(X+2)2/
18
.
Jl8n
Найти
математическое
ожидание,
дисперсmo
и
функцию
распреде
ления
случайной
величины
Х.
Реш
е н и
е"
Поскольку
в
первом
случае
(
)
_ 1
_(X_I)2/2-5
2
Р
х
-
~e
,
5v
2
1t
то
сравнив
эту
функцmo
с
функцией
(3.5.1),
заключаем,
что
случайная
величина
Х
распределена
по
нормальному
закону
с
параметрами
а
= 1
и
cr
= 5.
В
соответствии
с
формулами
(3.5.11)
и
(3.5.13)
находим,
что
М
(Х)
=
1,
а(х)
=
5,
D(X)
=
25
.
Согласно
формуле
(3.5.15)
определяем,
что
F(x)
=~+Ф(
x~
l}
Во
втором
случае
преобразуя
функцию
р(х)
к
виду
1
2/
2
р(х)
=
--е-(Н2)
2-3
зБ
и
сравнивая
с
формулой
(3.5.1),
заключаем,
что
случайная
величина
Х
распределена
по
нормальному
закону
с
параметрами
а
= - 2
и
cr
= 3,
причем
М(Х)
=-2,
а(х)
=
3,
F(х)=~+ф(~;2J
При
м
ер
9_"
Записать
rшотность
распределения
вероятностей
и
функцию
распределения
нормальной
случайной
величины
Х,
если
М(Х)
=
3,
D(X)
= 4.
Реш
е н и
е"
Из
условия
следует,
что
а
=
М(Х)
=
3,а(х)
=
~
D(X)
=
= 2.
Подставляя
эти
значения
в
формулу
(3.5.1),
находим
rшотность
рас
пределения
данной
случайной
величины
х:
р(х)
=
_1_
е
-(х-з)2/
и
2
=
_1_е-(х-з)2/
8
.
2Б 2Б
215
Согласно
формуле
(3.5.15)
записываем
функцию
распределения
этой
случайной
величины
Х.
1
(х-
3)
F(Х)="2+
Ф
-2-
.
J
При
м
е
р
1
о.
Случайная
величина
Х
распределена
по
нормальному
закону,
причем
М(Х)
= 1
О,
D(X)
= 4.
Найти:
1)РО2
<
Х
<
14);2)Р(8
<
Х
<
12).
Реш
е
н
и
е.
Из
условия
следует,
что
а
= 1
О,
а(х)
=
~
D(X)
=
2.
В
соответствии
с
формулой
(3.5.2)
находим:
P(l2
<
Х<
14) =
ф(
14;
10
)_ф(
12;
10)=
Ф(2)
-ф(l)
=
= 0,477250 - 0,341345 = 0,135905;
(
12-10)
(8-10)
Р(8
<
Х
<
12)
=
ф
-2-
-ф
-2-
=
Ф(l)-Ф(-I)
=
2Ф(l)
=
= 2 . 0,341345 = 0,682690.
З
а
м
е
ч а
н и
е.
Здесь
использованы
соответствующие
значения
функции
Лапласа
(см.
приложение)
и
нечетность этой
функции.
При
м
е
р
11.
Случайная
величина
Х
распределена
по
нормальному
закону,
причем
М(Х)
=
10.
Найти
Р(О
<
Х
< 1
О),
если
известно
P(JO
<Х
< 20) = 0,3.
Реш
еН
и
е.
При
нахождении
искомой
вероятности
будем
пользовать
ся
формулой
(3.5.2),
условием
а
=
10,
нечетностью
функции
Лапласа.
По
условию
P(IO
<Х
< 20) = 0,3,
поэтому
РОО
<
Х
< 20)
=ф(20:
10
)-фС
Ь
:
10)=
~~
]-ф(О)
=
=
ф(~)-0=0,3,
ф(~)
=0,3:
Так
как
216
то
Р(О
<
Х
< 10) = 0,3.
При
м
е
р
1
2.
Вес
пойманной
рыбы
подчиняется
нормальному
зако
ну
распределения
с
параметрами
а
= 375
Г.,
(J
= 25
г.
Найти
вероятность
того,
что
вес
одной
рыбы
будет:
а)
от
300
до
425
г;
б)
не
более
450
г;
в)
больше
300
г.
Реш
е н и
е.
Пользуемся
формулой
(3.5.2),
полагая
в
ней
а
= 375
г,
(J
= 25
г.
В
первом
случае
а
= 300,
~
= 425,
поэтому
Р(300
<
Х
< 425) =
1425
2~375
J-
Ф(
300
2~375
J =
=
Ф(2)
-
Ф(
-3)
=
Ф(2)
+
Ф(3)
= 0,477250 + 0,498650 = 0,9759.
Во
втором
случае
(Х
< 450)
находим
Р(Х
< 450) =
Р(О
<
Х
< 450) =
ф(450-375
J_ф(0-375
J=
25- 25
=
Ф(3)
-
Ф(-15)
=
Ф(3)+
Ф(15)
=
0,49865+
0,5
= 0,9987.
Во
третьем
случае
(Х>
300)
получаем
Р(Х
> 300) =
Р(300
<
Х
<
+00)
=
Ф(
+
а
;53'15
J-
Ф(
300
~375
J =
=
Ф(+оо)-Ф(-3)
=
Ф(+оо)
+
Ф(3)
= 0,5
+0,49865
= 0,9987.
11
Р
и
м
е р
1
З.
При
измерении
детали
получаются
случайные
ошибки,
подчиненные
нормальному
закону
с
параметром
(J
=
10
мм.
Найти
веро
ятность
того,
что
измерение
произведено
с
ошибкой,
не
превосходяшей
15
мм.
Реш
е н
и е.
Будем
пользоваться
формулой
(3.5.4)
и
таблицей
значе
ний
функции
Лапласа.
В
данном
случае
6 = 15,
(J
= 1
О,
поэтому
p(IX
-al
<
15)
=
2Ф(
~~)
=2Ф(l,5)
= 2
·0,433]93
= 0,866386.
При
м
е
р
1
4.
Автомат
изготавливает
подшипники,
которые
счита-
2]7
ются
годными,
если
отклонение
Х
от
проектного
размера
по
модулю
не
превышает
0,77
мм.
Каково
наиболее
вероятное
число
годных
подшип
ников
из
10О,
если
случайная
величина
Х
распределена
нормально
с
па
раметром
а
= 0,4
мм?
Реш
е н
и
е.
Найдем
вначале
вероятность
отклонения
по
формуле
(3.5.4)
при
8 = 0,77
и
а
= 0,4:
p(IX
-аl
< 0,77)
=2ф(0,77]
""
2Ф(1,93)
= 2 ·0,473197 = 0,946394.
0,4
Считая
приближенно
р
= 0,95
и
q = 0,05,
в
соответствии
с
формулой
(3.1.5),
т.е.
пр
- q
:S:
k
o
:S:
пр
+
р,
находим
при
n =
10О:
100·0,95-0,05:S:
ko:S:
100·0,95+0,95,
откуда
ko
= 95.
При
м
е р
1
5.
Станок-автомат
изготавливает
валики,
контролируя
их
диаметры
Х.
Считая, что
случайная
величина
Х
распределена
нормаль
но,
с
параметрами
а
= 1
О
мм,
а
=
0,1
мм,
найти
интервал,
в
котором
с
вероятностью
0,9973
будут
заключены
диаметры
изготовлеЮIЫх
вали
ков.
Реш
е
н и
е.
Воспользуемся
формулой
(3.5.4).
В
данном
случае
из-
вестно
а
=
10,
а
=
0,1,
2Ф(%)
= 0,9973;
требуется
определить
8
и
ин
тервал
(а
- 8,
а
+ 8).
По
таблице
значений
функции
Лапласа
находим,
что
% =
3.
Это
вытекает
из
равенства
ф(%)=
0,9973/2 =
0,4987.
Следовательно,
8 =
3а
= 3·0,1 = 0,3,
Из
неравенства
'Х
-
101
< 0,3
получаем
-0,3<Х-I0<0,3;
10-0,3<Х<10+0,З,
9,7<Х<10,3.
Значит,
ис
комым
является
интервал
(9,7; 10,3).
11
Р
и
м
е
р
1
6.
Найти
Р
~
-
~
<
а)
для
случайной
величины,
распре
деленной
по
нормальному
закону
с
параметрами
а
и
а.
Реш
е
н
и
е.
В
соответствии
с
формулой
(3.5.4)
при
8 =
а
находим
p(IX
-
аl
<
а)
=
2Ф(
: ) =
2Ф(
: ) =
2Ф(1)
= 2 ·0,341345 = 0,682690.
При
м
е
р
1
7.
Независимые
случайные
величины
Х
и
У
распределены
нормально,
причем
М(Х)
= 2,
D(X)
= 4,
М(У)
=
-3,
D(Y)
=
5.
Запи-
218
сать
плотность
вероятностей
и
функцию
распределения
их
суммы.
Реш
е н
и
е.
Сумма
нормальных
случайных
величин
имеет также
нор
мальное
распределение.
Найдем
параметры
этого
распределения.
Поскольку
случа~е
величины
Х
и
У
независимы,
то
М(Х
+
У)
=
=
М(Х)+
М(У)
=
2+(-3)
= -1,
D(X
+
У)
=
D(X)+
D(Y)
=
4+5
=
9.
Следовательно,
а
= -1,
о(Х
+
У
) =
~
D(X
+
У
) =
.J9
=
3,
cr
= 3 -
пара
метры
нормально
распределенной
суммы.
Таким
образом,
функции
(3.5.1)
и
(3.5.15)
имеют
вид
(
)
_ 1
-{Х+I)2/
18
F(х)=~+ф(Х+IJ,
р
х
-
зJ2;,
е
,
'2
3
11
Р
и
м
е р
1
8.
Независимые
случайные
величины
Х,
У,
Z
распределе
ны
нормально,
причем
М(Х)
=
1,
D(X)
=
2;
М(У)
=
-2,
D(Y)
=
3;
M(Z)
=
5,
D(Z) =
4.
Записать
плотность
вероятностей
и
функцюо
рас
пределения
их
суммы.
Решение.
Так
как
M(X+Y+Z)=
М(Х)+М(У)+
M(Z)
=
=
1+(-2)+5
=4,
D(X
+
У
+Z)
=
D(X)+
D(Y)+
D(Z)
=2+3+4
=
9,
то
сумма
Х
+
У
+ Z
имеет
нормальное
распределение
с
параметрами
а
= 4,
cr
=
3.
Значит
При
м
е р
1
9.
Найти
вероятность
того,
что
нормальная
случайная
ве
личина
с
математическим
ожиданием,
равным
3,
и
дисперсией,
равной
4,
примет
значения:
1)
в
интервале
(-
1,
5); 2)
не
более
8;
3)
не
менее
5;
4)
в
интервале
(-
3,
9).
Реш
е
н и
е.
Воспользуемся
формулой
(3.5.2).
1)
По
условию
а
=
-1,
~
=
5,
а
=
3,
(J
=
J4
= 2,
поэтому
(
5-3]
(-1-3)
Р(-I<Х<5)=Ф
-2-
-Ф
-2-
=Ф(l)-Ф(-2)=Ф(l)+Ф(2)=
= 0,3413+ 0,4772 = 0,8185;
2)
Р(Х
s;
8) =
Р(-ОО
<
х
s;
8)
=
Ф(
8;3
)-i
-~
-3)=
Ф(2,5)
+
Ф(+оо)
=
= 0,4938 +
0,5
= 0,9938;
3)
Р(Х
~
5) =
Р(5
~
Х
<
+00)
=
Ф(
+
~
- 3
J-
Ф(
5;
3 J =
Ф(
+00)
-
Ф(l)
=
=
0,5
- 0,3643 = 0,1587;
4)
Р(-3
<
Х
< 9) =
ф(9;3
J-Ф(
-32-3']=
Ф(3)-Ф(-3)
=
2Ф(3)
=
=
2·0,4986
= 0,9972,
Р(-3
<
Х
< 9) = 0,9972.
Таким
образом,
принятие
случайной
величиной
Х
значений
в
интер
вале
(-
3,9)
практически
достоверно.
При
м
е
Р'
2
О.
Диаметр
изготавливаемой
в
цехе
детали
является
слу
чайной
величиной,_
распределенной
по
нормальному
закону
с
парамет
рами
а
= 4,5
см
и
(J
= 0,05
см.
Найти
вероятность
того,
что
размер
диа
метра
взятой
наугад
детали
отличается
от
математического
ожидания
не
более
чем
на
1
мм.
Реш
е
н
и е.
Применяя формулу
(3.5.4)
при
8 =
0,1
см,
получаем
иско
мую
вероятность.
p(lx
-
4,51
~
0,1)
=
2Ф(~)
=
2Ф(2)
= 2·0,4772 = 0,9544.
0,05
При
м
е
Р
2
1.
Случайная
величина
Х
распределена
по
нормальному
закону.
Математическое
ожидание
и
дисперсия
этой
величины
соответ
ственно
равны
7
и
16.
Найти
вероятность
того,
что
отклонение
величины
Х
от
ее
математического
ожидания
по
модулю
не
превзойдет
двух.
Решение.
ПоусловmoМ(Х)=7,D(Х)=
16,
а=Jlб=4,
8=2.
В
соответствии
с
формулой
(3.5.4)
находим
р(/х
-71
~
2) =
2Ф(~
J = 2
·Ф(0,5)
= 2 ·0,1915 = 0,3830.
При
м
е Р
2
2.
Среднее
квадратическое
отклонение
случайной
вели
чиньг,
распределенной
по
нормальному
закону,
равно
2
см,
а
математи
ческое
ожидание
равно
16
см.
Найти
границы,
в
которых
с
вероятно
стью
0,95
следует
ожидать
значение
случайной
величины.
Реш
е
н
и
е.
В
соответствии
с
формулой
(3.5.4)
при
cr
= 2
имеем
2Ф(:
J = 0,95
или
Ф(
~
J = 0,475.
По
таблице
значений
функции
Лапла-
220