Громовик А.И. Расчет пространственного ломаного бруса переменного сечения
Подождите немного. Документ загружается.
В случае превышения допускаемого напряжения необходимо
увеличивать диаметр стержня, добиваясь выполнения условия проверки.
5.2.2. Проверка по эквивалентным напряжениям
Условие второй проверки:
%104
2
max
2
экв
.
На рис.12 представлены эпюры касательных напряжений от
T
.
y
3
x
3
z
3
T
3
t
max
t
max
Рис.12. Эпюры касательных напряжений
6. Расчет на прочность прямоугольного сечения
Анализ загруженности сечений четвертого стержня.
По табл. 4, определим, что сечение d загружено более. Произведем
расчет по сечению d. На рис. 13 представлена расчетная схема
прямоугольного стержня. Обозначим вершины граней сечения d
цифрами 1– 4.
Таблица 4
Сечение
Эпюры
N M
y
M
z
T
d -F M-Fl Fl+ql
2
/2 -ql
2
e -F M-Fl Fl-ql
2
/2 -ql
2
e
b
x
4
y
4
z
4
d
1
4 3
2
h
Рис. 13. Расчет прямоугольного сечения
6.1. Подбор параметров прямоугольного сечения
Для упрощения расчета принимаем соотношение сторон
2/ bh
.
Основными силовыми факторами для прямоугольного стержня являются
изгибающие моменты
y
M
и
z
M
.
Напряженное состояние от указанных факторов считается
одноосным, суммарное значение равно
MzMy
. (1)
Запишем условие прочности и раскроем уравнение (1)
333
2
23
3
2
3
b
MM
b
M
b
M
W
M
W
M
zy
z
y
z
z
y
y
(2)
где
6
2
hb
W
y
– осевой момент сопротивления (ось
4
y
);
6
2
hb
W
z
–
осевой момент сопротивления (ось
4
z
). При соотношении
2/ bh
3
3
2
bW
y
и
3
3
1
bW
z
.
Из формулы (2) определим
3
2
23
zy
MM
b
. (3)
Округляем полученный результат в большую сторону с окончанием
на "0" или "5" в мм.
6.2. Проверка напряженного состояния сечения d
6.2.1. Анализ по нормальным напряжениям
Первая проверка с учетом нормального напряжения от действия
N
.
Соответствующие напряжения определяют по зависимостям:
A
N
N
;
y
y
My
W
M
;
z
z
Mz
W
M
, (4)
где
A
– площадь сечения;
y
W
,
z
W
– осевые моменты сопротивления
относительно осей
Y
и
Z
, соответственно.
Для проверки строим эпюры напряжений.
y
4
z
4
d
s
N
Рис. 14. Эпюра нормальных напряжений
N
y
4
x
4
z
4
e
d
s
My
Рис. 15. Эпюра нормальных напряжений
My
y
4
x
4
z
4
e
d
s
Mz
Рис. 16. Эпюра нормальных напряжений
Mz
Согласно рис. 14–16 наиболее нагруженной точкой является точка 2.
Напряженное состояние от указанных факторов считается
одноосным, суммарное значение равно
MzMyN
. В данном
примере
N
имеет отрицательное значение, поэтому
берем по
модулю.
Условие первой проверки:
%10
,
где
– допускаемое нормальное напряжение, сталь 40Х
480
МПа.
В случае превышения допускаемого напряжения необходимо
увеличивать диаметр стержня, добиваясь выполнения условия проверки.
6.2.2. Проверка по эквивалентным напряжениям
Дополнительно проводят проверку напряженного состояния для
точек 5 и 6.
На рис.17 представлена эпюра касательных напряжений от
T
.
1
2
3
4
t'
T
t
Tmax
T
x
4
z
4
y
4
5
6
Рис.17. Эпюра касательных напряжений
Условие проверки для точки 5:
%104
22
)5(
MyNэкв
. (5)
Условие проверки для точки 6:
%104
2
max
2
)6(
MzNэкв
. (6)
Касательные напряжения в призматических стержнях определяют по
эмпирическим зависимостям
3
max
b
T
и
max
,
где
493,0
при
2/ bh
;
795,0
при
2/ bh
.
7. Численный пример расчета на прочность
Рассмотрим прямоугольное сечение.
Исходные данные:
5q
кН/м;
8F
кН;
6M
кНм;
5,0l
м;
380
МПа.
По таблице 4 вычислим значения:
8 FN
кН;
25,086 FlMM
y
кНм;
625,42/5,055,082/
22
qlFlM
z
кНм;
25,15,05
22
qlT
кНм.
Согласно формуле (3) определим
2
3
6
3
3
1054,3
103802
10625,4223
2
23
zy
MM
b
м.
Переведем результат в мм и округлим в большую сторону:
40b
мм.
При этом площадь сечения
3
2
32
102,3104022
bA
м
2
; моменты
сопротивления
6
3
33
1066,421040
3
2
3
2
bW
y
м
3
;
6
3
33
1033,211040
3
1
3
1
bW
z
м
3
.
Условие первой проверки:
%10
MzMyN
.
Вычислим напряжения от каждого силового фактора:
5,2102,3/108/
33
AN
N
МПа;
8,461066,42/102/
63
yyMy
WM
МПа;
8,2161033,21/10625,4/
63
zzMz
WM
МПа.
Суммарное нормальное напряжение формируется с учетом знака
N
. Необходимо определить наиболее напряженную точку сечения
d
.
Анализ эпюр
N
;
My
;
Mz
по рис. 14-16 дает точку 2 – все напряжения
сжатия.
34238096,2618,2168,465,2 до
MzMyN
.
Вывод: первая проверка не выполняется – принимаем решение
уменьшить сечение до
35b
мм.
Корректируем значения
3
2
32
1045,2103522
bA
м
2
;
6
3
33
1058,281035
3
2
3
2
bW
y
м
3
;
6
3
33
1029,141035
3
1
3
1
bW
z
м
3
.
Следовательно, новые значения
26,31045,2/108/
33
AN
N
МПа;
98,691058,28/102/
63
yyMy
WM
МПа;
87,3291029,14/10625,4/
63
zzMz
WM
МПа.
Суммарное напряжение
34238011,39787,32398,6926,3 до
MzMyN
.
Вывод: условие проверки выполняется.
Вторая проверка: Производится по эквивалентным напряжением с
учетом касательных. При этом необходимо вычислить значения
13,59
1035493,0
1025,1
3
3
3
3
max
b
T
МПа;
4713.59795,0
max
МПа.
Согласно рис. 17 максимальное касательное напряжение в точке 6.
Проверка напряжения по формуле (6)
34238085,34713,59487,32326,3
2
2
)6(
до
экв
МПа;
Дополнительная проверка точки 5, формула (5):
34238016,11947498,69426,3
22
)5(
до
экв
МПа.
Общий вывод: оставляем сечение
070,0035,0 хhb
м, полученное по
условию первой проверки.
8. Порядок выполнения расчетной работы
В данной задаче необходимо выполнить следующие этапы:
1. Согласно варианта расчетной схемы, состоящего из
четырехзначного числа, необходимо обозначить стержни, начиная от
свободного конца;
2. Выбрать и построить плавающую систему координат;
3. Последовательно, от консоли к защемлению, выделить
произвольные сечения с координатами привязки к началу участка;
4. Записать уравнения равновесия внутренних силовых факторов с
учетом знаков;
5. Построить эпюры внутренних силовых факторов;
6. Произвести проверку правильности эпюр;
7. На третьем (круглого сечения) участке проанализировать
загруженность сечений;
8. Произвести расчет круглого сечения с построением эпюр
напряжений;
9. Проверить условия прочности круглого сечения;
10. Произвести анализ загруженности сечений четвертого
(прямоугольного сечения) участка;
11. Подобрать сечение бруса из условия прочности, построить
эпюры напряжений;
12. Проверить условия напряженного состояния прямоугольного
сечения для характерных точек.
Библиографический список
1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., 1976.
2. Дарков А.В., Шапиро Г.С. Сопротивление материалов. М., 1975.
3. Ицкович Г.М., Винокуров А.И., Минин Л.С. Руководство к решению задач по
сопротивлению материалов. Росвузиздат, 1963.
4. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению
материалов. Киев, 1975.
5. Анурьев А.И. Справочник конструктора. Т.1…3. Техн. лит. М., 1977.
6. Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Matcad. Спб.: БХВ – Петербург,
2004. - 512с.
Приложение 1
Расчетные схемы пространственного ломаного бруса
F
q
M
1
F
q
M
2
F
q
M
3
F
q
M
4
F
M
q
5
F
q
M
6
F
M
q
7
F
M
q
5
8
F
M
q
5
9
F
M
q
10
Продолжение приложения 1
F
M
q
11
F
M
q
12
F
M
q
13
F
M
q
14
F
M
q
15
M
q
F
16
F
M
q
18
Продолжение приложения 1
F
M
q
17
F
q
M
19
F
q
M
20
F
q
M
21
F
M
q
22
F
M
q
23
Окончание приложения 1