Громов Ю.Ю. Системы автоматического управления с запаздыванием
Подождите немного. Документ загружается.
Для нахождения искомого решения следует умножить обе части полученного выражения на L
–1
(s) и применить формулу об-
ратного преобразования Лапласа. Обоснование строгого использования преобразования Лапласа дано в [3]. При выводе уравнения
(2.2.2) использован следующий факт:
( ) () ()
() () () () ( )
=
τ−−++−=
=
+=τ−
τ
−
τ−
τ−
−
τ−
−
∞
τ−
∞
−
∫
∫∫∫
s
i
st
s
stst
s
st
i
i
i
i
i
i
eyydtetysyssYe
dtetydtetyedtety
00
0
0
00
&&&
() ( ) ()
() ( ) ( )
()
() () ()
()
()
.
...,
1
0
1
00
0
0
∑
∫∫
∫
∫
−
=
−−−
τ
τ−
−
∞
−
τ
τ−
−
τ−
τ−τ−
τ−−τ−+=τ−
τ−−τ−+=
=+τ−−=
k
j
i
jkjst
i
k
s
kst
i
k
i
st
i
s
st
s
i
s
ysdtetyssYesdtety
ydtetyssYse
dtetyseyessY
i
i
i
i
ii
Рассмотрим методику приведения системы (2.2.1) к каноническому виду, с которым связан классический метод интег-
рирования системы дифференциально-разностных уравнений.
Рассмотрим случай, когда степень определителя L(s) относительно s равна m.
Система уравнений (2.2.1) называется тогда нормализуемой, что дает возможность разрешить ее относительно старших
производных
n
m
n
m
yy ...,,
1
1
и привести к нормальной форме.
Достаточным условием нормализуемости системы (2.2.1) является невырожденность матрицы
0
0
L
.
Умножая обе части уравнения (2.2.1) на
()
,
1
0
0
−
L получим следующее выражение:
()
()
()
()
()( )
()
() ( ) ()()
.
0
1
0
0
11
1
0
0
0
1
0
0
+θ−+
+τ−−−=
∑
∑∑
=
−
==
−
−
−
tfpRtupGL
typLLtypLLtyp
i
r
i
i
i
q
j
l
i
ijq
j
q
Введем в рассмотрение вектор x(t) размерности m с координатами
(
)
{
}
n
qq
nn
ypyppypyyytx
1
1
1
11
,,,,,,,,,
−−
= KKKK –
последнее дает возможность получить эквивалентное уравнение :
(
)
(
)
tCxty
=
; (2.2.3)
() ()()
tFtxAtxA
l
i
i
i
l
i
i
i
+τ−=τ−
∑∑
== 00
&
, (2.2.4)
где А
0
= Е, Е – единичная матрица.
()
0,
000
0000
0
1
0
0
≠=
−
i
LL
i
i
K
KKKKK
K
A ;
() () ()
ii
q
i
q
n
n
i
LLLLLL
E
E
1
1
0
01
1
0
0
1
0
0
00
00
−
−
−−
−−−
=
K
K
KKKK
K
A ;
00 K
n
EC
=
,
где Е
n
– единичная матрица размером
()
tmn F,× – матрица-столбец
()
()
() ( ) ()()
+θ−=
∑
=
−
tfpRiupGLt
r
i
i
iT
0
1
0
0
00 KF .
В этом случае, если G
i
(p) = G
i
; R(p) = R – постоянные матрицы, а A
i
= 0; ,0
≠
i то уравнения (2.2.3), (2.2.4) совпадают с
уравнениями состояния (2.2.2), где x(t) – вектор состояния объекта.
Такое утверждение нельзя сделать, если матрицы G
i
(p), R
i
(p) являются полиномиальными. Это доказывается рассмот-
рением выражения (2.2.2), решение определяется и начальными условиями
()
,,0 Ku
(
)
(
)
,,0
1
K
−q
u
() ()
()
()
0...,,0,,
2−
θ−
q
r
ffu K , а поэтому вектор состояния объекта должен содержать информацию об этих составляющих.
Для получения уравнений состояния в общем случае введем составной вектор с координатами
() () ()
{}
txtxtx
q
,,
1
K= .
Этот вектор связан с векторами y(t), u(t), f(t) следующими соотношениями, получаемыми заменой составляющей при степени
s
i – 1
в правой части уравнения (2.2.2) величинами x
i
(0) и выбором в качестве начального момента времени t
0
= 0:
() ( ) ( )
()
()
()
()
() ()
;
;
1
0
01
0
01
1
0
0
0
0
tfRtupGGtypLLtx
tuGtyLtx
r
i
i
ii
i
l
i
iiq
r
i
i
i
i
l
i
iq
−θ−+−τ−+=
θ−−τ−=
∑∑
∑∑
==
−
==
()
()
()
()
()( )()
()
()
()
()
()
()
()
.
...
;
2
121
0
1
021
0
1
021
1
12
0
2
012
0
2
012
2
tfpRpRR
tupGpGG
typLpLLtx
tfpRRtupGpGG
typLpLLtx
q
qq
r
i
i
qii
q
i
q
i
l
i
qii
q
i
q
r
i
i
iii
i
l
i
iiiq
−
−−
=
−
−−
=
−
−−
=
=
−
+++−
−θ−+++−
−τ−+++=
+−θ−++−
−τ−++=
∑
∑
∑
∑
K
K
K
Из последнего соотношения и уравнения (2.2.1) можно получить:
() ( ) ( ) ()
tfRtuGtyLtx
q
r
i
i
i
qi
l
i
i
q
+θ−+τ−−=
∑∑
== 00
1
&
,
последовательно дифференцируя выражения для x
i
(t), учитывая при этом вид x
i-1
(t), имеем следующую систему уравнений:
() ( ) ( ) ()
() () ( ) ( ) ()
() () ( ) ( ) ()
() ( ) ( )
θ−−τ−=
+θ−+τ−−=
+θ−+τ−−=
+θ−+τ−−=
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
−
−
=
−
=
−
==
r
i
i
i
i
l
i
iq
r
i
i
i
i
l
i
iqq
q
r
i
i
i
qi
l
i
i
q
q
r
i
i
i
qi
l
i
i
q
tuGtyLtx
tfRtuGtyLtxtx
tfRtuGtyLtxtx
tfRtuGtyLtx
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
12
00
1
.
;
...
;
;
&
&
&
Исключая из (2.2.5) переменные
()
lity
i
,1, =τ−
, получим каноническую форму записи уравнений динамики линейно-
го многосвязного объекта. Заметим, что привести исходную систему дифференциальных уравнений к каноническому виду
удается только в ряде частных случаев при довольно жестких ограничениях на вид матриц
i
j
i
j
GL , .
Пусть матрицы
()
()
0,,0
00
≠= iri
ii
LG нулевые, а
0
0
L – невырожденная матрица (определитель не равен нулю). Тогда
из последнего уравнения системы (2.2.5) получим:
()
(
)
()
txLty
q
1
0
0
−
= .
Исключая y(t) из остальных уравнений системы (2.2.5), получим уравнения состояния объекта в виде:
() ( ) ( ) ()
() ()
() ()
() ()
,
;,
;,
;
00
00
00
txty
tttttu
tttttx
tftutxtx
lu
lx
f
r
i
iii
l
i
i
C
BBA
=
≤≤θ−ϕ=
≤≤τ−ϕ=
+θ−−τ−=
∑∑
==
&
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.6)
(
)
()
()
()
1
0
010
1
0
020
1
0
010
1
0
0
000
000
000
0000
−
−
−
−
−
−
−δ
−δ
−δ
−
=
LLE
LLE
LLE
LL
i
i
i
qi
i
qi
i
q
i
K
KKKKKK
K
K
K
A ;
()
1
0
0
1
1
1
1
00,,
−
−
−
=== L
R
R
R
B
G
G
G
q
q
f
i
i
q
i
q
i
K
K
K
CB , (2.2.7)
где δ
i0
– символ Кронекера.
Рассматривая задачи управления, мы исследуем решение уравнений с запаздывающим аргументом на интервале [t
0
, t].
При этом начальное условие для x(t), u(t) относим соответственно к интервалам
[
][ ]
0000
,,, tttt
rl
θ−
τ
−
, полагая u(t), f(t)
и начальные функции такими, чтобы решение было непрерывным. При этом мы не конкретизируем вид функции
() () ()
,,, ttt
uyx
ϕϕϕ
а лишь требуем, чтобы они были достаточно хорошими.
Уравнения состояния (2.2.6) отвечают широкому классу реальных объектов с запаздыванием. В дальнейшем будем
использовать выражения еще более общего вида, чем (2.2.6), т.е. предполагать наличие непосредственной связи входных
и выходных сигналов:
(
)
(
)
(
)
tutxty DC
+
=
,
что приведет к изменению формы записи уравнений (2.2.2):
() ()
(
)
() ( ) ( ) ()
,
;
00
tftutxtx
tutxty
f
r
i
iii
l
i
i
BBA
DC
+θ−−τ−=
+
=
∑∑
==
&
где B
f
– постоянная матрица соответствующей размерности.
Решение дифференциально-разностного уравнения (2.2.6), как известно [3], имеет вид:
() ( ) ( ) ( ) ( )
()( ) () ()
,
Ψ
00
0
0
1
1
00
∫
∑
∫
∑
∫
ζζζ−Ψ+ζθ−ζζ−Ψ+
+ζτ−ζζ−+−Ψ=
=
=
τ+
t
t
f
r
i
t
t
ii
l
i
t
t
ii
dftdut
dxttxtttx
i
BB
A
где
()
tΨ – матричная функция (фундаментальная матрица размерности (m × m)), удовлетворяющая уравнению вида:
() ( )
() ()
,0;0;0
;
1
<=Ψ=Ψ
τ−Ψ=Ψ
∑
=
ttE
tt
l
i
ii
A
&
тогда из выходных координат объекта можно получить интегральную форму записи уравнений динамики:
() () ( ) ( ) () ( ) ( )
∫∫
ζζζ−++ζζζ−+=
t
t
fu
t
t
dftWtydutWtyty
00
св
,
где
() ( ) ( ) ( ) ( )
∑
∫
=
τ+
ζτ−ζζ−+−=
l
i
t
t
ii
i
dxttxttty
1
00св
0
0
ΨΨ ACC – составляющая решения, соответствующая однородному урав-
нению;
() ( ) ( )
∑
∫
=
θ+
ζθ−ζζ−Ψ=
r
i
t
t
iiu
i
dutty
1
0
0
AC – составляющая решения, соответствующая начальной функции
(
)
t
u
ϕ ;
() ( ) ()
∑
=
≥δ+θ−Ψ=
r
i
ii
tttW
0
0 t,DBC – импульсная матричная функция непрерывного многосвязного объекта по отно-
шению к управляющим воздействиям (
()
tδ – дельта-функция);
() ()
0 ; ≥Ψ= ttCtW
ff
B
– импульсная матричная функция по отношению к возмущениям.
(2.2.7)
Аналогичные решения могут быть получены на основе использования обратного преобразования Лапласа.
Получить решение системы (2.2.6) в аналитической форме удается не всегда, а только в ряде наиболее простых случаев,
и поэтому актуальны проблемы частного решения данной системы уравнений.
Рассмотрим систему уравнений с запаздыванием в отличной от (2.2.7) форме, выделив отдельно составляющие, харак-
теризующие действие запаздывания. Для этого проинтегрируем уравнение (2.2.1) в пределах от t
0
до t.
() () ( ) () ( ) ( )
∑
∫∫
∑
∫
=
τ−
τ−
=
ζζ+ζζ++=ζτ−ζ+=
l
i
t
t
i
t
ii
l
i
t
t
i
i
i
dxdtxtxdxtxtx
0
0
*
0
*
00
AAA ,
где
() ( ) ( ) ( )
∑
∫∫
=
ζθ−ζ+ζζ+=
r
i
t
t
ii
t
t
i
dudxtxtx
0
0
*
00
BA .
Вводя в рассмотрение функции, имеющие вид:
[]
≤ζ≤τ−
τ−<ζ
=ζΨ
tt
t
t
i
i
i
,0
,1
,;
[]
(
)
≤ζ≤τ−−
τ−−<ζ≤τ−
=ζ−Ψ
0,0
,0min,1
,
0
0
0
*
i
ii
i
tt
tt
tt
,
окончательно можно получить:
() ()
[]
()
[]
()
∑
∫
∑
∫
=
τ−
=
ζζ+ζΨ+ζζζΨ+=
l
i
ii
l
i
t
t
ii
i
dyxttdxttxtx
1
0
00
*
1
*
,,,
0
AA
. (2.2.7)
Выражение (2.2.7) в дальнейшем будет использоваться для оценки свойств системы с запаздыванием посредством ее
рандомизации системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
2.3. ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОБЪЕКТОВ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ЧАСТНОЙ ОБЛАСТИ
Передаточная матричная функция линейного непрерывного многосвязного объекта по отношению к управляющим
(возмущающим) воздействиям характеризует реакцию предварительно невозбужденного (т.е. при нулевых начальных усло-
виях) объекта на управляющие (возмущающие) воздействия. Так, при нулевых начальных функциях выходных координат
управляющих и возмущающих воздействий (так как в рассмотренных моделях предполагается отсутствие запаздывания в
возмущающих воздействиях, то более правильно говорить о нулевых начальных значениях
f(t)) выражение для вектора вы-
ходных координат объекта, описываемого уравнением (2.2.1), имеет вид:
() () () () () () ()
sFsRsLsUsGsLsY
11 −−
+= .
Передаточная матричная функция по управляющим воздействиям, или просто передаточная матричная функция объек-
та
W(s), равна:
() () () ()
∑∑
=
θ−
−
=
τ−
−
==
r
i
s
l
i
s
i
ii
esGesLsGLsW
0
1
0
1
,
а передаточная матричная функция по возмущающим воздействиям W
f
(s) имеет вид:
() () () () ()
sResLsRsLsW
l
i
s
i
f
i
1
0
1
−
=
τ−
−
==
∑
.
Покажем, что ввиду передаточной матричной функции можно судить о структуре объекта.
Действительно, общие сомножители в знаменателях элементов
(
)
(
)
njisW
ij
,1, = указывают на связь между координата-
ми объекта, характеризуют динамический процесс в замкнутом контуре, образуемом входными координатами объекта. В
свою очередь наличие сомножителей, не являющихся общими делителями знаменателей всех элементов
W
ij
(s), свидетельст-
вует о существовании отдельных, не связанных между собой звеньев в каналах многосвязного объекта. Рассмотрим схему
вида:
Матричная передаточная функция этой схемы имеет вид:
()
()
()
() ()
(
)
()
(
)
() ()
(
)
()
()
() ()
()
()
()
() ()
()
()
() () () () ()
.
1
21122211
2
22
11
1
22
2
22
21
1
11
2
11
12
1
22
2
11
22
1
11
sLsLsLsLs
sGsLsGsGsLsG
sGsLsGsGsLsG
s
sW
−=∆
−
−
∆
=
Рассматривая уравнения динамики линейных многосвязных объектов, предполагают, что степени матричных квазипо-
линомов
L(s), G(s) одинаковы. В этом случае можно легко убедиться, что степени числителей элементов передаточной мат-
ричной функции (2.3.1) не превышают (но могут и равняться) степеней их знаменателей. Физически это означает, что объект
не ослабляет высокие частоты.
Если учесть у реальных объектов возможность ограничения полосы пропускания высоких частот, то ясно, что степени чис-
лителей элементов передаточной матричной функции должны быть хотя бы на единицу меньше степени их знаменателей. Из это-
го можно сделать вывод , что степень матричного квазиполинома
G(s) в уравнениях динамики должна быть хотя бы на единицу
меньше (а в общем случае меньше) степени матричного квазиполинома
L(s), а поэтому в уравнениях состояния матрица D должна
быть нулевой.
Далее будем рассматривать в основном объекты, в которых вектор выходных координат связан лишь с вектором со-
стояния , т.е.
D = 0.
2.4. ПРИБЛИЖЕННАЯ ЗАМЕНА СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Рассмотрим звено чистого запаздывания, уравнение которого имеет вид:
(
)
(
)
Ttttuty
≤
≤
τ
−
=
0
, ,
где u(t), y(t) – соответственно входная и выходная функции звена. Отметим, что u(t) должна быть непрерывной на отрезке (t
0
–
τ
, T). Установим некоторое соответствие между y(t) и выходом z(t) апериодического звена с постоянной времени, равной
времени запаздывания:
(
)
(
)
(
)
tutztz
=
+
τ
&
,
далее оценим разность:
(
)
(
)
(
)
tytzt
−
=
ε
,
при этом полагая
() () ( ) ()
.0;
0000
=ετ
−
== ttutytz
В предположении существования производной
u(t) удовлетворяющей условию Липшица с постоянной M
1
, имеем:
() () ()()()()()
()
() ( )()()
()
.
;
;
2
1
1
1
11
τ≤ε
τ≤τ−−τ−−τ=ϕ
ϕ+ετ−=τ−−−τ=ε
−
ε
−−
Mt
Mtututut
tttutztut
x
&
&
Если же существует
()
()
2
2
Mtu ≤ , то в оценках (2.4.3) следует положить
21
5,0 MM
=
. Это непосредственно следует из
представления
u(t) в виде ряда Тейлора и выражений (2.4.3).
Для
N последовательно соединенных элементарных звеньев с запаздыванием
,
N
τ
эквивалентных исходному звену с за-
паздыванием
τ и соответствующей цепочке апериодических звеньев с постоянной времени ,
N
τ
по аналогии с выражением
(2.4.1), (2.4.2) можно записать:
(2.4.3)
(2.3.1)
(2.4.1)
(2.4.2)
()
()
() ()()
() () ( ) ( )
() () () ( ) ( )
() () () ( ) ( ) ( )
,;
...
;
2
;
;z ;
;
...
;
2
;
0001
1
00202122
1
0010111
1
1
12
1
τ−===+τ
τ
−===+τ
τ
−===+τ
=τ−=
τ
−=
τ
−=
τ
−=
τ
−=
−
−
−
−
−
tutytztztztzN
N
tutytztztztzN
N
tutytutztzN
tytu
N
tyty
N
tu
N
tyty
N
tuty
nNNnN
NN
&
&
&
где
() ()
Nitzty
ii
,1,, = – выходные величины соответствующих элементарных звеньев.
Введем обозначения:
() () () ( )
Nittytzt
iiii
,1;0;
0
==ε−=ε ,
с учетом (2.4.3) получим:
()
() ()()() ()()
()
;
...
;2
;
21
1
2
1
2
1
2
1
2
11212122
2
11
τ≤
τ
≤ε
τ
=
τ
+
τ
≤+−ε≤ε
τ
≤ε
−
NM
N
jMt
N
M
N
M
N
Mtyztytzt
N
Mt
j
()
21
1
τ≤ε
−
NMt
N
, (2.4.4)
где
()() ()()
tyztz
1212
,ε обозначают соответственно составляющие решения z
2
(t), обусловленные отдельно входными функциями
() ()
τ
−=ε
N
tutyt
11
и .
Из последнего состояния (2.4.4) вытекает, что
(
)
(
)
tytz
N
→ равномерно на отрезке (t
0
, T) при ∞→N .
Ограничения на
u(t) можно ослабить, потребовав, чтобы выполнялось условие Липшица с постоянной M
1
. Для этого не-
обходимо ввести сглаженную функцию:
()
() () ( )
Tttdu
h
tu
ht
t
≤≤τ−ξξ=
∫
+
0
1
,
1
.
Функцию u(t) продолжим на отрезке (T, T + h), по непрерывности как постоянную, производная которой имеет вид:
(
)
(
)
(
)
[
]
tuhtuhtu −+=
−11
&
,
удовлетворяющая условию Липшица с постоянной 2M
1
h
–1
, оценить
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
tutututu
211
, =− , а затем исследовать раз-
ность
z
N
(t) – y(t), представленную в виде композиции составляющих, обусловленных u
1
(t) и u
(2)
(t), окончательно согласно [2]
имеем:
()
(
)
hMNhMtytz
N 1
112
1
22 +τ≤−
−−
или, если считать
2
1
−
τ= Nh , то
() ()
2
1
1
4
−
τ≤− NMtytz
N
,
отсюда следует сходимость
z
N
(t) к y (t) при ∞→N (если
(
)
,
2
Mtu ≤ то в указанных оценках следует считать M
1
= 0,5 M
2
, ана-
логично доказывается сходимость для
u(t), удовлетворяющая только требованию непрерывности).
Исследуем близость решений
x(t), x
0
(t) системы дифференциальных уравнений системы с запаздыванием:
(2.4.4)
(2.4.5)
() () ( ) ()
() ()
00
0
1
0
,
;
tttttx
tuBtxAtxAtx
ix
l
i
ii
≤≤τ−ψ=
+τ−+=
∑
=
&
и системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из (2.4.6) путем замены x(t – τ
i
) выражения (2.4.3) т.е.:
() () () ()
() () ()
,,1,
;
1
0
1
000
Nitztztz
N
tuBtzAtxAtx
iii
i
l
i
i
i
==+
τ
++=
−
=
τ
∑
&
&
где
(
)
(
)
(
)
(
)
;;
00000
txtztxtz
=
=
,
() ()
(
)
() ()
tztzdtx
N
tz
j
ii
i
i
N
N
i
N
i
l
i
τ
ττ
τ
−
−
τ−
=ζζ+
τ
=
∫
,
1
00
,
где
() () ()
tztxtx
i
,,
0
– векторы, а начальные условия z
i
(t
0
) записаны путем усреднения начальной функции
(
)
t
x
ϕ
на интерва-
ле
.,
1
00
τ−τ
−
−
ll
N
i
t
N
i
t
Будем предполагать в дальнейшем
(
)
li
i
,1=τ кратными некоторой величине τ
∆
, так что N
li
1−
ττ – целые числа. Это нис-
колько не ограничивает области рассмотрения, а отвечает реальным практическим задачам и значительно упрощает форму
записи выражения (2.4.7).
(2.4.6)
(2.4.7)
(2.4.8)
Данная система уравнений является непрерывным аналогом системы разностных уравнений. Это следует из приведен-
ного ниже соотношения, полученного на основе использования формулы Тейлора:
() () ()
tztz
N
tz
N
tz
ii
l
ii 1
1
−
=
τ
+≈
τ
+
&
.
Решение x
0
(t) системы (2.4.6) удовлетворяет уравнению:
() ( ) () () ()
,
000
1
000000
ζζ+ζζ+ζζ+=
∫
∑
∫∫
=
τ
duBdzAdxAtxtx
t
t
l
i
t
t
i
t
t
i
интегрируя последовательно z
i
(t), получим:
()
()
()( )
()
()
()
()
()
,
!
!1
0
0
0
1
0
1
0
tt
N
i
iN
l
N
i
i
t
N
N
t
t
i
N
l
l
i
i
l
i
i
i
e
iN
tt
N
tz
detx
N
N
tz
−
τ
−
−
=
ζ−
τ
−
−
τ
−
−
τ
+
+ζζ−ζ
−
τ
=
∑
∫
где ,1 , liNN
l
i
i
=
τ
τ
=
.
Используя вместо z
i
(t
0
) соответствующие выражения (2.4.8) и подставив
(
)
tz
i
τ
в (2.4.7), в результате замены перемен-
ных получим:
() ( ) () ()
[]
()
[]
()
,,,
,
0
1
0
0
0
1
000000
000
ζζ+ζΨ+
+ζζζΨ+ζζ+ζζ+=
∑
∫
∑
∫∫∫
=
τ−
∗
=
dtxAtt
dxAtduBdxAtxtx
i
l
i
N
i
l
i
t
t
N
t
t
t
t
i
i
i
где
[] [ ]
ξΨξΨ
∗
,,,,
0
ttt
ii
NN
определяются равенствами:
[]
()
()
()
()
;
!1!1
,
0
1
1
γγ
−
τ
=γζ−γ
−
τ
=ζΨ
∫∫
ζ−
γ
τ
−
−
ζ
ζ−γ
τ
−
−
de
N
N
de
N
N
t
t
N
N
i
N
l
i
t
N
N
i
N
l
N
i
i
i
i
l
i
i
i
[]
()
;1 ;
1
;
!
,,
0
0
0
*
ill
N
tt
i
iN
l
l
N
Ni
N
i
N
i
de
iN
N
N
tt
l
i
i
≤≤τ−≤ζ≤τ
−
−
γ
−
γ
τ
τ
=ζΨ
γ
τ
−
−
−
∫
Оценим разность
() () ()
txtxt −=ε
0
()
[]
()
[] []
{}
()
[][]
{}
.,,,,
,,,
1
0
0
*
0
*
11
0
00
∑
∫
∑
∫∫
∑
=
τ−
==
ζζΨ−ζΨ+
+ζζζΨ−ζΨ=ζζε
ζΨ+−ε
l
i
iiN
l
i
i
t
t
iN
t
t
i
l
i
N
i
i
ii
dAtttt
dxAttdAtAt
Аналогично проделанному выше получим приближенную систему уравнений в случае наличия запаздывания и в
управляющих воздействиях, и в координатах:
() () () () ()
() ()
() () ()
;,1,
; ,1,
;
**
1
**
*
1
1
*
0
1
000
Nitztztz
N
Niztztz
N
tzBtuBtzAtxAtx
iii
r
iii
l
r
i
i
l
i
i
ii
==+
θ
==+
τ
+++=
−
−
=
θ
=
τ
∑∑
&
&
&
(2.4.10)
(2.4.11)
(2.4.9)
(2.4.9)
() () () ()
() () ( ) ( )
;,
;,
000000
1
00
txtztxtz
tztzdtx
N
tz
l
il
l
l
N
N
i
N
i
i
i
==
=ζζ+
τ
=
τ
ττ
τ
−
−
τ−
∫
() () () ()
() ()
,
;,
*
0
**
1
0
*
0
*
*
*
*
tutz
tztzdtu
N
tz
l
il
l
l
N
N
i
N
i
i
i
=
=ζζ+
θ
=
θ
θθ
τ
−
−
τ−
∫
где величины, характеризующие запаздывание в управлении, обозначаются верхним индексом *. Начальные условия можно запи-
сать также в другом виде:
()
θ
−= i
N
tutz
r
i
*
00
*
.
Аналогично (2.4.10) может быть получено выражение для разности сигналов исходной и приближенной систем.
2.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОПИСАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ЧАСТНОЙ ОБ-
ЛАСТИ
Рассмотрим звено чистого запаздывания с передаточной функцией вида:
(
)
.
s
esW
τ−
=
Полагая нулевой начальную функцию
()
t
u
ϕ
, представим передаточную функцию W
N
(s) цепочкой из N апериодических
звеньев с постоянной времени
N
τ
в виде:
N
s
N
sW
+
τ
=
1
1
)(
Данное выражение стремится к передаточной функции W(s) исходного звена, а при больших N достаточно точно характери-
зует его.
Передаточная матричная функция
W
NN
*
приближенной системы (2.4.11) имеет вид:
()
.11
11
0
*
1
0
0
1
0
*
*
*
∑∑
∑∑
=
−
=
−
=
−
=
τ
τ
−
−
θ
θ
−
+
θ
+
τ
−=
=
+
θ
+
τ
−=
r
i
r
i
l
i
N
i
i
r
i
r
i
l
i
N
l
i
NN
N
l
i
N
l
i
s
N
Bs
N
AsE
s
N
Bs
N
AsEsW
Очевидно, что .1lim
N
i
N
s
s
N
e
i
−
∞→
τ−
τ
+=
Отметим, что сопоставление исходной и приближенной систем в частной облас-
ти возможно только в случае нулевых начальных функций
(
)
(
)
tt
ux
ϕ
ϕ
, , что непосредственно следует из определения пере-
даточной функции.
Как известно, динамические свойства систем в частной области описываются амплитудно-фазовыми характеристиками
W(iω).
Если учесть, что реальные объекты, как правило, являются низкочастотными фильтрами, т.е.
()
,ωω при,δω
*
1
≥≤iW
то приближенную систему будем считать эквивалентной исходной при условии:
()
(
)
,ωω при δ,ωω
*
*
≤≤− iWiW
NN
где
() ()
ωmax ω iwniW
ik
ik
= – норма матрицы W(iω); n – размерность; δ,δ
1
– малые величины.
Выражение (2.5.1) справедливо для всего диапазона частот (0,
∞), если .
1
δ
≤
δ
Сопоставим решения исходной и приближенной систем для случая устойчивой системы при нулевых начальных функ-
циях
() ()
tt
ux
ϕ
ϕ
, и управляющих воздействиях, удовлетворяющих условию:
() ()() ()
,
2
1
2
1
1
2
э
0
2
MdiUdssUsU
i
dttu
i
i
T
<ωω
π
=−
π
=
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
(2.5.1)
где
() ()
2
1
2
∑
=
ω=ω
n
k
k
iuiU – эрмитова векторная норма
(
)
ω
iU ; M
1
– постоянная величина.
В качестве критерия близости решения выберем интегральную оценку
()
,
0
2
*
dttI
NN
∫
∞
ε=∆ которую по аналогии запи-
шем, используя теорему Парсеваля [1]:
() () ()
[]
() ()
[]
()
() () ()
.
22
1
2
1
1
2
2
э
2
*
***
π
δ
≤ωωω−ω
π
≤
≤ωωω−ωω−−ωω−
π
=∆
∫
∫
∞
∞−
∞
∞
M
diUiWiW
diUiWiWiWiWiUI
NN
NN
TT
NN
T
NN
Приведенная оценка следует из ряда простейших преобразований и соотношений:
(
)
(
)
() () () ()
()() ()() () ()
,
;
;
22
ω+ω≤ωω−+ω−ω
ωω=ωω
ω−=ω
iZiZiZiZiZiZ
iZiZiZiZ
iZiZ
kikiki
grgk
kk
где
()
ωiZ
k
и
()
ω−iZ
k
– комплексно-сопряженные величины.
С ростом
N и N
*
интервал стремится к нулю. При практических расчетах целесообразно пользоваться не абсолютной оценкой
близости
∆
Ι
NN
*
, а относительной
δΙ
NN
*
, равной отношению ∆
Ι
NN
*
к величине
()
dttx
NN
∫
∞
=Ι
0
2
0
*
– интегральной оценке качества
процесса
x
0
(t) в приближенной системе:
*
*
*
NN
NN
NN
I
I
I
∆
=δ
.
Сопоставим теперь решение исходной и приближенной систем при ненулевых начальных условиях.
Для выражения (2.5.1) получим:
() () () ( )
()
.
0
1
0
1
0
00
dtetB
dtetAxsUeBsXeAsE
st
i
r
i
ui
l
i
st
ixi
r
i
s
i
l
i
s
i
i
i
ii
−
=
θ
=
−
τ
=
θ−
=
τ−
θ−ϕ+
+τ−ϕ++=
−
∑
∫
∑
∫
∑∑
Решение данной приближенной системы приводится к виду:
() ()
() () ()
.00101
11
1
*
*
1
1
*
1
1
1
0
*
0
0
0
*
*
*
∑∑∑∑
∑∑
=
−+−
==
−+−
=
θ
θ
−
=
τ
τ
−
=
+
θ
+
θ
+
τ
+
τ
+
+
+
θ
=
+
τ
−
r
i
k
r
kN
N
k
r
l
i
ki
l
kN
N
k
l
N
r
r
i
i
N
l
l
i
i
xz
N
s
N
zA
N
s
N
sUs
N
BsXs
N
AsE
i
i
i
i
r
i
l
i
При выводе данного соотношения использовались выражения:
() ()
()
() ()
()
()
,1
;0
;0
1
1
1
*
*
0
1
1
0
*
*
*
−
τ−
+−
θ
−
=
−
θ
−+
τ
−
=
−
τ
+τ≈
θ
≈θ−ϕ
τ
≈τ−ϕ
τ
∑
∫
∑
∫
se
ez
N
dtt
ez
N
dtet
s
kN
N
N
k
i
r
st
iu
kN
N
N
k
i
l
st
ix
i
i
i
i
l
i
i
откуда следует
()
.1
i
is
se
−
τ−
+τ≈ Отметим, что аппроксимацию е
–is
можно выполнить, используя разложение
s
e
τ−
в непре-
рывную дробь и переходя от нее к дробно-рациональному выражению, что, с одной стороны, усложняет получение форму-
лы. А с другой – позволяет повысить точность приближенного решения при меньших значениях величин
N и N
*
.
Важным является вопрос о корнях характеристических определителей исходной и приближенной систем, так как ис-
пользование приближенной системы может привести к получению неустойчивого решения. Поэтому необходимо следить,
чтобы среди корней характеристического определителя приближенной системы отсутствовали корни с положительной действи-
тельной частью. Иначе необходимо изменить
N и N
*
.
В выражениях (2.5.2), модификация N и N
*
может выполняться как путем
(2.5.2)