Геодезические линии для метрики Шварцшильда
Подождите немного. Документ загружается.
sin
2
E
c
2arcsin
H
E
(32)
При
0r
(т.е. когда частица достигает сингулярности)
2
cos 0
2
2 2
(33)
Перепишем, уравнения, которые следует проинтегрировать, с помощью
переменной
:
1
2
2
2
1 cos
2
g
r E
r c
2
2
2
1
1
cos
2
g
r
E
r c
2
2 2
2 2
2
1
1 1
cos
2
dr E E
d c c
2 2
2
2 2
2
1
1 1 1 tan
2
cos
2
E E
c c
(34)
1
1
2
2 2
2
1
1 1
cos
2
dt E E
d c c
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 cos 1 1 cos
2 2
1 cos 1 cos 1
2 2
E E
c c
E E
c c
E E
c c
(35)
Сюда следует добавить уравнение
2
2
2
1 cos
2
H
E
c
2 2
2
2 2
cos cos
2 2
cos cos 1
2 2
H
H
dt E
d c
2
cos
2
i
r r
cos sin
2 2
i
dr
r
d
(36)
Извлечем корень из уравнения (34):
11
2
2
1 tan
2
dr E
d c
Т.к. в данном случае рассматриваются только падающие частицы,
2
2
1 tan
2
dr E
d c
tan
2
g
i
r
dr
d r
(37)
Комбинируя уравнения (36) и(37), получаем:
1
cos sin
2 2
tan
2
i
i
g
r
d dr d
r
d d dr r
3 3
2
1
cos cos 1
2 2
i i
g g
r r
r r
(38)
Разделим переменные в дифференциальном уравнении (38) и
проинтегрируем: с учетом следующего предположения: пусть при τ=0, η=0.
3 3 3
0
1 1 1
cos 1 sin
2 2 2
i i i
g g g
r r r
d
r r r
3
1
sin
2
i
g
r
r
(39)
Из уравнения (39) следует, что частица пересекает горизонт, а затем
достигает сингулярности за конечное собственное время
3
1
sin
2
i
H H H
g
r
r
(40)
0r
3
0
1
2
i
g
r
r
Совершенно другая ситуация возникает, если рассматривать уравнение
траектории в координатном времени t. Для определения t нужно
проинтегрировать уравнение. И уравнений (36) и (38) находим:
2 2
3
2
2 2
cos cos
1
2 2
cos 1
2
cos cos 1
2 2
H
i
H
g
r
dt dt d E
d d d c r
2 4
3
2
2 2
cos cos
2 2
cos cos 1
2 2
H
i
H
g
r
E
c r
(41)
Разделим переменные и проинтегрируем:
12
2 4
3
2
2 2
cos cos
2 2
cos cos 1
2 2
H
i
H
g
r
E
t d
c r
3
2
2 2
1
sin 1
2
i
g
r
E E
t
c r c
tan tan
2 2
ln
tan tan
2 2
H
g
H
r
(42)
откуда следует, что
t
при
H
Последний вывод отличается от поведения собственного времени частицы τ
при подходе к горизонту. Этот пример иллюстрирует тот факт что, с точки
зрения наблюдателя, покоящегося «на бесконечности», частице, движущейся
по времениподобной траектории, потребуется бесконечное время для
достижения горизонта, даже если собственное время при этом будет
конечным. После пересечения горизонта частица достигнет сингулярности
также за конечное время.
Геодезические в пространстве-времени Шварцшильда:
13
изотропные геодезические.
Как отмечалось выше для изотропных геодезических функция Лагранжа
должна равняться нулю. Поэтому для изотропных геодезических вместо
уравнения (18а) напишем следующее уравнение:
1 1
2
2 2
1 1 2 0
g g
r r
E l
r L
c r r r
(18b)
Которое можно переписать в следующем виде
2
2 2
2 2
1
g
r
dr l E
d r r c
(43)
Это уравнение следует рассматривать совместно с уравнениями для
координатного времени t и азимутального угла φ:
1
2
1
g
r
dt E
d c r
(44)
2
d l
d r
(45)
По аналогии будем считать r функцией φ и, выбрав в качестве независимой
переменной как и в предыдущем случае
1
u
r
(
2
1
du dr
u
), получим уравнение
2
2 2
4 2 2 4
2 2 2 2
1
g
r
dr dr d r E l r
d d dr l c r r l
2
2
4 4 2 2 2
1 1 1
1
g
du E
r u
u d u l c u
2
2
2 3
2 2
g
du E
u r u
d l c
2
3 2
2
1
( )
g
du
r u u f u
d D
(46)
где
lc
D
E
(47)
Где D-есть прицельный параметр (прицельное расстояние, параметр удара - в
теории рассеяния частиц расстояние между рассеивающим силовым центром
и линией первоначального движения рассеиваемой частицы.).
Заметим, что в отличие от предыдущего случая в f(u) отсутствует линейный
по u член и, кроме того, свободный член всегда положителен.
Радиальные геодезические.
14
Рассмотрим радиальные изотропные геодезические, описываемые
уравнениями
2
dr E
d c
(48)
1
2
1
g
r
dt E
d c r
(49)
Комбинируя уравнения (48) и (49), получаем
2
2
1 1
g g
r r
dr dr d E c
dt d dt c E r r
(50)
Интегрирование последнего уравнения дает
1
g
dr
t
r
r
ln
g g
t r r r r
(51)
*
t r const
(52)
Подставим (52) в (51);
*
ln
g g
r r r r r
(53)
Переменная г* обычно определяется уравнением :
2
*
d d
dr r dr
(54)
где
2 2 2v
g
r r r r e
(55)
Δ-есть функция горизонта. Функция r
*
имеет следующие свойства:
*
r
, когда
0
g
r r
*
r r
, когда
r
Т.о. при изменении г* от
до
полностью исчерпывается область
пространства-времени, доступная наблюдателю вне горизонта.
Уравнение (52) интересно сравнить с уравнением
r E const
(56)
связывающим r с собственным временем τ. Уравнения (52) и (56)
показывают, что наблюдатели, движущиеся вдоль радиальных
геодезических, пересекают горизонт, даже не замечая этого, при конечном
значении собственного времени, тогда как требуется бесконечное
координатное время, чтобы только приблизиться к горизонту, а преодоление
этого препятствия находится вне поля зрения наблюдателя вне горизонта.
Заключение
15
Теория геодезических линий и геодезических отображений интересна с
прикладной точки зрения и для современных исследований, поскольку
движение многих типов механических систем, а также тел или частиц в
гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде часто
происходит по траекториям, которые можно рассматривать как
геодезические линии некоторых пространств трех и более измерений,
определяемых энергетическими режимами, при которых протекают
процессы.
Литература
16
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Теория поля»
2. Мизнер, Торн, Уиллер. «Гравитация», том 1 (Мир, 1977)
3. Мизнер, Торн, Уиллер. «Гравитация», том 2 (Мир, 1977)
4. Мизнер, Торн, Уиллер. «Гравитация», том 3 (Мир, 1977)
5. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр том 1 (Мир, 1986)
6. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр том 2 (Мир, 1986)
7. В. Паули «Теория относительности» (Наука 1991)
8. Успехи физических наук 1986 г. Март Том 148, вып. 3 И. Г.
Дымнипова «ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ И ФОТОНОВ В
ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА»
9. http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1026.html
10.http://ru.wikipedia.org/wiki/
17