Гельгор А.Л., Попов Е.А. Технология LTE мобильной передачи данных

Подождите немного. Документ загружается.

Теперь, после того, как рассмотрены базовые принципы форми-

рования многочастотных ортогональных сигналов, рассмотрим влия-

ние МСИ на такие сигналы.

Основной идеей, лежащей в основе борьбы с МСИ, является вве-

дение защитного интервала, являющегося частью той длительности, в

пределах которой передаются данные. Применительно к рассматри-

ваемому случаю это означает разделение длительности T

OFDM-

символа на полезную часть T

и защитный интервал Δ. При этом, с

одной стороны, в целях малых потерь в скорости передачи информа-

ции, желательно, чтобы T

существенно превосходил Δ (например, на

порядок), а с другой — защитный интервал должен быть достаточно

протяженным, чтобы противодействовать МСИ.

На первый взгляд реализация такой идеи наталкивается на боль-

шие сложности ввиду того, что наличие защитного интервала может

привести к искажению ортогональности элементарных сигналов.

Действительно, если изначально ортогональный частотный разнос со-

ставлял Δ f = 1/T

, то после разделения T

на T

и Δ необходимо в ы-

брать Δf = 1/T

, и, например, на интервале [– Δ; T

– Δ] соотношение

ортогональности перестает выполняться.

Преодоление указанного затруднения основано на том, что часть

сигнала, передаваемая на длительности защитного интервала, являет-

ся циклическим префиксом OFDM-символа т. е. на интервале Δ пере-

дается копия части OFDM-символа, взятая “с конца” полезного ин-

тервала (на рис. 2.8 заштрихованы части, соответствующие цикличе-

скому префиксу и той части OFDM-символа, из которой этот префикс

получен). При этом временное окно анализа составляет T

, так что

анализируется либо непосредственно полезная часть OFDM-символа

(при идеальной синхронизации), либо полезная часть OFDM-символа,

восстановленная с учетом циклического префикса.

Рис. 2.8. Формирование циклического префикса

То, что вставка защитного интервала в виде циклического пре-

фикса не приводит к потере ортогональности нетрудно показать и

аналитически. Действительно, для любого временного сдвига τ, ле-

жащего в диапазоне от 0 до Δ, аналогично (2.3) имеем:

( ) ( )

( ), ( ) cos 2 cos 2

k l k k kl l l

s t s t A f t A f t dt

−τ

= π +ϕ π +ϕ =

∫

( )

sin 2 ( ) sin

2 2( )

klu kl kl

f fT



π + −τ +ϕ +ϕ − ϕ +ϕ −τ

= +



π+





( )

sin 2 ( ) sin

2( )

klu kl kl

f fT



π − −τ +ϕ −ϕ − ϕ −ϕ −τ



π−





и если на всем временном интервале [–τ; T

– τ] выполняется условие

частотного разноса f

– f

= 1/T

, то скалярное произведение по-

прежнему имеет нулевое значение.

Итак, введение в формируемую последовательность защитного

интервала, например, в начале OFDM-символа, достигается добавле-

нием к исходному блоку определенного числа G символов, так что

защищенная последовательность отсчетов

(g — guard, защитный)

имеет вид

sym

( ) exp

n nk

j kn

−



ξ ≡ξ = δ





∑

, (n = 0, …, K + G – 1). (2.10)

s(t)

На рис. 2.9 показана структурная схема формирования сигнала с

OFDM на основе цифровых устройств с использованием (программно

или аппаратно реализованного) блока ОБПФ.

БПФ

(0)X

(1)X



( 1)XN−

Защитный

интервал

Защитный

интервал



P / S

Добавление

ЦП

ЦАП, перенос

на несущую

Рис. 2.9. Структурная схема прямого формирования

OFDM-сигналов

N комплексных модуляционных символов δ

(сигнальные отсчё-

ты в частотной области), а также G “пустых” (нулевых) символов,

предназначенных для защитных поднесущих, поступают параллель-

ным образом на вход блока ОБПФ, на выходе которого образуются

отсчёты

(n = 0, …, N – 1), представляющие собой отсчёты во вре-

менной области. После этого в пределах длительности интервала T

ним добавляется ещё G отсчётов последовательности {

}, образую-

щие циклический префикс. Далее полученные отсчёты подаются на

вход преобразователя частоты, реализующего на своём выходе высо-

кочастотный радиосигнал. Наконец, после усиления в блоке усиления

мощности (на рис. 2.9 не показан) такой сигнал подаётся на вход ан-

тенной системы и излучается в эфир.

Операции формирования сигнала на основе блока ДПФ удобно

описывать в матричной форме.

Введём матрицу F размерности K × K элементов, участвующих в

операциях БПФ:

2/ 4/ 2( 1)/

2 ( 2)/ 4 ( 2)/ 2 ( 1)( 2)/

2 ( 1)/ 4 ( 1)/ 2 ( 1)( 1)/

11 1 1

jK jK jK K

jK K jK K jKK K

jKK jKK jKKK

ee e

−π −π −π−

−π− −π− −π− −









  



элементами которой являются числа

( )

exp 2 /

f j kn K= −π

, k, n = 0, …, N – 1.

Матрица F является унитарной, т. е. для неё выполняется соот-

ношение

= =FF F F I

где I — единичная матрица соответствующей размерности, а символ

“H” означает операцию эрмитова сопряжения.

Напомним, что в конечномерном пространстве матрицу A

называют эрми-

товосопряжённой (в честь французского математика Шарля Эрмита, Charles

Hermite) к данной матрице A, если она получена путём транспонирования и пе-

рехода к комплексно-сопряжённым значениям:

( )

AA=

Часто в литературе для обозначения операции эрмитового сопряжения

употребляется знак †, т. е. вместо A

пишут A

†

Матрицу, равную своему эрмитову сопряжению, называют эрмитовой, или

самосопряжённой. Собственные числа эрмитовой матрицы всегда вещественны,

и для неё всегда существует ортонормированный базис из собственных векто-

ров. При этом собственные векторы, соответствующие различным собственным

числам, ортогональны между собой.

Из унитарности матрицы F следует существование обратной к

ней матрицы F

–1

, элементы которой получаются эрмитовым (сопря-

жённым) транспонированием элементов исходной матрицы F. Оче-

видно,

( )

exp 2 /

kn kn

f f j kn K

−

≡= π

, k, n = 0, …, N – 1.

Тогда отсчёты ξ

во временной области (без вставки защитных отсчё-

тов) могут быть выражены через матричное произведение:

ξ= δF

, k, n = 0, …, N – 1.

Для формирования циклического префикса введём матрицу CP

размерности (K +1) × K вида

()

G KG G

KG K

×−

+×







где I

и I

— единичные матрицы соответствующих размерностей

G × K и K × K, а 0

G ×( K – G)

— нулевая матрица указанной размерности.

Теперь последовательность {

}, формируемую с учётом вставки за-

щитных отсчётов, можно представить в следующем виде:

() 1

G KG G

×−

−









= ξ= =









I 

( )

10 1

KG K K−− −

=ξ ξξ ξ

Последовательность {

}, как уже говорилось, воздействует на

преобразователь частоты и далее в виде радиосигнала излучается через

антенну в эфир. Распространение радиосигнала в канале связи, учиты-

вающее ослабление, замирания и другие эффекты влияния физической

среды, может быть описано результирующей частотной характеристи-

кой канала H(ω) или, что эквивалентно, импульсной частотной харак-

теристикой h(t) некоторого эквивалентного фильтра [6, 7].

Пусть конечная импульсная характеристика содержит L отводов с

коэффициентами h

, h

, …, h

. Сформируем вектор коэффициентов

отводов

( )

, ,...,

hh h=h

Тогда отсчёты z

сигнала на входе приёмного устройства могут быть

выражены следующим образом:

k ik k

zhn

−

= ξ+

∑

, k = 0, …, N – 1, (2.11)

где n

— отсчёты аддитивного канального шума, моделью которого,

как правило, является аддитивный белый гауссовский шум, т. е. такой

процесс, у которого временные отсчёты имеют гауссовское распреде-

ление, а энергетический спектр постоянен во всей области частот.

Соотношение (2.11) также можно записать на основе матричных

операций с использованием матрицы

210

00 000

0 000

000

hhh

h hhh













размерностью (K + L) × (K + L) в следующем виде:

= += +z H n HCPF nξδ

где

( )

01 1

K−

=δδ δδ

вектор комплексных модуляционных символов.

2.1.2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ С

OFDM

В предыдущем разделе речь шла, главным образом, о временных

характеристиках многочастотных сигналов, и их способностях проти-

востоять вредному воздействию интерференционных помех рассмат-

ривалась во временной области. Задачей данного раздела является

изучение спектральных свойств сигналов с OFDM.

Понятие спектра сигнала, несмотря на многолетние дискуссии и

обилие научной и учебной литературы на данную тему, до сих пор

вызывает ряд сложностей, касающихся и методик измерения различ-

ных спектральных параметров, и интерпретации требований и реко-

мендаций, налагаемых на спектральные параметры отечественными и

международными контролирующими организациями (Государствен-

ная комиссия по радиочастотам, Международный союз электросвязи

и др.). Во многом это связано с тем, что в реальной аппаратуре изме-

ряются спектральные характеристики отдельных реализаций сигнала,

в то время как в теоретических исследованиях, как правило, рассмат-

ривается энергетический спектр сигнала — характеристика, полу-

чаемая усреднением по всем реализациям. Разумеется, можно так по-

добрать и специальные тестовые сигналы, и параметры измеритель-

ного устройства (длительность реализации, время усреднения, форму

и параметры окна усреднения и др.), чтобы спектральные характери-

стики, полученные по анализу отдельных реализаций, были бы близ-

ки к теоретическим. Однако в реальной работе ситуация далека от

этого, и приходится предпринимать специальные меры, обеспечи-

вающие удовлетворение заданным спектральным показателям.

Совокупность заданных значений спектральных составляющих в

контрольных точках образует так называемую спектральную маску, и

одной из задач разработчиков передающей аппаратуры является га-

рантированный не выход спектральных составляющих вещательного

сигнала за пределы спектральной маски.

Рассмотрим, прежде всего, теоретические характеристики много-

частотных сигналов.

Как известно, энергетический спектр G(ω) сигнала определяется

как предельное соотношение (по времени наблюдения) средней спек-

тральной плотности мощности отдельных усеченных реализаций [1]:

{ }

() lim ()GS

τ→∞



ω= ω



, (2.12)

где S

(ω) — преобразование Фурье усеченной, рассматриваемой на

интервале времени [0; τ] реализации s

(t), а символ E обозначает опе-

рацию математического ожидания, т. е. усреднения по ансамблю реа-

лизаций.

Понятно, что величина G(ω), определяемая соотношением (2.12),

является идеализированной, поскольку в реальных условиях невоз-

можно обеспечить полное усреднение по ансамблю реализаций. При-

ближением к G(ω) служит характеристика G

(ω), получаемая посред-

ством замены усреднения по ансамблю усреднением во времени од-

ной (достаточно длительной) реализации. В пределе, при бесконечно

большом времени усреднения G(ω) и G

(ω) совпадают

Найдем вид энергетического спектра многочастотных сигналов.

При этом, для общности, будем предполагать произвольный (не обя-

зательно прямоугольный) вид огибающей A(t) элементарного сигнала.

В качестве усеченной реализации сигнала выберем N-элементную по-

следовательность OFDM-символов

( ) ( )

{

()

sym 0

( ) Re exp

Ns s

s t s t nT j t nT

−−

= =

= − = ω− ×





∑∑

на интервале наблюдения

[0; NT

( )

max 1

exp 2 / ( )

ln s u s

j l t nT T A t nT

−





× δ π − −∆ −











∑

t NT≤≤

Поскольку длительность символа T

фиксирована, обеспечить

сколь угодно большое время наблюдения τ = NT

можно лишь при

N → ∞ (при этом последующий предельный переход будет осуществ-

ляться по дискретным значениям, что не принципиально).

Спектр (преобразование Фурье) усеченной реализации имеет

следующий вид:

( )

() () ()exp

S S s t j t dt

ω≡ ω= −ω =

∫

Строго говоря, для того, чтобы G(ω) и G

(ω) совпадали при бесконечном

времени усреднения, на сигнал требуется наложить условие эргодичности [1].

Как правило, физические свойства используемых радиосигналов позволяют счи-

тать, что требуемые условия выполняются.

В данном случае кадровая структура OFDM-символов игнорируется, ибо

она не влияет на спектральные характеристики.

( )

()

sym

exp () ()

s NN

s t nT j t dt S S

−

+−

= − −ω = ω+ ω

∑

∫

где

( )

{ }

( )

{ }

max

( ) exp exp 2 /

N ln s s u

S j nT j l nT T

−

= =

ω = δ − ω−ω − π +∆ ×





∑∑

( )

[ ]

( )

exp 2 / exp

A t nT j lt T j t dt× − π − ω−ω





∫

( )

{ }

( )

{ }

max

( ) exp exp 2 /

N ln s s u

S j nT j l nT T

−

= =

ω = δ − ω+ω π +∆ ×





∑∑

( )

[ ]

( )

exp 2 / exp

A t nT j lt T j t dt× − − π − ω+ω





∫

Здесь символ “*” означает знак комплексного сопряжения.

Обозначая через

( ) ( )

( ) exp

F A t j t dtω= −ω

∫

преобразование Фурье заданной функции A(t), определяющей оги-

бающую элементарного сигнала, предыдущие соотношения можно

записать как

( )

{ }

( )

{ }

max

( ) exp exp 2 /

N ln s s u

S j nT j l nT T

−

= =

ω = δ − ω−ω − π +∆ ×





∑∑

( )

F lt T× ω−ω − π

( )

{ }

( )

{ }

max

( ) exp exp 2 /

N ln s s u

S j nT j l nT T

−

= =

ω = δ − ω+ω π +∆ ×





∑∑

( )

F lt T× ω+ω + π

Теперь, при вычислении квадрата модуля комплексной функции S

(ω)

учтем свойство относительной узкополосности сигнала s

(t), из кото-

рого следует, что спектральные компоненты S

N+

(ω) и S

N–

(ω) локализо-

100

ваны вблизи значений ω

и –ω

соответственно (рис. 2.10). Это озна-

чает, что при вычислении квадрата модуля

() ()

+−

ω+ ω =

() () () () () ()

N NN NN N

S SS SS S

+ +− +− −

= ω + ω ω+ ω ω+ ω

перекрестными членами можно пренебречь, и

222

() () () ()

NN N N

SS S S

+− + −

ω+ ω ≈ ω + ω

Рис. 2.10. К вычислению энергетического спектра

Математическое ожидание вычисляется посредством усреднения

по всем возможным значениям модуляционных символов. Используя

линейность математического ожидания, имеем:

222

() () ()

NN N

SS S

+−

   

ω= ω+ ω=

   

EE E

( )

{ }

max max

00 0 0

exp

ln l n s

nn l l

j n nT

−−

′′

= = = =



′

= δ δ − ω−ω − ×





∑∑ ∑ ∑

( ) ( )

2/ 2 /

A uA u

F ltT F lktT

′

× ω−ω − π ω−ω − π ×

( )

{ }

exp 2 /

j l l nT T

′

× − π − +∆ +

( )

{ }

max max

00 0 0

exp

ln l n s

nn l l

j n nT

−−

′′

= = = =



′

+ δ δ − ω+ω − ×





∑∑ ∑ ∑

( ) ( )

2/ 2 /

A uA u

F ltT F ltT

′

× ω+ω + π ω+ω + π ×

(ω)|

–ω

N+

(ω)|

N–

(ω)|