Галуев Г.А. Принципы построения и основы функционирования систем и сетей связи

Подождите немного. Документ загружается.

Отсюда видно, что при aÆ∞ дисперсия белого шума бесконечна. По

физическому смыслу спектральная плотность это мощность процесса, которая

приходится на 1 Гц полосы частот, т.к.

Отсюда следует, что

∞→σ

∞→

lim

, т.е. мощность белого шума не ог-

раничена.

Таким образом, белый шум – это случайный процесс с постоянной

спектральной плотностью S

, значения белого шума при любых τ≠0 не коррели-

рованы, дисперсия и мощность белого шума бесконечны.

Гауссовский случайный

процесс имеет n-мерную плотность распределения вида

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πσ

∑

−=

2σ

exp

)

t,...,

X,...,

ω(X

Здесь

nn1n

n111

A =

– определитель; σ

– дисперсия, m = 0;

= K(t

); A

– алгебраическое дополнение R

в А.

Для стационарного процесса R

= R

= K(τ), τ = t

– t

. Поэтому для га-

уссовского процесса по корреляционной функции можно определить из выра-

жения Хинчина-Винера плотность распределения любого порядка.

Гауссовский процесс

, являющийся белым шумом (гауссовский белый шум)

имеет все n сечений некоррелированные и A

=1; A=1;

= R

= δ

(δ

– символ Кронекера). Поэтому плотность распределения n по-

рядка гауссовского белого шума определяется как произведение из n одномер-

ных плотностей распределения

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

−

∏

2σ

exp

2π

)

t,...,

X,...,

ω(X

Распределенное по закону Гаусса колебание образуется в результате

сложения большого числа независимых или слабо коррелированных случайных

колебаний.

Модели каналов связи

Чтобы дать математическое описание канала связи необходимо и дос-

таточно указать множество сигналов на входе и для любого допустимого сигна-

ла задать (построить распределение вероятности) случайный сигнал (процесс)

на выходе канала. Точное математическое описание реального канала очень

сложно. Поэтому пользуются упрощенными математическими моделями кана-

лов. Наибольшее распространение получили математические модели следую-

щих видов:

Идеальный канал связи без помех

– линейная цепь с постоянной пере-

даточной функцией, сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допусти-

мы любые входные сигналы, спектр которых лежит в ограниченной полосе час-

тот F и имеющие ограниченную среднюю мощность Р

. Выходной сигнал в та-

ком канале при заданном входном сигнале является детерминированным. Эта

модель иногда используется для описания кабельных каналов связи. Однако,

строго говоря, она непригодна для реальных каналов, в которых всегда присут-

ствуют хотя и очень слабые, аддитивные помехи.

Канал с аддитивным гауссовским шумом

, в котором сигнал на выходе

Z(t) = KU(t – τ) + N(t),

где U(t) – входной сигнал;

K и τ – постоянные;

N(t) – гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием и

заданной корреляционной функцией.

Обычно запаздывание τ не учитывается. N(t) – чаще всего гауссовский

белый шум с постоянной плотностью распределения в полосе спектра входного

сигнала U(t). В этой модели могут использоваться заданные функции

времени

величин K(t) и τ(t) – т.е. коэффициент передачи канала K(t) и время запаздыва-

ния τ(t) – функции времени. Такая модель удовлетворительно описывает многие

проводные каналы связи, радиоканалы при связи в пределах прямой видимости,

радиоканалы с медленными замираниями, когда можно надежно предсказать К

и τ.

Канал с неопределенной фазой сигнала

– отличается от предыдущего

тем, что τ – случайная величина. Для узкополосных сигналов при K=const и

случайных τ(t) имеем:

[

]

)t(Nsin)t(U

cos)t(UK)t(Z

+Θ+Θ=

, (1.4)

где

)t(U

– преобразование Гильберта от U(t);

= ω

τ – случайная начальная фаза.

Распределение вероятностей Θ

предполагается заданным, чаще всего

равномерным на интервале (0, 2π). Эта модель описывает те же каналы, что и

предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует за счет изменения протя-

женности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал.

Гауссовский однолучевой канал с общими замираниями

(флуктуация-

ми амплитуд и фаз сигнала). Используется выражение (1.4), только вводятся К и

как случайные процессы. То есть случайными будут квадратурные компо-

ненты

X = K cos Θ

;

Y = K sin Θ

Если эти компоненты зависят от времени, то:

[

]

)t(N)t(sin)t(U

)t(cos)t(U)t(K)t(Z

+Θ+Θ=

Эта модель достаточно хорошо описывает многие радиоканалы в раз-

личных диапазонах волн. Существуют и другие модели. Это все модели непре-

рывных каналов связи.

Переходя к моделям дискретных каналов напомним, что такой канал

содержит непрерывный канал и модем (модулятор, демодулятор). Поэтому в

принципе модель дискретного канала можно построить из моделей непрерыв-

ного канала и модема. Однако в ряде случаев такой путь очень сложен. Поэтому

применяют более простые модели.

Модель дискретного канала задана если известны: алфавит и априорные

вероятности P(B

) появления символов B

сообщений (k=1, 2, …, m) (m – объем

алфавита); техническая скорость передачи символов

V =

бод, где Т – дли-

тельность передачи одного символа; алфавит символов на выходе

(i = 1, 2,

…, m); априорная условная вероятность

)

BP(

появления символа

при

условии, что был передан символ B

. Результатом анализа дискретного канала

является определение апостериорной условной вероятности

)

P(B

того,

что при получении символа

передавался символ B

. С помощью этих апосте-

риорных вероятностей и априорных вероятностей P(B

) рассчитывают полные

вероятности появления ошибки в канале, правильного приема, вероятность по-

явления символов на выходе, скорость передачи информации, пропускную спо-

собность канала, количество принятой информации и другие.

Симметричный канал без памяти

– определяется как дискретный ка-

нал, в котором каждый переданный символ B

может быть принят ошибочно с

фиксированной вероятностью Р и правильно с вероятностью (1-Р), причем в

случае ошибки вместо переданного символа B

может быть принят с равной

вероятностью любой другой символ. Таким образом условная вероятность того,

что принят символ

, если был передан символ B

равна

⎩

⎨

⎧

=−

≠−

i.k приP1

i;k при1)(mP

)/B

BP(

Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приема не

зависит от предыстории (т.е. какие раньше передавались символы и как они

были приняты). Переходные вероятности для такой модели канала имеют вид

(если канал двоичный):

1-P

Симметричный канал без памяти со стиранием

– отличается от преды-

дущего тем, что алфавит на входе содержит дополнительный (m+1) символ "?",

который появляется когда демодулятор не может надежно опознать переданный

символ B

. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа Р

яв-

ляется постоянной величиной и не зависит от передаваемого символа. Вероят-

ности переходов для этой модели имеют вид:

"?"

1-(Pc+P)

Несимметричный канал без памяти

– характеризуется тем, что вероят-

ности ошибки не зависят друг от друга, однако зависят от того, какой символ

передается. То есть вероятность Р(1/0)≠Р(0/1) для двоичного канала. Для этой

модели переходные вероятности имеют вид:

Марковский канал

– простейшая модель дискретного канала с памятью.

Здесь вероятность ошибки образует простую цепь Маркова, т.е. зависит от того

правильно или неправильно принят предыдущий символ, но не зависит от того,

какой символ передается.

Канал c неаддитивным шумом и с памятью

. Вероятность ошибки в нем

зависит от передаваемых символов, как в модели несимметричного канала без

памяти, но не от того символа, для которого определяется вероятность ошибки,

а от символов, которые передавались до него.

Таким образом, мы рассмотрели модели сигналов, помех и каналов свя-

зи. Перейдем теперь к рассмотрению методов модуляции в

системах связи.

1.4. Методы модуляции сигналов в системах связи

Модуляция представляет собой преобразование сообщения (первичного

сигнала) B(t) в сигнал U(t), пригодный для передачи по данной линии связи.

При этом преобразовании осуществляется согласование источника сообщений с

каналом связи.

Для передачи информации требуется, чтобы сигналы имели два вида

параметров: параметры селекции (отбора) и информационные

параметры.

Параметры селекции позволяют выделить полезный сигнал из совокупности

сигналов помех. Информационные параметры служат для переноса информации

– в изменении этих параметров отражаются сообщения.

Управление информационными параметрами переносчика в соответст-

вии с законом изменения передаваемого сигнала (сообщения) называют моду-

ляцией. Пусть сигнал-переносчик это X(t), а передаваемый сигнал B(t). Тогда

модуляция – это преобразование двух сигналов X(t) и B(t) в один модулирован-

ный сигнал U(t):

U(t) = M[X(t), B(t)].

Для выделения переданного сигнала B(t) из U(t) необходимо выполнить

преобразование обратное модуляции, т.е. демодуляцию:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

== U(t)

ΜU(t)D(t)B

Если под воздействием передаваемого сигнала B(t) информационный

параметр сигнала-переносчика X(t) изменяется непрерывно, то все возможные

виды модуляции являются непрерывными. К ним относят фазовую, амплитуд-

ную и частотную модуляцию и их комбинации. Так, если сигнал-переносчик –

это гармоническое колебание, то имеем амплитудную, фазовую и частотную

модуляцию гармонического колебания. Если в роли переносчика используют

периодическую последовательность импульсов, то модуляция является им-

пульсной: амплитудно-импульсная, частотно-импульсная. Если при модуляции

информационный параметр переносчика X(t) принимает счетное число значе-

ний, то модуляцию называют дискретной. К ней относят амплитудную, фазо-

вую и частотную манипуляцию.

Если эти счетные значения пронумеровывают и в виде цифр передают

по линии связи, то

говорят о цифровой модуляции, например, импульсно-

кодовая модуляция, дельта модуляция.

В целом, в зависимости от характера передаваемого сигнала B(t) и пе-

реносчика X(t) (случайный стационарный процесс, случайный нестационарный

процесс), вида этих сигналов (непрерывные, дискретные) и вида информацион-

ного параметра (амплитуда, частота, фаза, форма, длительность, период и т.д.)

может быть предложено множество

различных методов модуляции. Однако

перечисленные выше методы непрерывной и дискретной амплитудной, фазовой

и частотной модуляции, а также цифровой модуляции наиболее исследованы и

нашли широкое практическое применение. Рассмотрим более детально некото-

рые из них.

Амплитудная модуляция (аналоговая) (АМ)

Рассмотрим амплитудную аналоговую модуляцию на простом примере.

Пусть передаваемый сигнал B(t), а сигнал-переносчик

X(t)=cos2πf

t. То-

гда модулированный сигнал U(t)=B(t)X(t)=B(t)cos2πf

Если B(t) имеет спектр, ограниченный полосой частот

Wf ≤

, и если

ограничить W величиной меньшей или равной fc, то спектры B(f - fc) и B(f +

fc) не перекрываются и U(t) будет являться полосовым процессом, спектр кото-

рого ограничен полосой .

W)(fcfW)(fc

−

В зависимости от соотношения ширины спектра W и его центральной

(несущей) частоты fс различают узкополосные (W « fc) и широкополосные (W

≈ fc) процессы. Пусть в нашем случае W « fc. Тогда модулированный сигнал

πf2cosB(t)U(t) c

будет иметь форму косинусоиды с несущей частотой fc, амплитуда ко-

торой модулирована и медленно изменяется в соответствии с огибающей B(t),

как показано на рисунке 1.6.

Одним из основных свойств амплитудно-модулированных сигналов

U(t) является то, что они сохраняют все детали низкочастотного модулирующе-

го сигнала B(t), что позволяет путем демодуляции процесса U(t) полностью вос-

становить исходный передаваемый

сигнал B(t). Полосовой амплитудно-

модулированный сигнал U(t) полностью эквивалентен передаваемому сигналу

B(t) в отношении содержащейся в нем информации, хотя они находятся в раз-

личных частотных диапазонах. Это различие позволяет осуществлять частотное

уплотнение (разделение) каналов, когда по одной линии связи на различных

несущих частотах (выбранных так, что частотные полосы различных источни-

ков сообщений не

перекрываются) передается множество сообщений.

Рис.1.6.

Фазовая и частотная аналоговая модуляции (ФМ, ЧМ)

Можно показать, что любое узкополосное колебание X(t) можно пред-

ставить в виде

X(t) = X

(t) cos 2πf

t + X

(t) sin 2πf

где X

(t) и X

(t) – низкочастотные колебания, называемые квадратур-

ными компонентами X(t).

Тогда обобщенный узкополосный сигнал можно записать в виде:

[

]

)(2cos)()(

ttftEtX

где

)()()(

tXtXtE

– огибающая,

)(

arctgt

−

– фаза.

Фазомодулированный сигнал можно получить из выражения (1.5) если

сделать огибающую E(t) постоянной, а фазу ψ(t) изменять пропорционально

модулирующему сигналу B(t), т.е.

U(t) = A cos [2πf

t + mB(t)],

где m – индекс фазовой модуляции A = E(t) = const.

Поскольку в этом случае модулируется не амплитуда, а фазовый угол

косинусоиды, то фазовую и частотную модуляции называют угловыми.

Рассмотрим принцип фазовой модуляции на примере.

Пусть B(t) = cos 2πf

t и m<<1, тогда

[

]

.)(2sin

)(2sin

2cos

2cos2cos)(

tff

tfA

tfmtfAtU

mcmcc

−

⋅

−+

⋅

−≈

≈+=

πππ

ππ

Если каждый член этого выражения записать в экспоненциальной фор-

ме, то видно, что спектр фазово-модулированного сигнала U(t) при

m<<1выглядит приближенно так, как показано на рисунке 1.7.

U(f)

-f

Рис. 1.7.

Фазовые соотношения между несущей и боковыми составляющими

спектра показаны на рисунке 1.8. Здесь меньшие векторы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

вращаются в

противоположных направлениях вокруг конца большого вектора (А), а U(t)

представляет собой проекцию суммы этих векторов на горизонтальную ось.

Вертикаль

Горизонталь

tf2 c

tf2 m

Рис.1.8.

При фазовой модуляции в колебании

[

]

)(2cos)( ttfAtU

не-

сущая модулируется по фазе с помощью ψ(t). Можно определить мгновенную

частоту U(t) как производную от аргумента косинуса:

[]

tdψ

πfψ(t)tπf

)(

22 +=+

Полагая

∫

∞−

ττϕ=ψϕ=

d)()t( или )t(

)t(d

, имеем

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∫

∞−

dtfAtU

ττϕπ

)(2cos)(

Это несущая модулируемая по частоте с помощью ϕ(t). Если

tf2sinK)t(

π−=ϕ

– случай синусоидальной частотной модуляции: