Фролов Н.Н., Молдаванов С.Ю., Лозовой С.Б. (сост.) Определение перемещений при плоском изгибе
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ
Методические указания и задания к расчетно-графической
работе по курсу “Сопротивление материалов”
для студентов 2-го курса всех строительных
специальностей очной формы обучения
Краснодар
2007
Составители: д-р. физ.-мат. наук, проф. Н. Н. Фролов,
канд. физ.-мат. наук, доц. С. Ю. Молдаванов,
канд. физ.- мат. наук, доц. С.Б. Лозовой
УДК 539.3
Определение перемещений при плоском изгибе. Методические указа-
ния и задания к расчетно-графической работе по курсу «Сопротивление ма-
териалов» для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной
формы обучения / Сост.: Н.Н. Фролов, С.Ю. Молдаванов, С.Б. Лозовой; Ку-
бан. гос. технол. ун-т. Каф. сопротивления материалов и строительной меха-
ники. − Краснодар: Изд. КубГТУ, 2007. − 38 с.
Предлагаемые методические указания посвящены изучению методов
определения перемещений при плоском изгибе. Для вычисления прогибов и
углов поворота используются метод начальных параметров и графо-аналити-
ческий метод. Приведены примеры решения типовых статически определи-
мых и статически неопределимых задач, входящих в состав расчетно-графи-
ческой работы по курсу «Сопротивление материалов». Предназначены для
студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обу-
чения.
Ил. 16. Табл. 2.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского
государственного технологического университета
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры строительных конструкций и гид-
ротехнических сооружений КубГТУ С.И. Дизенко;
канд. техн. наук, доц. кафедры сопротивления материалов и
строительной механики КубГТУ В. В. Попов
2
1. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Построить эпюры прогибов и углов поворота для заданной балки с по-
мощью уравнений метода начальных параметров.
М=12 кНм
F=5 кН
2 м
2 м
q=2 кН/м
2 м
A
C
B
D
Рисунок 1.1. Использование метода начальных параметров для определения
перемещений в балках с врезным шарниром
7
3
1
55
Эп. Q
y
(кН)
0,5
Эп. М
х
(кНм)
10
10
0
2,25
2
0
12,0
0
2,67
Эп. v
⋅
EJ
x
0
8,67
4,67
2,02
Эп.
θ
⋅
EJ
x
C
А
B
П
оэтажная схема
D
z
y
3,84
3,917
6,91
6,833
0,50
5,84
8,0
3
Решение задачи об определении
перемещений в многопролетной
балке методом начальных параметров
начинаем с построения поэтажной
схемы. Находим величины опорных
реакций отдельных балок, начиная с
верхнего этажа поэтажной схемы:
V
C
=3к
Н
М=12 кНм
F=5 кН
2 м
2 м
B
D
С
q
=2 кН/м
у
V
В
=6к
Н
z
2
3
∑
= 0
C
m
; 6
2
45122/22
2
=
⋅+−⋅
=
B
V кН;
;
∑
= 0
B
m
3
2
25122/22
2
=
⋅−+⋅
=
C
V кН.
Проверка:
∑
=
0у ; 036522
=
−
−
+⋅ , следовательно, опорные реакции балки
верхнего этажа поэтажной схемы найдены верно. Используя полученные
значения опорных реакций, строим эпюры поперечных сил и изгибающих
моментов в балке второго этажа.
y
Q
x
M
Определяем величину опорных ре-
акций балки нижнего этажа, для чего по-
мимо действия заданных нагрузок учиты-
ваем и ранее вычисленную опорную ре-
акцию , приложенную в противопо-
ложном направлении.
C
V
q=2 кН/м
2 м
A
C
V
C
=3к
Н
V
A
=7к
Н
M
A
=10кНм
z
y
1
∑
=
0у ; 7322
=
+
⋅
=
A
V кН,
∑
= 0
A
m ; 10232/22
2
=
⋅
+
⋅
=
A
M кНм.
Используя полученные значения опорных реакций, строим эпюры попереч-
ных сил и изгибающих моментов в балке второго этажа.
y
Q
x
M
Окончательные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
в заданной балке строятся путем состыковки в точке С ранее построен-
ных эпюр в отдельных балках поэтажной схемы.
y
Q
x
M
При вычислении перемещений в многопролетной балке с помощью ме-
тода начальных параметров расчет необходимо начинать с балки, находя-
щейся в нижнем этаже поэтажной схемы. Уравнения метода начальных па-
раметров записываем в следующем виде:
()
(
)
(
)
∑∑∑
===
−
+
−
+
−
+=
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iii
xix
azqazFazM
EJEJ
1
3
1
2
1
1
0
621
θθ
;
(
)
(
) ()
∑∑∑
===
−
+
−
+
−
++=
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iii
ixoxix
azqazFazM
zEJvEJvEJ
1
4
1
3
1
2
0
2462
θ
.
4
Начальные параметры балки первого этажа (прогиб и угол поворота
сечения в начале координат) определяются из условий ее закрепления. В на-
чале координат имеется защемление, которое препятствует как угловым, так
и линейным перемещениям, следовательно,
0
=
ox
vEJ и 0=
ox
EJ
θ
.
Вычисляем перемещения сечений, расположенных в серединах и на
границах грузовых участков балки первого этажа:
−
м:
1
1
=z
()
(
)
(
)
833,6
6
012
2
017
1
0110
321
1
=
−⋅
+
−⋅
−
−⋅
=
θ
x
EJ ;
x
EJ
833,6
1
=
θ
;
()
(
)
(
)
917,3
24
012
6
017
2
0110
432
1
=
−⋅
+
−⋅
−
−⋅
=vEJ
x
;
x
EJ
v
917,3
1
= ;
−
м: 2=
С
z
()
(
)
(
)
67,8
6
022
2
027
1
0210
321
=
−⋅
+
−⋅
−
−⋅
=
Сx
EJ
θ
;
x
лев
С
EJ
67,8
=
θ
;
()
(
)
(
)
12
24
022
6
027
2
0210
432
=
−⋅
+
−⋅
−
−⋅
=
Сx
vEJ ;
x
С
EJ
v
12
=
.
При вычислении перемещений в балке второго этажа с помощью мето-
да начальных параметров необходимо устранить разрыв в равномерно рас-
пределенной нагрузке. Для чего балку нужно догрузить нагрузкой заданной
интенсивности кН/м и, и чтобы не изменилось деформированное со-
стояние балки, на том же участке необходимо приложить компенсирующую
нагрузку интенсивностью
2=q
2
=
q
кН/м, направленную в противоположном на-
правлении (см. рис. 1.1).
Следует заметить, что в точке
С на эпюре прогибов
v
имеется излом, а
на эпюре углов поворота сечения
θ
– разрыв. Поэтому при определении пе-
ремещений в балке верхнего этажа в качестве одного из начальных парамет-
ров (прогиба в начале координат) следует принять . Второй
начальный параметр
12==
Сxox
vEJvEJ
0
≠
=
пр
Сxox
EJEJ
θ
θ
. Угол поворота сечения в начале ко-
ординат необходимо определить из условия опирания балки второго этажа в
точке В – при м;
2=
В
z 0
=
Вx
vEJ , отсюда
(
)
(
)
0
24
022
6
023
212
43
0
=
−⋅
+
−⋅
−⋅+=
θ
xВx
EJvEJ ;
033,92
0
=
+⋅
θ
x
EJ ;
пр
Сx
EJ
θθ
=−=−= 67,4
2
33,9
0
.
Вычисляем перемещения сечений, расположенных в серединах и на
границах грузовых участков балки второго этажа:
5
− м: 1
2
=z
()
(
)
84,5
6
012
2
013
67,4
32
2
−=
−⋅
+
−⋅
−−=
θ
x
EJ
x
EJ
84,5
2
−=
θ
(
)
(
)
91,6
24
012
6
013
167,412
43
2
=
−⋅
+
−⋅
−⋅−=vEJ
x
;
x
EJ
v
91,6
2
= ;
− м: 2z
В
=
()
(
)
00,8
6
022
2
023
67,4
32
−=
−⋅
+
−⋅
−−=
Вx
EJ
θ
x
В
EJ
00,8
−=
θ
(
)
(
)
01,0
24
022
6
023
267,412
43
−=
−⋅
+
−⋅
−⋅−=
Вx
vEJ ; 0
01,0
≈−=
x
В
EJ
v
;
−
м; 3
3
=z
()
(
)
(
)
−
−⋅
+
−⋅
+
−⋅
−−=
1
2312
6
032
2
033
67,4
132
3
θ
x
EJ
() ()
50,0
6
232
2
236
32
−=
−⋅
−
−⋅
− ;
x
EJ
50,0
3
−=
θ
;
(
)
(
)
(
)
−
−⋅
+
−⋅
+
−⋅
−⋅−=
2
2312
24
032
6
033
367,412
243
3
vEJ
x
() ()
84,3
24
232
6
236
43
−=
−⋅
−
−⋅
− ;
x
EJ
v
84,3
3
−= ;
−
м; 4=
D
z
(
)
(
) ()
−
−⋅
+
−⋅
+
−⋅
−−=
1
2412
6
042
2
043
67,4
132
Dx
EJ
θ
() ()
00,2
6
242
2
246
32
=
−⋅
−
−⋅
− ;
x
D
EJ
00,2
=
θ
;
(
)
(
)
(
)
−
−⋅
+
−⋅
+
−⋅
−⋅−=
2
2412
24
042
6
043
467,412
243
Dx
vEJ
() ()
68,2
24
242
6
246
43
−=
−⋅
−
−⋅
− ;
x
D
EJ
v
68,2
−=
.
По полученным значениям строим эпюру углов поворота сечения
θ
и
эскиз упругой линии балки
v
(см. рис.1.1). Сравнивая эпюры перемещений,
построенные методом начальных параметров и графо-аналитическим мето-
дом можно сделать вывод об их полной идентичности. Некоторые погрешно-
сти при определении ординат рассматриваемых эпюр связаны с округлением
чисел при вычислениях. Сравнивая два метода определения перемещений
можно сделать вывод, что метод начальных параметров позволяет вычислять
искомые величины в любой точке балки, а графо-аналитический – только на
границах грузовых участков.
6
2. ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
Построить эпюры прогибов и углов поворота для заданной балки с по-
мощью уравнений метода начальных параметров (рис. 2.1).
Определяем величину опорных реакций заданной балки:
∑
= ;m
В
0
15
4
2101032020
=
⋅
+
−
⋅
+
=
А
V
кН;
∑
= 0
А
m ;
5
4
3201081020
=
⋅
−
−
⋅
+
=
В
V
кН.
Проверка:
∑
= 0y ;
0
21
=
+
−
− FFVV
BA
; 05102015 =−
+
−
.
Используя полученные значения опорных реакций, строим эпюры по-
перечных сил и изгибающих моментов в заданной балке.
y
Q
x
M
Принимаем схему фиктивной балки в соответствии с условиями закре-
пления заданной балки. Фиктивную балку загружаем фиктивной распреде-
ленной нагрузкой, изменяющейся по закону изгибающего момента в за-
данной балке. Фиктивную распределенную нагрузку направляем от оси бал-
ки в сторону растянутых волокон заданной балки. Ординатами фиктивной
распределенной нагрузки являются ординаты эпюры , деленные на вели-
чину изгибной жесткости .
x
M
x
M
x
EJ
Площадь фиктивной распределенной нагрузки разбиваем на элемен-
тарные геометрические фигуры – треугольники и прямоугольники. Действие
каждого из элементарных участков фиктивной распределенной нагрузки за-
меняем равнодействующими
i
ω
. Величина равнодействующей
i
ω
равняется
площади соответствующего элемента фиктивной распределенной нагрузки.
Точки приложения равнодействующих находятся в центрах тяжести элемен-
тов фиктивной распределенной нагрузки. Находим величины равнодейст-
вующих
i
ω
и координаты точек их приложения :
i
a
xx
EJEJ
40
2
20
1
=⋅=
ω
;
1
2
1
2
1
=⋅=а м;
xx
EJEJ
30
2
320
2
=⋅=
ω
;
1
3
1
3
2
=⋅=а м;
xx
EJ
,
EJ
537
2
325
3
=⋅=
ω
;
2
3
2
3
3
=⋅=а м;
()
xx
EJ
,
EJ
522
2
31025
4
=⋅
−
=
ω
;
1
3
1
3
4
=⋅=а м;
xx
EJEJ
30
3
10
5
=⋅=
ω
;
51
2
1
3
5
,а =⋅= м;
7
xx
EJEJ
20
2
220
6
=⋅=
ω
.
670
3
1
2
6
,а =⋅=
м.
Для определения опорных реакций фиктивной балки составляем по-
этажную схему, позволяющую установить порядок взаимодействия между
отдельными элементами многопролетной системы. Построение поэтажной
схемы поводится в следующем порядке: через врезные шарниры мысленно
проводят сечения и выявляют элементарные балки, которые могут самостоя-
тельно нести внешнюю нагрузку, без участия остальных элементов. К таким
элементам относятся консольные балки и балки на двух опорах. Указанные
балки располагают в нижнем этаже поэтажной схемы, а остальные элементы
помещают в следующих этажах в соответствии с порядком их примыкания.
Балки, не имеющие промежуточных опор, располагаются в самом верхнем
этаже поэтажной схемы. Расчет начинаем с балки, расположенной в самом
верхнем этаже поэтажной схемы (балка АВ).
Определяем величину опорных реакций фиктивной балки АВ:
∑
= ;m
B
0
(
)
(
)
(
)( )
=
−−
−
+
−
+
−
=
6
6336
22554433
aaaa
V
fic
A
ω
ω
ω
ω
()
(
)
(
)
(
)
xx
EJ
,,,
EJ
15
6
16305133013522265371
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅−−⋅+−⋅+−⋅
=
кНм
2
;
∑
=
0
А
m ;
(
)
(
)
=
−
+
+
+
+
⋅
=
6
33
22554433
aaaa
V
fic
B
ω
ω
ω
ω
(
)
(
)
xx
EJ
,,,
EJ
45
6
130513301352225371
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅−+⋅++⋅+⋅
=
кНм
2
.
Находим величину опорных реакций фиктивной балки СА, располо-
женной в первом этаже поэтажной схемы. Опорные реакции балки АВ, рас-
положенной в верхнем этаже поэтажной схемы, прикладываем к балке СА в
противоположном направлении. Тогда:
∑
= 0
С
m ;
()
xx
fic
A
fic
C
EJEJ
VaM
10
215140
1
2
11
=⋅−⋅=−=
ω
кНм
3
;
∑
= 0y ;
()
xx
fic
A
fic
C
EJEJ
VV
25
1540
1
1
=−=−=
ω
кНм
2
.
Определяем величину опорных реакций фиктивной балки ВЕ, распо-
ложенной в первом этаже поэтажной схемы. Опорные реакции балки АВ,
расположенной в верхнем этаже поэтажной схемы, прикладываем к балке ВЕ
в противоположном направлении, получаем:
∑
= 0
E
m ;
() ()
[]
xx
fic
B
fic
E
EJ
,
,
EJ
VaM
7116
245670220
1
22
66
=⋅+−⋅=+−=
ω
кНм
3
;
∑
= 0y ;
()
xx
fic
B
fic
E
EJEJ
VV
65
4520
1
6
=+=+=
ω
кНм
2
.
8
10
М
1
=20 кНм
М
2
=10 кНм
F
2
=10 кН
F
1
=20 кН
Эп.Q
y
(кН)
Эп.M
x
(кНм)
20
20
10
25
20
20
20
10
5
5
3 м
3 м 2 м2 м
R
A
=15 кН
R
B
=5 кН
A
B
C
D
E
25
EJ
x
20
EJ
x
ω
3
ω
4
ω
5
ω
6
20
EJ
x
20
EJ
x
10
EJ
x
C
A
D
B
E
ω
2
ω
1
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
C
A
D
B
E
10
EJ
x
67,5
EJ
x
116,7
EJ
x
Эп.v
z
y
0
0
Поэтажная схема
9
3. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
С ВРЕЗНЫМ ШАРНИРОМ
Определяем величину опорных реакций заданной балки:
∑
= ;m
пр
С
0
6
2
4512222
2
=
⋅+−⋅
=
/
V
В
кН;
∑
= 0
А
m ; кНм; 10124665242
2
=−⋅−⋅+⋅= /М
А
∑
= ;m
лев
С
0
7
2
10222
2
=
+⋅
=
/
V
А
кН.
Проверка:
∑
= 0y ;
02
=
⋅++−− qFVV
BA
; 042567
=
⋅
+
+
−
−
, следовательно, опорные
реакции найдены верно.
Используя полученные значения опорных реакций, строим эпюры по-
перечных сил и изгибающих моментов в заданной балке.
y
Q
x
M
Принимаем схему фиктивной балки в соответствии с условиями закре-
пления заданной балки. Фиктивную балку загружаем фиктивной распреде-
ленной нагрузкой, изменяющейся по закону изгибающего момента в за-
данной балке. Фиктивную распределенную нагрузку направляем от оси бал-
ки в сторону растянутых волокон заданной балки. Ординатами фиктивной
распределенной нагрузки являются ординаты эпюры , деленные на вели-
чину изгибной жесткости .
x
M
x
M
x
EJ
Площадь фиктивной распределенной нагрузки разбиваем на элемен-
тарные геометрические фигуры – треугольники и параболические сегменты.
Действие каждого из элементарных участков фиктивной распределенной на-
грузки заменяем равнодействующими
i
ω
. Величина равнодействующей
i
ω
равняется площади соответствующего элемента фиктивной распределенной
нагрузки. Точки приложения равнодействующих находятся в центрах тяже-
сти элементов фиктивной распределенной нагрузки.
Находим величины равнодействующих
i
ω
и координаты точек их при-
ложения :
i
a
xx
EJEJ
10
2
210
1
=⋅=
ω
;
331
3
2
2
1
,а =⋅= м;
xxx
EJ
,
EJ
ql
EJ
331
12
22
12
1
33
2
=
⋅
=⋅=
ω
;
1
2
1
2
2
=⋅=а м;
xx
EJEJ
2
2
22
3
=⋅=
ω
;
670
3
1
2
3
,а =⋅=
м;
10