Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. Принципы и примеры

Подождите немного. Документ загружается.

хронизации. В таких случаях для управления синхронизацией мож-

но использовать законы адаптивного управления. Следуя [6, 124,

136], изложим общую постановку задач адаптивного управления син-

хронизацией и схему решения для двух подсистем на основе метода

пассификации.РассмотримN взаимосвязанных подсистем, описыва-

емых уравнениями вида

= F

(

,...,x

, u, θ, t

)

i =1,...,N, (5.52)

где θ ∈ R

– вектор неизвестных параметров. Пусть задана неот-

рицательная целевая функция Q(x

,...,x

, t), малые значения кото-

рой соответствуют достижению синхронного режима. Выбор целевой

функции определяется желаемым типом синхронизации. Например,

целевая функция может быть выбрана в виде (5.5), (5.15) или (5.50).

Задача состоит в том, чтобы найти алгоритм адаптивного управления

вида

u = U(x

,...,x

, t, θ),

где θ ∈ R

– вектор настраиваемых параметров и алгоритм адапта-

ции вида

θ = Θ(x

,...,x

, t, θ),

так, чтобы цель управления

lim

t→∞

Q(x

(t),...,x

(t), t) = 0 (5.53)

достигалась для всех θ∈Ξ,гдеΞ – множество допустимых значений θ.

Отметим, что поскольку правые части F

в (5.52) различны, по-

ставленная задача охватывает случай неидентичных подсистем, пред-

ставляющий наибольший интерес в задачах управления синхрониза-

цией.

5.3.2 Адаптивная синхронизация двух подсистем

Далее рассмотрим более подробно случай двух подсистем: N =2,

∈ R

со скалярным управлением u ∈ R

и зададим естественную

цель синхронизации:

lim

t→∞

(t) − x

(t)| = 0. (5.54)

102

Вычтем уравнение второй системы из уравнения первой и предполо-

жим, что в полученном уравнении для вектора ошибки можно выде-

лить линейную и нелинейную части и представить модель ошибки в

следующем виде:

e = Ae + B



i=1

, x

, t)+Bu, (5.55)

где A – постоянная n × n-матрица; B — постоянный n-мерный век-

тор; θ

– постоянные, но неизвестные коэффициенты, а функции ϕ

известны и измеряемы. Таким образом, предполагается наличие ли-

нейной и согласованной параметризации: как неизвестные параметры

так и управление входят в уравнение ошибки линейно и, кроме того,

пропорционально постоянному вектору B (например, нелинейности и

управление входят только в одно из уравнений системы).

Модель ошибки (5.55) охватывает как традиционный для теории

управления случай, когда управление входит только в одну из подси-

стем (5.52), так и случай, когда управление может воздействовать на

обе подсистемы. В последнем случае предельное движение управляе-

мой системы (синхронный режим), вообще говоря, неизвестно, даже

если ошибка приблизилась к нулю.

Пусть измерению доступны, кроме функций ϕ

, x

, t), выход-

ные переменные y

= Cx

, i =1,2.Алгоритмадаптивногоуправле-

ния может быть выведен, а достижение цели установлено методом

скоростного градиента. Зададим основной контур управления в виде

u = −

− y



i=1

, x

, t), (5.56)

где

– некоторые настраиваемые параметры. Выбор такого за-

кона управления мотивируется надеждой на то, что он в принципе

способен решить задачу, поскольку существуют такие значения на-

страиваемых параметров

, i =1,...,N, что цель управления дости-

гается. Действительно, если выбрать

∗

= −θ

, i =1,...,N, (5.57)

то при подстановке выбранных значений настраиваемых параметров

∗

и управления u в уравнение ошибки (5.55) все нелинейности

103

исчезнут, уравнение примет вид

e =

[

A − θ

]

e. (5.58)

и, если существует θ

∗

такое, что уравнение (5.58) асимптотически

устойчиво, то закон (5.56), (5.57) в принципе обеспечивает синхро-

низацию. Однако в любом случае воспользоваться таким законом

нельзя, так как он зависит от неизвестных параметров.

Для синтеза алгоритма адаптации воспользуемся методом ско-

ростного градиента. Учитывая, что система содержит линейную по

e часть, выберем квадратичную целевую функцию Q(e)=e

Pe,

e = x

−x

,гдеP = P

> 0 – некоторая симметричная положительно-

определенная матрица. Вычисляя скорость изменения введенной функ-

ции в силу системы (5.55), а затем градиент от скорости по настра-

иваемым параметрам, получим

Q = e

e = e



Ae + B

i=1

+ Bu



= e

A −

e + e

i=1

(θ

−

)ϕ

∂

= −e

PB(y

− y

∂

= −e

PBϕ

Для применимости алгоритма нужно, чтобы все величины в алгорит-

ме управления были доступны измерению. По предположению, функ-

ции ϕ

, x

, t) доступны измерению. Осталось обеспечить измеряе-

мость величины e

PB, являющейся линейной комбинацией перемен-

ных ошибки по состоянию системы. Очевидно, эта величина являет-

ся измеряемой, когда она представляет собой линейную комбинацию

переменных ошибки по выходу системы: e

PB=(y

− y

)

g= e

для некоторого числа g, что эквивалентно соотношению PB = C

Если это соотношение выполнено, то алгоритм адаптации, получа-

емый по методу скоростного градиента в дифференциальной форме

принимает вид

= −γ

− y

)ϕ

, x

, t), i =1,...,N, (5.59)

= −γ

− y

)

,(5.60)

104

где γ

, i = 1,...,N - коэффициенты адаптации, величина которых

произвольна, а знак совпадает со знаком g.

В более общем случае, если выходы являются l-мерными векто-

рами, то g ∈ R

и алгоритм адаптации имеет вид

= −γ

− y

)ϕ

, x

, t), i =1,...,N,(5.61)

= −γ

− y

)](y

− y

), (5.62)

где γ

>0, i =1,...,N.

5.3.3 Условия достижения цели синхронизации

Для вывода условий работоспособности предложенной схемы пона-

добятся некоторые определения и результаты из теории управления.

Определение 5.3 [80]. Линейная система

x =

Ax+

Bu, y =

Cx с

передаточной матрицей W(λ)=

C(λI −

−1

B,гдеu, y ∈ R

и λ ∈ C

называется минимально-фазовой если многочлен ϕ(λ)=det(λI −

A)detW (λ)гурвицев.Системаназываетсягипер-минимально-фа-

зовой если она минимально-фазовая иматрица

B =lim

λ→∞

λW(λ)

симметрична и положительно определена. 

Заметим, что для l =1системаn-го порядка гипер-минималь-

нофазовая, если числитель ее передаточной функции – гурвицев

многочлен степени n − 1 с положительными коэффициентами, что

эквивалентно случаю d =1вусловияхМеерова.

Лемма 5.1 (Лемма о пассификации) [61, 78, 80]. Пусть зада-

ны матрицы

C, g размеров n ×n, n ×m, l ×n, m ×l и выполнено

условие rank(

B)=m. Тогда для существования положительно опре-

деленной n × n-матрицы P = P

>0иl × m-матрицы θ

∗

таких, что

∗

+ A

∗

P <0, P

B =

, A

∗

A +

Bθ

∗

необходимо и достаточно, чтобы система

x =

Ax +

Bu, y = G

Cx была

гипер-минимально-фазовой.

Из леммы следует [61], что для гипер-минимально-фазовой си-

стемы всегда существует обратная связь по выходу u = θ

Gy +

где

u— новый, вспомогательный вход, такая, что система с обрат-

ной связью строго пассивна по отношению к выходу

y = Gy,причем

105

функция запаса может быть выбрана в виде квадратичной формы:

V(x)=x

Px. Другими словами, гипер-минимально-фазовость необ-

ходима и достаточна для пассифицируемости линейной системы об-

ратной связью по выходу.

Определение 5.4. Вектор-функция f :[0,∞) → R

называется

постоянно возбуждающей (ПВ) на [0, ∞),еслионаизмеримаи

ограничена на [0, ∞)исуществуютα >0,T > 0 такие, что

t+T



f(s)f(s)

ds ≥ αI

для всех t ≥ 0. .

Постоянно возбуждающая вектор-функция отличается тем, что

при t →∞она не прижимается ни к какой гиперплоскости в m-мер-

ном пространстве.

Лемма 5.2 (Лемма о постоянном возбуждении) [61, 78]. Рас-

смотрим вектор-функции f,

θ :[0,∞) → R

. Предположим, что

θ(t)

непрерывно-дифференцируема, d

θ(t)/dt → 0приt →∞и f –по-

стоянно возбуждающая. Тогда, если

θ(t)

f(t) → 0приt →∞,то

θ(t) → 0.

Условия адаптивной синхронизации сформулируем в виде следу-

ющей теоремы.

Теорема 5.1 [136]. Предположим, что траектории синхрони-

зируемых систем с управлением вида (5.56) при ограниченных e(t),

(t) ограничены и линейная система с передаточной функцией

W(λ)=gC(λI − A)

−1

B гипер-минимально-фазовая. Тогда все тра-

ектории системы (5.55), (5.56),(5.59), (5.60) ограничены и выпол-

нена цель синхронизации (5.54). Если, кроме того, условие ПВ вы-

полнено для вектор-функции

(

, x

, t),...,ϕ

, x

, t)

)

,тона-

страиваемые параметры сходятся к своим идеальным значениям:

lim

t→∞



θ(t) − θ



=0. (5.63)

Доказательство теоремы 5.1. Для доказательства рассмотрим

106

функцию Ляпунова вида

V(x,

θ)=

Pe +



i=0

2γ

− θ

+ |

− θ

∗0

/(2γ

),(5.64)

где матрица P = P

>0ичислоθ

∗0

подлежат определению. Вычис-

ление

V показывает, что соотношение

V <0приe = 0 имеет место

тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:



= −γ

PBgCe,

= −γ

PBϕ

, x

, t),

(5.65)

причем матрица P удовлетворяет неравенству Ляпунова PA

∗

P <0,

где A

∗

= A + Bθ

C. Вспоминая, что измеряемость всех величин, вхо-

дящих в алгоритм адаптации эквивалентна выполнению соотноше-

ния PB = C

g, и применяя лемму 5.1, получим, что

V <0при

e = 0 тогда и только тогда, когда алгоритм адаптации имеет вид

(5.59), (5.60) и система

x = Ax + Bu, y = gCx является гипер-

минимально-фазовой, что, по условию, имеет место. Поэтому функ-

ция V(t)=V(x(t),

(t),

θ(t)) ограничена. Следовательно, ограничены

также функции e(t),

(t)(таккакϕ

, x

, t), i =1,...,N ограниче-

ны). Из уравнений (5.65) следует, что

V = e

(PA

∗

P)e ≤−µ|e(t)|

для некоторого µ > 0. Теперь мы находимся в условиях леммы о

частичной аттрактивности п. 3.1, где функция V имеет вид (5.64).

Поскольку из ограниченности функции V(t)следуетограниченность

всех переменных состояния системы. Из леммы следует, что e(t) → 0

при t →∞.

Для доказательства (5.63) заметим сначала, что из (5.54) и (5.59)

следует, что

θ(t) → 0приt →∞. Дифференцированием (5.55), из

ограниченности функций e,

θ, ϕ

и их производных по вре-

мени заключаем, что

e(t) ограничено. Из леммы Барбалата [61]

следует, что

e(t) → 0приt →∞.Отсюдаииз(5.59)получим,

что

θ(t)

(t)→0приt →∞.Наконец,(5.63)следуетизусловия

ПВ и леммы 5.2.

З а м е ч а н и е 5.6. Теорема 5.1 фактически дает необходимое и

достаточное условие существования функции Ляпунова вида (5.64)

107

со свойствами



V(x,

θ, t)>0приe =0,

V(x,

θ, t)<0приe =0.

(5.66)

Это означает, что нет другого алгоритма адаптации, основанного на

функции Ляпунова (5.64) со свойствами (5.66). 

5.3.4 Синхронизация и адаптивные наблюдатели

Аналогично задаче об адаптивном управлении синхронизацией рас-

сматривается задача о синхронизации на основе адаптивного наблю-

дателя [6, 137], в которой модель неуправляемой системы (передат-

чика) имеет вид

= Ax

+ ϕ

)+B



i=1

), y

= Cx

,(5.67)

где x

∈ R

– вектор состояния передатчика; y

∈ R

–векторвыхо-

дов (передаваемых сигналов); θ =col

(

,...,θ

)

–векторпараметров

передатчика. Предполагается, что нелинейности ϕ

(·), i =0,1,...,N,

матрицы A, C ивекторB известны.

Задача состоит в построении адаптивного наблюдателя (прием-

ника) — динамической системы с входом y

(t), вектор выходов ко-

торой w(t) состоит из оценок состояния передатчика

x(t)иоценок

параметров передатчика

θ,обеспечивающегоцель наблюдения –схо-

димость к нулю ошибок оценивания:

lim

t→∞

(

x(t) − x

(t)

)

=0, (5.68)

lim

t→∞



θ(t) − θ



= 0. (5.69)

Адаптивный наблюдатель строится в виде

x = A

x + ϕ

)+B



i=1

G(y

− y)

y = Cx,(5.70)

108

= ψ

, y), i =0,1,...,N,(5.71)

где x ∈ R

, y

∈ R

∈ R,аG ∈ R

является вектором весовых

коэффициентов. Алгоритм адаптации (5.71) подлежит определению.

Хотя формально задача наблюдения не является задачей управле-

ния, уравнение ошибки имеет как и ранее, вид (5.55), если ввести

обозначения

e = x

−

x, ϕ

= ϕ

), u = −θ

−C

x)+



i=1

Алгоритм адаптации, синтезированный методом скоростного гради-

ента, имеет вид:

= −γ

(y − y

)ϕ

), i =1,...,N, (5.72)

= −γ

(y − y

)

,(5.73)

где γ

>0.

Аналогично теореме 5.1 доказывается следующее утверждение,

дающее условия адаптивной синхронизации:

Теорема 5.2 [6, 137]. Предположим, что все траектории си-

стемы (5.67) ограничены и линейная система с передаточной

функцией W(λ)=C(λI − A)

−1

B гипер-минимально-фазовая. То-

гда все траектории системы (5.70), (5.72),(5.73), ограничены и

выполненацельнаблюдения(5.68).Если,крометого,условиеПВ

выполнено для вектор-функции

(

(t)), . . . , ϕ

(t))

)

,товыпол-

нена цель наблюдения (5.69): настраиваемые параметры сходят-

ся к своим идеальным значениям.

В работах [6, 137] было предложено применять адаптивный на-

блюдатель для передачи информации на основе хаотического несу-

щего сигнала. При этом передаваемое сообщение кодируется из-

менением параметров θ

, i = 1,...,N. Преимуществом адаптивного

приемника перед приемником, описанным в примере 5.7 является

потенциально б

ольшая отказоустойчивость: отсеиваются нарушения

синхронизации, не вызванные изменением параметров передатчика

(например, внезапные сбои в передатчике или канале связи). Ис-

следование точности передачи сообщений в условиях ограниченных

помех проведено в [7, 137].

109

Отметим, наконец, что для работы описанных схем адаптивной

синхронизации существенна возможность пассификации уравнения

ошибки, а значит, условие равенства единице относительной степе-

ни линейной части d = 1. В работе [138] предложены и обоснованы

новые схемы адаптивной синхронизации на основе концепций рас-

ширенной ошибки и тюнеров высших порядков, позволяющие снять

условие d = 1 за счет введения в структуру наблюдателя вспомога-

тельных динамических систем — фильтров.

5.4 Управление синхронизацией двух осцилляторов

Рассмотрим задачу синхронизации колебаний двух связанных од-

номерных осцилляторов с одной степенью свободы (например, ма-

тематических маятников). Такая модель встречается при описании

различных физических и механических систем (см., напр., [46]). В

предположении линейности диссипации система из двух связанных

осцилляторов описывается уравнениями

¨ϕ

(t)+˙ϕ

+ ω



(ϕ

(t)) = k



(t) − ϕ

(t)



+ u(t),

¨ϕ

(t)) + ˙ϕ

+ ω



(ϕ

(t)) = k



(t) − ϕ

(t)



(5.74)

где ϕ

(t)(i = 1, 2) – обобщенная координата i-го осциллятора (на-

пример, угол поворота маятника); u(t)–управляющеевоздействие

(например, приложенный к первому маятнику момент внешних сил,

выраженный в единицах углового ускорения; ω

–частотамалых

собственных колебаний изолированных осцилляторов;  –коэффи-

циент трения (диссипации); k – коэффициент связи (например, ко-

эффициент жесткости пружины).

Введем вектор состояния системы x(t)=col{ϕ

,˙ϕ

, ϕ

,˙ϕ

}∈

. Полная энергия системы (5.74) H(x)сучетомэнергиисвязи

определяется выражением

H(x)=0.5



˙ϕ

+˙ϕ





Π(ϕ

) − Π(ϕ

)



+0.5k



−ϕ



.(5.75)

Рассмотрим задачу возбуждения синхронных антифазных колебаний

осцилляторов с заданной амплитудой с помощью дополнительной

ограниченной обратной связи. Эту задачу можно трактовать как до-

стижение заданного уровня энергии системы с дополнительным тре-

бованием того, чтобы осцилляторы имели противоположные фазы

110

колебаний. Синтез алгоритма управления выполним по методу ско-

ростного градиента.

Для применения процедуры метода скоростного градиента введем

целевые функции

(˙ϕ

,˙ϕ

)=0.5δ

(x)=0.5(H(x) − H

∗

)

(5.76)

где δ

=˙ϕ

+˙ϕ

; H(x(t)) – полная энергия системы, H

∗

–еезаданное

значение.

Минимальное значение функции Q

соответствует требованию

противофазности колебаний (во всяком случае при малых началь-

ных фазах ϕ

(0), ϕ

(0) тождество Q

(˙ϕ

,˙ϕ

) ≡ 0выполняетсятоль-

ко тогда, когда ˙ϕ

≡−˙ϕ

). Минимизация Q

означает достижение

желаемой амплитуды колебаний.

Для синтеза алгоритма управления введем целевую функцию

Q(x) как взвешенную сумму Q

и Q

,аименно

Q(x)=αQ

(˙ϕ

,˙ϕ

)+(1− α)Q

(x), (5.77)

где α (0 ≤ α ≤ 1) – заданный весовой коэффициент.

Вычисляя скоростной градиент, получаем следующий алгоритм

управления:

u(t)=−γ



αδ

(t)+(1− α)δ

(t)



˙ϕ

(t), (5.78)

где δ

(t)=˙ϕ

(t)+˙ϕ

(t), δ

(t)=H

− H

∗

, γ > 0 – коэффициент

усиления. Результаты [6, 140, 220] к данной задаче, к сожалению,

непосредственно не применимы, поскольку величина δ

не является

инвариантом системы даже при  = 0 (она сохраняет свое значение

на движениях свободной системы только на целевом множестве).

Поэтому проблема аналитического исследования достижения цели

в системе (5.74), (5.78) остается открытым. В то же время вычис-

лительные эксперименты убеждают в работоспособности алгоритма

синхронизации (5.78).

Приведем некоторые результаты моделирования процесса воз-

буждения и синхронизации колебаний по алгоритму (5.78) в системе

из двух одинаковых маятников. При моделировании использованы

111