Фирсов А.Н. Теория вероятностей. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
111
12 1 2
... ...
0
nn
P
nn
ξξ ξ ξ ξ ξ
ε
⎛+++ + ++ ⎞
−
>→
⎜⎟
⎝⎠
MM M
.
Доказательство. По формуле (7.6):
12 12
... ...
nn
nn
ξ
ξξξξξ
+++ +++
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
MM M
M
.
Далее, в силу попарной независимости
12
, , ...,
n
ξ
ξξ
, по формуле (7.15а), с
учетом равенства
2
()CC
ξ
ξ
=DD,
59
получаем:
12
22
1
... 1
n
n
i
i
nc c
nnnn
ξξ ξ
ξ
=
+++
⎛⎞
=
≤=
⎜⎟
⎝⎠
∑
DD,
где последнее неравенство следует из условия теоремы. По неравенству
Чебышёва получаем окончательно:
12 1 2
... ...
nn
P
nn
ξξ ξ ξ ξ ξ
ε
⎛+++ + ++ ⎞
−
>=
⎜⎟
⎝⎠
MM M
12 12
... ...
nn
P
nn
ξξ ξ ξξ ξ
ε
⎛⎞
+++ +++
⎛⎞
=− >≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
M
12
22
...
0
n
n
c
n
n
ξξ ξ
εε
→∞
+++
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
≤
≤⎯⎯⎯→
D
.
Теорема доказана.
Следствие. Если
12
...
n
a
ξ
ξξ
=
== =MM M , то для любого 0
ε
> при
n →∞
(7.17)
12
...
0
n
Pa
n
ξξ ξ
ε
⎛+++ ⎞
−
>→
⎜⎟
⎝⎠
.
Доказательство очевидно.
Это следствие и является выражением «устойчивости средних», о
котором говорилось в начале этого пункта. Действительно, при измерении
59
См. замечание к формуле (7.10).
112
одной и той же физической величины естественно предполагать, что
случайные величины, характеризующие каждое конкретное измерение,
имеют одинаковые распределения и, следовательно, одинаковые
математические ожидания. Таким образом, при «достаточно большом
количестве измерений», замена математического ожидания арифметическим
средним измеренных значений физической величины вполне оправдано.
Соотношение (7.17) является крайне важным, но обладает тем же
недостатком,
что и теорема Пуассона: она не дает возможности достаточно
ясно интерпретировать термин «достаточно большое количество измерений».
Для испытаний Бернулли соответствующее уточнение дает теорема Муавра-
Лапласа. В случае же закона больших чисел такую роль играет одна из
важнейших теорем теории вероятностей –
центральная предельная теорема.
Доказательство этой теоремы достаточно сложно, чтобы его можно было
изложить в этом пособии; мы приведем только ее «облегченную»
формулировку для частного случая, относящегося к формуле (7.17).
Теорема 7.9. Пусть случайные величины
12
, , ...,
n
ξ
ξξ
попарно
независимы и имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии:
i
a
ξ
=M и
2
i
ξ
σ
=D для всех i. Тогда для любого 0
ε
> при 1n
(7.18)
12
...
21
n
n
Pa
n
ξξ ξ ε
ε
σ
⎛⎞
⎛+++ ⎞
−
≤≈Φ −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
,
где ()
x
Φ - нормальная функция распределения (§6д, п. 6д.2).
Напомним, что эта же функция ()
x
Φ
встречается в формулировке
теоремы Муавра-Лапласа (теорема 6д.1).
Формула (7.18) позволяет связать число необходимых наблюдений
(измерений) с требуемой точностью оценки математического ожидания
a
измеряемой величины. Так, при
3n
ε
σ
= («правило 3σ») получаем
12
...
0,997
n
Pa
n
ξξ ξ
ε
⎛+++ ⎞
−≤ ≈
⎜⎟
⎝⎠
,
что вполне достаточно для практических целей. Заметим, что
ε убывает, как
величина
1 n . Отсюда видно, что ошибка от замены математического
ожидания измеряемой величины на
12
1
( ... )
n
n
ξ
ξξ
+++ обратно
пропорциональна квадратному корню из числа наблюдений
. Это говорит о
том, что иногда бывает лучше сделать более точный прибор (что позволяет
уменьшить дисперсию
2
σ
), чем надеяться увеличить точность за счет
увеличения числа наблюдений. Вообще, статистикой надо пользоваться
тогда, когда исчерпаны технические возможности.