Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Лекции по теории автоматического управления (линейные системы)
Подождите немного. Документ загружается.
–61–
Данное
выражение
является
важным
с
точки
зрения
возможности
оп
-
ределения
максимального
выходного
сигнала
–
для
решения
вопроса
со
-
гласования
выхода
звена
с
его
нагрузкой
.
Фазо
-
частотная
характеристика
колебательного
звена
(
рис
. 8.8,
д
)
рас
-
считывается
по
формуле
:
( )
2
2
2
Im( )
Re( )
1
q
arctg arctg
q
ω
ξ
ω
ω
ω
ω
Ψ = =
−
.
ФЧХ
плавно
возрастает
с
ростом
ω
до
–180°,
т
.
е
.
на
высоких
частотах
выходная
координата
находится
в
противофазе
по
отношению
к
входному
сигналу
(
инвертируется
).
ЛАЧХ
колебательного
звена
(
рис
. 8.8,
е
)
описывается
зависимостью
:
2
2 2
2
2 2
( ) 20lg 20lg 1 4L k
q q
ω ω
ω ξ
= − − −
.
Результаты
временного
и
частотного
анализа
звеньев
2-
го
порядка
по
-
зволяют
выделить
некоторые
особенности
этих
позиционных
звеньев
.
Так
,
они
являются
устойчивыми
,
т
.
е
.,
будучи
выведенными
из
равновесия
,
стремятся
вновь
его
восстановить
.
В
случае
апериодического
звена
это
восстановление
происходит
без
инерционного
заброса
за
уровень
устано
-
вившегося
режима
(
равного
k),
т
.
е
.
монотонно
;
в
случае
же
колебательного
звена
восстановление
сопровождается
колебаниями
.
В
обоих
случаях
зна
-
чения
выходных
координат
отличаются
от
своих
первоначальных
значе
-
ний
.
Это
обстоятельство
обуславливает
возникновение
статических
(
пози
-
ционных
)
ошибок
,
зависящих
от
величины
входного
воздействия
и
яв
-
ляющихся
откликом
на
него
.
–62–
8.5. Дифференцирующие звенья
К
числу
дифференцируемых
звеньев
относятся
звенья
,
у
которых
вы
-
ходная
координата
зависит
от
скорости
изменения
входного
параметра
.
На
рис
. 8.10
приведены
две
электрических
схемы
,
в
которых
напряжения
на
входе
и
выходе
связаны
такой
зависимостью
.
•
Для
первой
схемы
имеем
:
1
1 1
вых
вх
U
R RCp Tp
U RCp Tp
R
Cp
= = =
+ +
+
,
где
:
T RC
=
.
•
для
второй
схемы
,
1
1
вых
вх
L
p
U Lp Tp
R
L
U R Lp Tp
p
R
= = =
+ +
+
где
:
L
T
R
= .
В
общем
виде
уравнение
динамики
реального
дифференцирующего
звена
имеет
вид
:
( 1)
вых вх
Ts x ksx
+ =
.
Временная
характеристика
,
представляющая
собой
переходную
функцию
(
рис
. 8.11),
описывается
уравнением
: ( )
t
T
k
h t e
T
−
=
.
Частотные
характеристики
(
рис
. 8.12)
находятся
из
передаточ
-
L
R
R
C
U
вх
U
вых
U
вых
U
вх
Рис. 8.10. Дифференцирующие электрические схемы
а
)
б
)
Рис. 8.11. Переходная функция
реального дифференцирующего звена
k
T
k
T e
⋅
T
t
h
(
t
)
–63–
ной
функции
( )
1
ks
W s
Ts
=
+
путем
замены
переменной
s
на
j
ω
.
Тогда
,
амплитудно
-
фазовая
характеристика
(
рис
. 8.12,
а
)
описывается
уравнением
:
2
2 2
( )
1 1
kj T k T jk
W j
j T T
ω ω ω
ω
ω ω
+
= =
+ +
.
Амплитудно
-
частотная
характеристика
(
рис
. 8.12,
г
):
2 2
( )
1
k
A
T
ω
ω
ω
=
+
.
Фазо
-
частотная
характеристика
(
рис
. 8.12,
д
):
1
arctg
T
ω
Ψ =
.
Логарифмическая
амплитудно
-
частотная
характеристика
(
рис
. 8.12,
е
)
строится
согласно
уравнению
:
2 2
( ) 20lg 20lg 20lg 1
L k T
ω ω ω
= + − +
Изменение
частоты
в
диапазоне
1/
T
ω
<
позволяет
упростить
расчет
-
ное
уравнение
до
вида
:
+
jIm(
ω
)
Re(ω)
Re(ω)
Im(ω)
ω
ω
0
0
0
A(ω)
Ψ(ω)
ω
0
9
0
ω
ω
=1/
Т
ω
=1/
Т
ω
=1/
Т
ω
=1/
Т
ω
ср
45
0
ω
=1/
Т
1
а
)
б
)
в
)
г
)
д
)
Рис. 8.12. Частотные характеристики реального
дифференцирующего звена:
а
– АФХ;
б
– ВЧПФ;
в
– МЧПФ;
г
– АЧХ;
д
– ФЧХ;
е
– ЛАЧХ
L(ω)
20lgk
/T
0
ω
ω
=1/
Т
ω
ср
=1/
k
е
)
( )
а
ВЧ
L
ω
( )
а
НЧ
L
ω
1
0
k T
k T
0.5
k T
k T
0.707
k T
–64–
( ) 20lg 20lg
L k
ω ω
= +
,
ЛАЧХ
реального
дифференциатора
представляет
собой
прямую
с
по
-
ложительным
наклоном
в
20
дБ
/
дек
,
при
частоте
среза
1
ср
k
ω
= .
Если
частота
меняется
в
пределах
1/
T
ω
>
,
то
( ) 20lg
k
L
T
ω
= –
прямая
с
нулевым
наклоном
.
Анализ
временных
и
частотных
характеристик
реального
дифферен
-
цирующего
звена
подтверждает
важнейшую
особенность
этого
типа
звень
-
ев
–
способность
реагировать
на
скорость
изменения
выходного
параметра
.
Такие
звенья
в
настоящее
время
получили
широкое
распространение
при
создании
самонастраивающихся
систем
регулирования
,
систем
,
в
которых
поддерживаются
экстремальные
значения
контролируемого
параметра
.
Равенство
нулю
скорости
изменения
регулируемой
координаты
в
точ
-
ках
максимума
и
минимума
целевой
функции
позволяет
осуществить
про
-
цесс
регулирования
,
если
даже
неизвестны
вид
,
форма
и
описание
этой
функции
.
8.6. Реальное интегрирующее звено (объект)
Реальные
интегрирующие
звенья
(
одноемкостные
астатические
объ
-
екты
)
относятся
к
тем
звеньям
,
у
которых
отсутствует
какая
-
либо
связь
между
входными
и
выходными
координатами
,
т
.
е
.
у
них
нет
статических
характеристик
.
В
качестве
примера
одноемкостного
астатического
объекта
можно
представить
емкость
,
в
которую
через
одну
трубу
наливается
жид
-
кость
,
а
через
другую
–
выливается
.
Динамика
таких
объектов
описывается
уравнением
:
1
( 1)
вых вх
и
Tp x
х
Т
+ = ,
–65–
где
:
Т
–
постоянная
времени
реального
интегрирующего
звена
,
характери
-
зующая
его
инерционность
;
Т
и
–
время
разгона
(
время
интегрирования
),
характеризующее
емкость
объекта
; 1/
Т
и
–
скорость
разгона
–
установив
-
шаяся
скорость
изменения
регулируемой
координаты
.
Решение
уравнения
динамики
имеет
вид
:
(
)
1
( ) 1
t
T
и
h t t T e
T
−
= − −
.
Весовая
функция
:
( ) ( )
(
)
1 1
1
t t
T T
и и и и
T T
w t h t t e e
T T T T
− −
′
′
= = − + = −
.
Постоянные коэффициенты уравнений динамики и временной харак-
теристики Т и Т
и
определяются как:
1
0 ,
и
A T tg
T
α
= =
.
Передаточная функция имеет вид:
1
( )
(1 )
и
W s
sT sT
=
+
.
Следовательно, частотная передаточная функция находится как:
( )
( )
(
)
( )
2
2 2 2 2
1
1
1
и и
и
и
TT j T
W j
j T j T
T T
ω ω
ω
ω ω
ω ω
− + −
= =
+
+
,
откуда, в свою очередь, уравнениями АЧХ и ФЧХ будут:
h
(t)
t
0
T
w
(t)
t
0
1
/T
и
T
Рис
. 8.13.
Временные
характеристики
реального
интегрирующего
звена
:
а
–
переходная
характеристика
;
б
–
весовая
функция
а
)
б
)
tg
α
=1/T
и
α
А
–66–
( )
2 2
1
1
и
A
T T
ω
ω ω
=
+
;
1
arctg
T
ω
Ψ =
.
На рис. 8.14 приведены частотные характеристики одноемкостного
астатического объекта.
Расчетным уравнением логарифмической амплитудно-частотной ха-
рактеристики является уравнение вида:
2 2
1
( ) 20lg 20lg 20lg 1 .
и
L T
T
ω ω ω
= − − +
При изменении частоты, как это показано на рис. 8.14, е в пределах
0 1
T
ω
≤ ≤
расчетное уравнение упрощается.
1
( ) 20lg 20lg
и
L
T
ω ω
= − ,
откуда частота среза
1
ср и
T
ω
=
.
Если частота меняется в интервале 1 T
ω
< <∞
, то:
2
1 1
( ) 20lg 20lg ,
ср
и и
L
TT TT
ω ω ω
= − = .
+
jIm(
ω
)
Re(ω)
Re(ω)
Im(ω)
ω
ω
0
0
0
A(ω)
Ψ(ω)
ω
0
0
ω
-90
-180
а
)
б
)
в
)
г
)
д
)
Рис
. 8.14.
Частотные
характеристики
реального
интегрирующего
звена
:
а
–
АФХ
;
б
–
ВЧПФ
;
в
–
МЧПФ
;
г
–
АЧХ
;
д
–
ФЧХ
;
е
–
ЛАЧХ
L(ω)
0
ω
е
)
и
T T
−
1
2
1
T
1
и
T
1
u
TT
–67–
8.7. Объект с чистым или транспортным запаздыванием
Зачастую это ковшовые и ленточные транспортеры, пневмопроводы
значительной протяженности, т.е. объекты, у которых выходная координа-
та точно копирует входную, но с отставанием во времени. Груз, переме-
щаемый транспортером с одного места в другое в течение определенного
отрезка времени без изменения массы.
Временная характеристика такого объекта
показана на рис. 8.15 и описывается уравнением:
(
)
(
)
(
)
1
вых
x t h t t
τ
= = −
,
где
(
)
0 при 0
h t t
τ
= ≤ <
.
Передаточная функция такого объекта име-
ет вид:
(
)
s
W s e
τ
−
= .
Поэтому, частотные характеристики (рис. 8.16) будут описываться
уравнениями:
АФХ
(
)
j
W j e
ωτ
ω
−
= ,
АЧХ
(
)
1
A
ω
=
,
ФЧХ
(
)
ω ωτ
Ψ = −
.
Логарифмическая ам-
плитудно-частотная харак-
теристика будет совпадать
с осью частот, так как
(
)
20lg1 0
L
ω
= =
.
(
)
ω
Ψ
(
)
L
ω
(
)
A
ω
ω
ω
ω
(
)
Re
ω
(
)
Im
ω
0
1
0
ω
=
0
0
0
1
Рис
. 8.16.
Частотные
характеристики
объекта
с
чистым
запаздыванием
:
а
–
АФХ
;
б
–
АЧХ
;
в
–
ФЧХ
;
г
–
ЛАЧХ
а
)
б
)
г
)
в
)
t
вх
x
0
Рис
. 8.15.
Временные
характеристики
объекта
с
чистым
запаздыванием
1
t
вых
x
0
1
t
t
τ
τ
t
τ
−
–68–
8.8. Неминимально-фазовые звенья
Линейная система может содержать неминимально-фазовые звенья,
передаточные функции которых имеют положительные нули или полюсы.
Неминимально-фазовое или минимально-фазовое звенья с одинаковыми
амплитудно-частотными характеристиками имеют различные фазо-
частотные характеристики. Это обстоятельство и необходимо учитывать
при построении логарифмических частотных характеристик цепи с неми-
нимально-фазовыми звеньями.
Основные сведения об элементарных неминимально-фазовых звеньях
даны в табл. Для каждого звена показано, в частности, расположение ФЧХ
относительно его сопрягающей частоты. У неминимально-фазовых звеньев
те же ЛАЧХ, что и у звеньев, передаточные функции которых отличаются
отсутствием отрицательных знаков.
Таблица 8 – Элементарные неминимально-фазовые звенья (0<ξ<1; 0<ζ<1)
Передаточная
функция
W
Фазо
-
частотная
характеристика
Ψ
Логарифмическая
фазо
-
частотная
характеристика
1
s
τ
−
(
)
180 arctg
τω
°−
1
s
τ
−
(
)
arctg
τω
−
2 2
2 1
s s
τ ζτ
− +
2 2
2
1
arctg
ζτω
τ ω
−
−
2 2
2 1
s s
τ ζτ
− + −
2 2
2
180
1
arctg
ζτω
τ ω
°−
−
,
град
Ψ
1
τ
ω
0
90
180
,
град
Ψ
1
τ
ω
0
90
180
,
град
Ψ
1
τ
ω
0
90
,
град
Ψ
1
τ
ω
0
90
180
–69–
Таблица 8 (продолжение)
1
1
Ts
−
(
)
180
arctg T
ω
− °+
1
1
Ts
−
(
)
arctg T
ω
2 2
1
2 1
T s s
ξτ
− +
2 2
2
1
T
arctg
T
ξ ω
ω
−
2 2
1
2 1
T s s
ξτ
− + −
2 2
2
180
1
T
arctg
T
ξ ω
ω
− °+
−
Некоторые полиномы второго порядка с корнем, имеющим положи-
тельную вещественную часть, могут быть разложены на произведение по-
линомов первой степени:
(
)
(
)
( )( )
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1 1 1 ;
2 1 1 1 ,
T s s Ts T s
T s s Ts T s
α
α
+ − = + −
− − + = − + −
где
(
)
(
)
2 2
1 2
0 1; 1 и 1T T T T
α α α α α
< < = + − = + +
.
(
)
(
)
( )( )
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1 1 1 ;
2 1 1 1 ,
T s s T s T s
T s s T s T s
α
α
− − = + −
− + + = − + −
где
(
)
(
)
2 2
1 2
0 1; 1 1 и 1 1
T T T T
α α α
< < = + + = + −
.
Следовательно, неминимально-фазовое звено, ПФ которого содержит
какой-либо из перечисленных полиномов, следует рассматривать как по-
следовательное соединение двух звеньев первого порядка, лишь одно из
которых неминимально-фазовое.
,
град
Ψ
1
T
ω
0
90
180
,
град
Ψ
1
T
ω
0
90
,
град
Ψ
1
T
ω
0
90
180
,
град
Ψ
ω
0
90
180
1
T
–70–
8.9. Звенья, формирующие законы регулирования
8.9.1. Пропорционально-интегрирующее звено
8.9.1.1.
Идеальное
ПИ
-
звено
(
идеальный
изодром
)
Реализацию пропорционально-интегрального закона (ПИ-закона) ре-
гулирования проследим на работе шестикамерного пневмоблока. Как вид-
но из рис. 8.17, условием равновесия общей оси мембран будет равенство
нулю давлений:
1
0
вх зад вых
P P P P P
= − + − =
∑
Так как
(
)
1
1
вых u
P T s P
= +
,
вх зад рас
P P P
− =
то:
0
1
вых
рас вых
u
P
P P
T s
− + =
+
.
Откуда:
1
1
1
u
вых рас рас
u u
T s
P P P
T s T s
+
= = +
.
Тот же результат можно получить при рассмотрении блок-схемы это-
го устройства:
( )
1 1
1
1
u
W s
W T s
= = +
−
.
Переходная функция рассматриваемого ПИ-звена находится путем
решения его уравнения динамики:
1
u
вых вх
u
T s
x k x
T s
+
= ,
1
1
вых вх
u
x k x
T s
= +
Результатом решения является уравнение вида:
V
+
–
+
–
P
вых
P
вх
P
зад
P
1
P
рас
P
вых
P
1
+
+
Рис
. 8.17.
Пропорционально
-
интегрирующее
звено
:
а –
принципиальная
схема
; б –
блок
-
схема
б
)
1
u
T s
k
1
x
вх
x
вых
≡
а
)