Фёдоров А.Ф., Кузьменко Е.А. Системы управления химико-технологическими процессами: учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

Приравнивая нулю производные, получим уравнение статики

0,зд0

yky

⋅

. (8.122)

Система называется устойчивой, если после снятия возмуще-

ния она возвращается в равновесное состояние.

Если система неустойчивая, то после снятия возмущения она

удаляется от состояния равновесия.

Устойчивость системы определяется её внутренними свойст-

вами

, которые описываются уравнением свободного движения (одно-

родное дифференциальное уравнение). Поэтому для исследования ус-

тойчивости системы, например (8.121), необходимо воспользоваться

уравнением

0)(

)()()(

=τ+

T . (8.123)

Для исследования устойчивости линейной системы n-го порядка

необходимо использовать однородное дифференциальное уравнение

0)(

)()()(

=τ+

 , (8.124)

решение которого имеет вид

∑

=τ

ecy

св

)(

, (8.125)

где

c – постоянные интегрирования;

p – корни характеристического

уравнения

=+++ apapa

 . (8.126)

Необходимым условием устойчивости линейной системы явля-

ется требование:

все коэффициенты характеристического уравнения

должны быть положительными

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной

системы является требование:

все корни характеристического уравне-

ния должны быть отрицательными

. Тогда все слагаемые свободного

движения системы с течением времени будут стремиться к нулю:

∑

==τ

ecy

0lim)(lim при

∞

→

. (8.127)

Корни характеристического уравнения могут быть вещественные

положительные и отрицательные (

), комплексные сопряженные

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

с положительной и отрицательной вещественной частью ( ω±α± i ),

чисто мнимые (

) и нулевые.

Каждый вещественный корень (

) дает слагаемое в реше-

нии (8.125):

=τ

ecy

)(.

Если вещественный корень

p α−=

, то сла-

гаемое с течением времени будет стремиться

к нулю (рис. 8.44, кривая 1). Если все веществен-

ные корни будут отрицательными, то все слагае-

мые свободного движения [)(

св

y ] с течением

времени будут стремиться к нулю, а система бу-

дет устойчива, так как выполняется условие

(8.127). Если хотя бы один вещественный корень окажется положи-

тельным

p α+= , то соответствующее слагаемое с течением времени

будет увеличиваться по модулю (рис. 8.44, кривая 2), тогда условие

(8.127) выполняться не будет и система будет неустойчивой.

Каждая пара комплексных сопряженных корней (

iii

ip ω±α−=

)

в решении (8.125) дает слагаемое

)sin()(

iiii

ecy ϕ+τω=τ

−

представляющее собой колебательную составляющую с убывающей во

времени амплитудой (рис. 8.45), поэтому с течением времени амплиту-

да колебаний будет стремиться к нулю. Если все комплексные сопря-

женные корни будут иметь отрицательную вещественную часть, то сис-

тема будет устойчивая. Если хотя бы одна пара комплексных сопря-

женных корней будет иметь положительную вещественную часть, то

амп

литуда этого слагаемого свободного движения с течением времени

будет расти и система будет неустойчивой (рис. 8.46).

Если среди всех корней характеристического уравнения имеется

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

один корень нулевой 0=

p , то в решении появится слагаемое

cy =τ)(

, то есть появляется постоянная составляющая, и стабилизация

свободного движения происходит не на нулевом уровне (см. рис. 8.44,

прямая 3). В этом случае система называется

нейтрально-устойчивой.

Если среди корней характеристического уравнения имеется одна

пара чисто мнимых корней (

), то в решении появляется перио-

дическая составляющая

)sin()(

iiii

и система (рис. 8.47) после затухания других составляющих перейдет

в режим незатухающих гармонических колебаний с частотой

ω . Гово-

рят, что такая система находится на

границе устойчивости. При не-

больших изменениях свойств любого элемента системы она может

стать устойчивой или неустойчивой.

Таким образом, если будут найдены все

корни характеристического уравнения, то

легко можно сделать вывод об устойчивости

системы. Однако отсутствуют аналитические

методы нахождения корней характеристиче-

ского уравнения выше второго порядка, что

заставило искать косвенные методы оценки

устойчивости

замкнутых систем без р

ешения

уравнений. Это возможно сделать с помощью

критериев устойчиво-

сти

. Впервые критерий устойчивости был сформулирован русским

ученым И. А. Вышнеградским для линейных систем третьего порядка.

В этом случае характеристическое уравнение системы имеет вид

=+++ apapapa .

Линейная система третьего порядка будет устойчива, если все

коэффициенты характеристического уравнения положительные

и произведение средних коэффициентов характеристического урав-

нения будет больше произведения крайних коэффициентов:

. (8.128)

Для систем произвольного порядка, не содержащих звенья чистого

запаздывания, используется критерий устойчивости, предложенный ма-

тематиком Гурвицем по просьбе словацкого ученого А. Стодолы. Не-

сколько позже русским ученым А. В. Михайловым был разработан час-

тотный критерий устойчивости, который после усовершенствования

стало возможно использовать для анализа устойчивости систем произ-

вольного порядка,

содержащих звенья чистого запаздывания. Этот кри-

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

терий позволил не только анализировать устойчивость систем, но и ре-

шать задачи синтеза систем с заданными свойствами.

Обеспечение устойчивости линейных систем не является доста-

точным условием для обеспечения их работоспособности, так как ана-

лиз устойчивости ведется по приближенным математическим моделям

и динамические свойства отдельных элементов в процессе эксплуата-

ции могут изменяться, как пр

авило, в сторону ухудшения, поэтому сис-

тема должна обладать достаточным

запасом устойчивости, или, дру-

гими словами, система должна находиться достаточно далеко от грани-

цы устойчивости. Для оценки запаса устойчивости линейных систем по

аналогии с колебательным звеном второго порядка вводятся понятия

степени колебательности m (8.69) и связанной с ней степени зату-

хания

ψ (8.68). Предполагается, что колебательная система произволь-

ного порядка ведет себя подобно колебательной системе второго по-

рядка. Практика подтверждает такое предположение.

Реальные системы работают в сложных условиях, когда на них

действуют управляющие и возмущающие воздействия произвольной

формы, которые сложно воспроизвести на приближенных моделях. По-

этому расчет АСР и

анализ качества процессов регулирования произ-

водится при типовых воздействиях. Наиболее часто используется еди-

ничное ступенчатое воздействие. Тогда качество процесса регулирова-

ния оценивается следующими точечными оценками (рис. 8.48).

Динамическая ошибка

, или максимальное от-

клонение параметра от ус-

тановившегося значения,

должна быть минимальной.

Максимальное значение

определяется технологиче-

ским регламентом.

Степень затухания

д2д

/)( ААА −=ψ обычно задается в интервале от 0,75 до 0,95, в зави-

симости от особенностей технологического процесса. При больших

степенях затухания имеет место большая динамическая ошибка.

Время регулирования

, или длительность переходного процесса,

определяется временем, по истечении которого отклонение регулируе-

мой величины от нового установившегося значения будет меньше неко-

торой наперед заданной величины

: Δ≤−τ 1)(

h – для процесса ре-

гулирования по каналу управления (см. рис. 8.48, а) и

вв

)( Δ≤τh – для

процесса регулирования по каналу возмущения (см. рис. 8.48, б). Жела-

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

тельно иметь минимальное время регулирования. При этом необходимо

учитывать такой факт, что при уменьшении времени регулирования

увеличивается динамическая ошибка.

Используются и обобщенные показатели качества переходного

процесса, учитывающие одновременно величину динамической ошибки

и времени регулирования –

интегральные критерии качества. Это

площадь под графиком переходного процесса, определяемая интегра-

лом от его модуля:

min)(

вмод

→ττ=

∫

∞

dhI . (8.129)

Вместо этой интегральной оценки можно использовать интеграль-

ный квадратичный критерий

min)(

вкв

→ττ=

∫

∞

dhI

. (8.130)

Расчет параметров настройки регулятора, соответствующих мини-

муму интегральной оценки, производят при ограничениях, наложенных

требованиями технологического регламента на переходный процесс.

В замкнутых АСР все элементы оказывают определенное влияние

на свойства системы – устойчивость и качество переходных процессов.

Наибольшее влияние оказывают свойства объекта регулирования. На-

пример,

емкость объекта влияет на выбор типа регулятора. Чем боль-

ше емкость, тем меньше скорость изменения регулируемой величины,

тем меньшее воздействие должен иметь регулятор, и наоборот.

Свойство самовыравнивания объекта способствует повышению

устойчивости системы и действует аналогично действию автоматиче-

ского регулятора. Если объект не обладает свойством самовыравнива-

ния, то задача управления значительно усложняется. В этом случае

нельзя применять интегральные регуляторы.

Наличие запаздывания в объекте всегда ухудшает качество пере-

ходного процесса, поэтому нужно использовать любые способы, особенно

на стадии проектирования объекта, для уменьшения запаздывания.

Как правило, автоматические системы регулирования разрабаты-

ваются еще на стадии проектирования. Используя сведения об аппара-

турном оформлении объекта регулирования и реализуемом технологи-

ческом процессе, в том числе из действующих аналогичных или родст-

венных производст

в, выбираются технологические параметры, стабили-

зация которых позволит получить продукт заданного количества и ка-

чества. Если отсутствуют первичные преобразователи для получения

текущей информации о параметре или существующие приборы имеют

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

большое запаздывание при получении информации, то выбирают кос-

венные параметры, стабилизация которых обеспечит стабилизацию ос-

новного параметра на заданном уровне. Например, скорость химиче-

ской реакции и концентрация продукта зависят от температуры в реак-

торе. Во многих случаях продукт заданного качества можно получить

путем стабилизации температуры в реакторе.

Далее изучается возможность наиболее эффективного воздействии

на регулируемый параметр, то есть вы

бирается регулирующее воздей-

ствие. Эти проблемы будут решаться ниже, при изучении АСР типовых

технологических процессов.

Все другие воздействия на процесс стараются стабилизировать пу-

тем создания соответствующих АСР. Если этого сделать нельзя, то воз-

действие относится к возмущающему. Влияние возмущений компенси-

руется АСР регулируемых

параметров процесса.

Следующий этап со

здания АСР предусматривает выбор закона ре-

гулирования, обеспечивающего заданное качество процесса регулиро-

вания в соответствии с требованиями технологического регламента. Как

правило, эти требования носят конкретный характер, начиная с типа

переходного процесса: апериодический; колебательный с заданным за-

пасом устойчивости; с минимальным значением квадратичного инте-

грального критерия. Необходимо выбрать тип си

стемы: с позиционным

регулятором; с регулятором непрерывного действия; одноконтурная

или многоконтурная система регулирования. Для химической промыш-

ленности характерно использование регуляторов непрерывного дейст-

вия в одноконтурных и многоконтурных системах.

Заданное качество процесса регулирования можно обеспечить, ис-

пользуя различные законы регулирования и стандартные рекомендации

по их использованию. Решить такую задачу можно

последовательным

расч

етом и анализом одноконтурных систем, начиная с простейших ва-

риантов:

1. Выполняется расчет параметра настройки П-регулятора, строит-

ся переходный процесс и анализируется его качество. Если требования

технологического регламента выполняются, то задача выбора закона

регулирования может считаться решенной. В противном случае выпол-

няется вторая итерация.

2. Выполняется расчет параметров настройки ПИ

-регулятора, стр

о-

ится переходный процесс и анализируется его качество. Если требова-

ния технологического регламента выполняются, то задача выбора зако-

на регулирования может считаться решенной. В противном случае вы-

полняется третья итерация.

3. Выполняется расчет параметров настройки ПИД-регулятора,

строится переходный процесс и анализируется его качество. Если тре-

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

бования технологического регламента вы-

полняются, то задача выбора закона регу-

лирования может считаться решенной. В

противном случае выполняется четвертая

итерация.

4. На основе выполнения трех преды-

дущих итераций делается вывод о невоз-

можности выполнения требований техно-

логического регламента процесса с помощью одноконтурной системы.

Ставится и решается задача построения неодноконтурной системы ре-

гулирования и выбора закон

а регулирования в каждом контуре или ис-

пользования регулятором дополнительной информации о промежуточ-

ном параметре и о внешнем возмущении. Выполняются аналогичные

предыдущим итерации до тех пор, пока не будут выполнены требова-

ния технологического регламента.

Наиболее сложная проблема заключается в

расчете оптимальных

параметров настройки регуляторов

. К настоящему времени разрабо-

тано большое количество методов, основанных на использовании орга-

низованного поиска, расчетных формул и графиков, с помощью методов

оптимизации и т. д. Для упрощения расчетов созданы пакеты приклад-

ных программ, позволяющие автоматизировать процедуры расчета па-

раметров настройки, построения переходных процессов в одноконтур-

ных и неодноконтурных АСР, анализа качества переходного процесса и

т. д.

Наиболее просты в применении расч

етные формулы и графики.

Рассмотрим в качестве примера один из вариантов.

Динамические свойства объекта регулирования с самовыравнива-

нием представляются в виде дифференциального уравнения первого

порядка с запаздывающим аргументом:

)()(

)(

τ−τ⋅=τ+

xky

T ,

где

– постоянная времени;

– коэффициент усиления;

τ – время

запаздывания.

Параметры модели

Tk находят в результате аппроксимации пе-

реходной функции решением дифференциального уравнения первого по-

рядка с запаздывающим аргументом (см. рис. 8.49). Для этого проводят

касательную через точку перегиба переходной функции до пересечения

с осью абсцисс и установившимся значением переходной функции.

Только три параметра модели определяют свойства объекта. Это

позволяет по экспериментально построенным

формулам р

ассчитывать

параметры настройки регулятора одноконтурной АСР:

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

для П-регулятора

7,0

k ;

для ПИ-регулятора

7,0

k ; TT 3,0

0и

;

для ПИД-регулятора

1,1

k ;

0и

T ;

0д

4,0 τ

T .

В результате расчета получим параметры настройки регулятора,

обеспечивающие близкий к заданному запас устойчивости одноконтур-

ной системы

9,0

ψ . Проверка результатов расчета производится пу-

тем построения переходного процесса в системе с помощью ПЭВМ.

При необходимости параметры настройки корректируются, полагая,

что полученные в результате расчета значения находятся в околоопти-

мальной области.

Для решения задачи четвертой итерации следует сначала проана-

лизировать структуру объекта, выбрать и построить

неодноконтурную

систему регулирования или систему с использованием дополни-

тельной информации.

Одноконтурные АСР не могут удовлетворить

требованиям технологического регламента в тех случаях, когда объект

обладает большим запаздыванием и большой инерционностью. Тогда в

регулятор вводится дополнительная информация о возмущениях или об

изменении специально подобранных величин.

Каскадные системы применяются для регулирования инерцион-

ных объектов с запаздыванием по каналу регулирования, если имеется

возможность выбрать дополнительную, менее инерционную, промежу-

точную величину

(см. рис. 8.50), которую можно стабилизировать

основным регулирующим воздействием. Основной (корректирующий)

регулятор

)(

предназначен для поддержания основного парамет-

ра y на заданном значении. Его выходной сигнал

x служит заданием

для вспомогательного (стабилизирующего) регулятора )(

1р

pW , кото-

рый должен обеспечивать быстродействие вспомогательного контура

регулирования, за счет чего и достигается более высокое качество пере-

ходного процесса по сравнению с одноконтурной системой. Положи-

тельной стороной каскадных систем является тот факт, что в контурах

используются стандартные регуляторы. Наиболее часто в качестве ста-

билизирующего выбирают П-регулятор, а в

качестве корректирующего

выбирают ПИ- ил

и ПИД-регулятор. В случае необходимости число кон-

туров регулирования может быть увеличено до трех.

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

Рис. 8.50. Структурная схема каскадной АСР

В системах

с компенсацией возмущений (рис. 8.51) повышение

качества процесса регулирования достигается за счет использования

информации о внешнем возмущении.

Из множества внешних возмущений выбирается возмущение

x ,

наиболее сильно влияющее на качество переходного процесса. Это воз-

мущение измеряется с помощью первичного преобразователя и переда-

ется на динамическое устройство – компенсатор )(

pW , формирующее

воздействие

x с учетом динамических свойств одноконтурной системы

и объекта по каналу возмущения )(

ов

pW . Таким образом корректируется

с упреждением во времени задание регулятору

)(

, чтобы компенси-

ровать влияние возмущения на

регулируемый параметр y , не

дожидаясь его изменения. Сте-

пень компенсации влияния

возмущения зависит от воз-

можности физической реализа-

ции динамической структуры

компенсатора, определяемой из

условия неполной инвариант-

ности

выходного сигнала от-

носительно возмущения.

Как правило, идеальный компенсатор реализовать не удается из-за

невозможности выполнения условия физической реализуемости. Обыч-

но в качестве компенсаторов используют типовые звенья (апериодиче-

ское первого порядка и реальное дифференцирующее) или их комбина-

цию, поэтому при использовании реального компенсатора достигается

частичная компенсация влияния возмущения, приводящая к улучшению

кач

ества переходного процесса.

Для улучшения качества процесса регулирования объектов с

распределенными параметрами в регулятор вводится дополнительная

информация о скорости изменения промежуточного параметра –

АСР

с вводом сигнала по производной от промежуточной величины.

Федоров А.Ф.,Кузьменко Е.А.«Системы управления

химико-технологическими процессами»,

пособие, 2009 г

Правильно выбранный сигнал из промежуточной точки

y таких

объектов обладает меньшей инерционностью, чем на выходе y . Чтобы

обеспечить равенство выходной величины и задания в установившемся

режиме, дополнительный сигнал

(рис. 8.52) в установившемся режиме

должен быть равным нулю.

Для этого промежуточный

сигнал

y пропускается через

реальное дифференцирующее

звено

)(

pW , и то-

гда сигнал

x существует

только при изменении пара-

метра

y .

Системы связанного

регулирования

используются

для стабилизации выходных

параметров объектов с взаи-

мосвязанными параметрами

(рис. 8.53). Если перекрест-

ные связи между параметра-

ми слабые и ими можно пре-

небречь [

0)(

≈

pW и

0)(

≈pW ], то строятся две

независимые одноконтурные

системы регулирования вы-

ходных параметров

y и

y .

При наличии существенных перекрестных связей параметров объекта

добиться устойчивой работы независимых систем невозможно, так как

при выходе из равновесия одной системы приходит в движение вторая

система, которая будет воздействовать на первую, и т. д. Говорят, что

системы раскачивают друг друга, делая их неустойчивыми.

Проблема решается с помощью

условий автономности и физиче-

ской реализуемости

. Они дают возможность построить и реализовать

динамическую структуру дополнительных устройств )(

12д

pW и )(

21д

так, чтобы можно было компенсировать влияние перекрестных связей

параметров объекта, что сделало бы одноконтурные АСР независимыми.

Использование в качестве дополнительных устройств типовых звеньев

ограничивает возможность выполнения условий автономности, поэтому

полной независимости контуров регулирования добиться не удается, но