Фастовец Н.О.,Тюлина А.К. Дифференциальные уравнения
Подождите немного. Документ загружается.
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА
имени И. М. Губкина
Кафедра высшей математики
Н. О. Фастовец, А. К. Тюлина
Дифференциальные уравнения, теория
функций комплексного переменного, ряды
Фурье
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ К ПРАКТИЧЕСКИМ
ЗАНЯТИЯМ
для факультета АиВТ (третий семестр)
Москва 2007
2
Н. О. Фастовец, А. К. Тюлина
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕИЯ,
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ ФУРЬЕ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ К ПРАКТИЧЕСКИМ
ЗАНЯТИЯМ
для факультета АиВТ (третий семестр)
Допущено Учебно-методическим объ-
единением по высшему нефтегазовому об-
разованию в качестве учебного пособия для
студентов вузов нефтегазового профиля
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина
Москва 2007
3
УДК 517.9:516:512.8:622.27
Ф 26
Фастовец Н.О., Тюлина А.К.
Дифференциальные уравнения, теория функций комплексного переменного, ряды
Фурье: методические разработки к практическим занятиям для факультета АиВТ (тре-
тий семестр). − М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2007. − 47с.
Пособие продолжает серию учебно-методических изданий по курсу выс-
шей математики. Оно представляет собой примерное содержание практических
занятий по высшей математике, проводимых в третьем семестре на факультете
АиВТ и снабжено минимумом необходимых теоретических данных и методи-
ческих указаний, позволяющим использовать пособие для самостоятельной ра-
боты.
Пособие предназначено для студентов факультета АиВТ
, а также может
использоваться студентами всех специальностей нефтегазового образования,
магистрантами, аспирантами, занимающихся исследованиями, связанными с
применениями математических методов. Издание подготовлено на кафедре
высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.
© Фастовец Н.О.,
Тюлина А.К., 2005
© Издательство «Нефть и газ»
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2007
Данное пособие представляет собой краткое содержание практических
занятий по высшей математике, проведенных в осеннем семестре 2003/2004
учебного года на втором курсе факультета АиВТ. Разбиение пособия на 15
частей соответствует 16 занятиям, проводимым по этим темам в семестре (на
контрольные условно мы отвели 16-е занятие). Как и на практических заня-
тиях, перед началом
каждой новой темы приводятся наиболее важные теоре-
тические факты и формулы, необходимые для решения последующих упраж-
нений. Эти теоретические данные не претендуют на полноту и не имеют сво-
ей целью заменить подготовку по теории, которую студенты должны прово-
дить по материалам лекционного курса или теоретическим пособиям, а слу-
жат лишь
напоминанием. Так же не ставилась цель снабдить все задания ре-
шениями. Решения приводятся лишь в тех случаях, где это показалось авто-
рам методически оправданным.
Может использоваться как преподавателями в качестве методической
разработки для проведения практических занятий, так и студентами для под-
готовки к практическим занятиям, а также лицами, самостоятельно изучаю-
щими предмет.
5
СОДЕРЖАНИЕ
1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Занятие 1……………………………………………………………….3
Занятие 2……………………………………………………………….5
2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Занятие 3……………………………………………………………….7
3. Метод неопределенных коэффициентов отыскания частного решения
y
∗
уравнения
()ypyqyfx
′′ ′
++=
(специальная правая часть)
Занятие 4…………………………………………………………… 11
4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Линейные однородные системы (n = 2)
Занятие 5……………………………………………………………...13
Исследование на устойчивость точки покоя системы двух линейных
однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Занятие 6……………………………………………………………...17
5. Теория функций комплексного переменного:
Основные элементарные функции комплексного переменного
Занятие 7……………………………………………………………...19
Производная функции комплексного переменного
Занятие 8……………………………………………………………...22
Интегрирование функций
комплексного переменного
Занятие 9……………………………………………………………...24
Ряд Лорана. Особые точки
Занятие 10………………………………………………………….....28
Вычеты
Занятие 11..…………………………………………………………...33
Применение ТФКП. Операционное исчисление
Занятие 12..…………………………………………………………...35
6. Разложение функций в ряд Фурье
Занятие 13..…………………………………………………………...40
Занятие 14..…………………………………………………………...42
7. Интеграл Фурье
Занятие 15..…………………………………………………………...43
6
Занятие 1
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
1º. Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид
() ()yFxGy
′
=⋅
.
1.1. Пример:
22
1
xyy y
′
+
= .
Решение. Разрешив уравнение относительно производной:
22
1y
y
x
y
−
′
=
,
разделим переменные:
2
22 2
1
,
1
dy y y dy dx
dx y
x
yx
−
==
−
и проинтегрируем обе части.
Общее решение в квадратурах имеет вид:
2
2
1
y
d
y
dx
y
x
=
−
∫
∫
. Найдя первообраз-
ные:
2
2
1
(1) 0,5(1)ln 1
11
ydy dy
ydy y y C
yy
=+ + = ++−+
−−
∫∫ ∫
;
2
2
1dx
C
x
x
=− +
∫
, окончательно имеем:
2
1
0,5( 1) ln 1
yy
C
x
+
+−=−+.
Решить следующие задачи:
1.2.
2
1
y
dx x
y
d
y
+= ;
1.3.
22
(1)2 0, (0)1xyxy y
′
−
+= =;
1.4.
ctg 2, (0) 1yxy y
′
+= =−;
2º. Однородные уравнения.
Дифференциальное уравнение (, )yfxy
′
=
называется однородным, если
(, ) ( , )
f
x
yf
x
y
λ
λ
= при любом допустимом 0
λ
≠
. Такие уравнения реша-
ются подстановкой
y
ux= , которая приводит их к уравнениям с разде-
ляющимися переменными.
2.1. Пример:
()
x
dy x y dx=+
.
7
Решение. приведем уравнение к виду
xy
y
x
+
′
= . Сделаем подстановку
y
ux= : имеем
yuxu
′′
=+
, поэтому уравнение примет вид
1
, 1,
xux
ux u ux u
x
x
+
′′′
+= = =
. Разделяя переменные и интегрируя, полу-
чаем
lnuxC=+ или ln
y
x
C
x
=+.
Решить следующие задачи:
2.2.
22
( )(2)
xy y
dx x x
y
d
y
−=− ;
2.3.
tg , (1)
2
y
xy y x y
x
′
−= =
π
;
2.4.
22
()2, (0)1xyy xyy
′
+
==.
Построить интегральную кривую.
3º. Линейные уравнения первого порядка.
Линейное уравнение первого порядка имеет вид: () ()() ()
y
xAx
y
xBx
′
+=. В
случае B(x)=0 уравнение называется однородным. И в этом случае
решается методом разделения переменных. Неоднородные линейные урав-
нения решаются подстановкой Бернулли
() ()()
y
xuxvx
=
, где v(x) – какое-
либо решение соответствующего однородного уравнения.
3.1. Пример:
2
y
y
x
x
′
−=
.
Решение.
, ,
y
uv
y
uv uv
′
′′
==+
2
uv
uv uv x
x
′′
+
−=, или
2
v
uv u v x
x
⎛⎞
′′
+−=
⎜⎟
⎝⎠
. Так как v(x) – решение соответствующего однородного
уравнения, то есть
0
v
v
x
′
−=
, то, найдя из этого уравнения v ( x), затем u ( x)
найдем из уравнения
2
uv x
′
= . Имеем:
, , , ln ln ,
v dv v dv dx
vvxvx
x
dx x v x
′
=
== ==
∫∫
.
8
Тогда
2
1
, , ln
ux x u u x C
x
′′
===+
. Ответ: (ln )
y
xxC
=
+ .
Решить следующие задачи:
3.2.
0
y
y
x
′
−
=
;
3.3. 4cos, (0)1yy xy
′
−= =;
3.4.
2
x
y
y
e
x
−
′
+=
.
Занятие 2
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА (продолжение)
1º.
Решить следующие задачи:
1.1.
2
10, (1)
2
dx x dy y
π
−− = =;
1.2.
2(1 ) , (0) 0
xx
eyy e y
′
+
==;
1.3.
() 0, (1)1xy x dy ydx y−+= =.
2º.
Решить следующие задачи, содержащие уравнения Бернулли, приве-
дением их к линейным или с помощью подстановки Бернулли:
2.1.
2
ln
xy y y
xx
′
+= ;
2.2.
2
42
x
yxyxe y
−
′
+=
; (0) 1y
=
.
3º.
Дополнительная задача.
Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного
отрезком касательной от точки касания до пересечения с осью абсцисс, от-
резком перпендикуляра из точки касания на ось абсцисс и отрезком оси абс-
цисс между этими двумя отрезками есть величина постоянная и равная
2
a .
9
Решение.
Пусть касательная отсекает треугольник в первом квадранте. Обозна-
чим точку касания буквой В.
1
()
2
ABC B C A
S
y
xx=⋅−
V
.
Уравнение касательной запишется в
виде
B
B
B
yy
y
xx
−
′
=
−
, поэтому
B
CACB
B
y
xxxx
y
−=−=−
′
и
2
1
2
B
ABC B
B
y
S
y
a
y
⎛⎞
=
⋅− =
⎜⎟
′
⎝⎠
V
, т. е.
22
1
2
y
a
y
′
−=
.
Разделим переменные
2
2
2
dy
adx
y
=
− , откуда после интегрирования получа-
ем
2
1
1
2
aCx
y
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
или
2
2()a
y
Cx
=
+ . Такой же результат будет, если
касательная отсекает треугольник в третьем квадранте. Если же касательная
отсекает треугольник во втором или четвертом квадратах, то получится
2
2()a
y
Cx=−, т. к. либо
0
B
y
<
, либо
0
CA
xx
−
<
. Окончательно получа-
ем
2
2()a
y
Cx=±.
4º.
Примеры для самостоятельного решения:
4.1.
(
)
(
)
2
22
121
x
yxy x
′
+=++;
4.2.
22
x
yy x y
′
−= −
;
4.3.
22
0; (1) 0yxydxxdy y
⎛⎞
++ −= =
⎜⎟
⎝⎠
;
4.4.
2
yy y xy
′
′
−= + ;
4.5.
(
)
3
313sin; (2)1dy y y xdx y
π
=− + = .
x
y
A
C
В
О
10
Занятие 3
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1º. Однородные линейные уравнения второго порядка с по-
стоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение: 0ypyqy
′
′′
+
+=. Решение ищем в виде
kx
y
e= .
Подставляя
, ,
yyy
′′′
в уравнение и сокращая на
kx
e , получаем характе-
ристическое уравнение:
2
0kpkq
+
+=.
В зависимости от того, являются ли корни его различными действитель-
ными, кратными или комплексными, общее решение имеет один из сле-
дующих видов.
если
12
kk≠ (два различных действительных корня):
12
12
kx kx
y
Ce C e=+;
если
12
kk= (корни действительные кратные):
11
12
kx kx
y
Ce C xe=+ ;
если корни комплексные:
1,2
kaib
=
± :
12
(cos sin)
ax
y
eC bxC bx=+.
Примеры:
1.1. 560yyy
′′ ′
−+=;
12
2; 3.kk
=
= Ответ: Общее решение
23
12
x
x
yCe Ce=+.
1.2.
4 3 0, (0) 1, (0) 2yyy y y
′′ ′ ′
−+= = =.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
2
12
430. 1; 3.kk k k−+= = = Тогда общее решение имеет вид, а частное на-
ходим из условий:
00
12 1 2 1 2
(0) 1, (0) 3 3 2.yCC y CeCeCC
′
=+ = = + =+ = Ре-