Дорожинський О.Л., Тукай Р. Фотограмметрія
Подождите немного. Документ загружается.
Одержимо тепер формули, що описують взаємозв'язок координат точок
знімка та місцевості в деяких окремих випадках.
Для горизонтального знімка а -ω
=
κ-0, тому матриця напрямних
косинусів є одиничною
Α
α
,ω,κ -
Ε''
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Тому формули (2.17) і (2.25) матимуть вигляд прил:
о
=0, у
0
= 0,
=
Ys
=
0
>
Z
s
= -Я :
ζ
Υ
S,
t y
X
κ
I
у
ν L·
A
\\v
Wo
rc
(η
N,
λ
\>γ\
So
/ /
х
=
y
=
—Y.
Η Η
(2.26)
(2.27)
Рис. 2.19. Зображення точок
на нахиленому на кут
<Х
0
знімку
Для нахиленого знімка на кут
а
0
в площині ΖΟΥ
(рис.
2.19)
а = κ =
0,
ω
=
α
0
.
Тому напрямні косинуси
матимуть вигляд:
а
х
= 1
а
2
=0 д
3
= 0
£j=0 b
2
= cosa
0
b^ = -sina
0
c
x
= 0 c
2
= sina
0
c
3
= cosa
0
.
Тоді (2.17) та (2.25) запишуться так:
Х
=
Н-
Y
=
H
x=f
fcosa
0
-ysina
0
f sin a
0
+ у cos a
0
(2.28)
fcosa
0
-ysina
0
X
Η cos
<x
Q
+ 7sina
0
(2.29)
_ Hsma
Q
+ 7cosa
0
У
Hcosa
Q
+
7sina
0
40
Ці формули отримані для випадку, коли початок координат на знімку
розташований у точці о, а на місцевості - у точці N (рис. 2.19).
Початок координат у точках надиру знімка η та місцевості N.
Оскільки on-- ftga
0
,
то
х
п
=
0, У
п
-~ ftg
a
0
· Виконаємо паралельне
перенесення початку координат і підставимо ці значення у (2.28); отримаємо
Х
=
Н-
fcosa
0
- Су- flga
0
)sinа
0
Y
=
H-
,
f sin a
0
+(у- ftgctp ) cos a
0
fcosa
Q
-
Су
- ftga
0
)sin a
Q
Після простих перетворень маємо
χ = Η
xcosccg ^
γ = Η
ysina,
(230)
/-ysina
0
cosa
0
f-ysina
0
cosa
G
Для (2.29) після перетворень одержимо
γ
x
=
f
y-f
#cosa
0
+7sina
0
(Hcosa
Q
+7sina
0
)cosa
0
(2.31)
Початок
координат у
точках нульових спотворень знімка
с та
місцевості
С.
(X сс
Оскільки ос = - fig—, тох
с
= 0, у
с
--fig—
2 2
та
NC
=
Htgх
с
=о, Y
c
=Htgf.
Після паралельного перенесення точки N в точку С і точки о у точку с
отримаємо
Х
=
Н-
f
-
yS[na
° (2.32)
Υ
=
Η -
f-ysina
0
41
y = f
χ
Η
+
Υύηα
0
'
Υ
Η
+
Υύηα
η
(2.33)
Початок координат на знімку у головній точці сходу І, у предметній
площині -у точці Κ (рис. 2.6). Формули мають вигляд
Υ
=
Н
, X
х
=
/ ,
Ys\xuz„
ysma
0
-f
у sin
2
а
0
Η
7 sin
2
α
0
(2.34)
(2.35)
2.5.3. Залежність між координатами точок горизонтального
і нахиленого знімків
о
/
F
LL /
Γ / # °
/ /
A
T/
R
T
Горизонтальним називають
знімок, кут нахилу якого дорів-
нює нулю (рис. 2.8), або ж якщо
маємо справу з кутами Ейлера
(рис. 2.16), то α
=
ω
=
κ
=
0.
Геометричний зміст задачі
показано на рис. 2.20: від
нахиленого знімка Ρ необхідно
перейти до горизонтального Pt
(тут для простоти показано не
площини в просторі, а лише їхні
зображення у площині аркуша).
Припустимо, що з центра проекції S отримано два знімки - горизонтальний
Pt та нахилений Ρ, причому їхні фокусні віддалі однакові. Точка місцевості
відповідно на обох знімках має зображення a
t
та
α
. Обидва знімки перетинаються
у деякій точці с. Неважко довести, що ASoc
=
ASo
t
c, бо обидва трикутники
прямокутні, мають спільну гіпотенузу Sc та рівні сторони So
=
So
t
= f. Тому у цих
трикутниках рівні всі відповідні кути, і зокрема
ZoSc
=
Zo
t
Sc~—а
п
.
' 2
0
Рис. 2.20. Зображення точки місцевості
на нахиленому та горизонтальному знімках
(2.36)
42
Це означає, що точка с лежить на бісектрисі кута а
0
і тому є точкою нульових
спотворень (рис. 2.6). З рис. 2.20 видно, що точка С і на нахиленому, і на
горизонтальному знімках зображається в тій самій точці с, тобто саме в цій точці
зміщення (спотворення) за нахил знімка відсутнє. Звідси і назва точки с - точка
нульових спотворень. Для будь-якої іншої точки, наприклад, А, навіть "на око"
видно, що ас
Φ
a
t
c.
Але розглянемо поставлену задачу переходу від координат точки а
нахиленого знімка до координат точки a
t
горизонтального знімка.
Використаємо формули (2.12), зважаючи на те, що треба ввести заміну
Х
=
х,
9
Y
=
y
t9
Z
=
-f, X
S
=Y
S
=Z
S
= 0. (2.37)
Тоді отримаємо
Z-l-Zj. (2-38)
Уг -f
"Поворот простору", тобто перехід від нахиленого знімка до горизонтального
за аналогією з (2.16) дає
X'
=
a
x
x
+
a
2
y-a
3
f,
Г = + (2.39)
Z'
=
с
х
х
+
с
2
у -
c
3
f.
Остаточно маємо
^
=
_
f
a,x
+
a
2
y-aJ ^
=
_
f
^b
2
y-b,f
с
х
х
+
с
2
у-с
г
/ с
х
х
+
с
2
у-с
г
/
Якщо координати головної точки знімка о не дорівнюють нулю, то формули
(2.40) матимуть вигляд
χ
у<*\(.х-Хо) +
<*2(.У-Уо)-
а
гf
c
l
(x-x
0
)
+
c
2
(y-y
0
)-c
3
,f '
с
х
(х-х
0
)
+
с
2
(у-у
0
)-с
г
/ '
Ці формули свідчать, що для перетворення нахиленого знімка у
горизонтальний необхідно знати:
- елементи внутрішнього орієнтування;
- кутові елементи зовнішнього орієнтування знімка.
43
2.6. Елементи орієнтування пари знімків
і геометричної моделі об'єкта
2.6.1. Елементи зовнішнього орієтування пари знімків
Пара знімків - це два знімки, отримані з двох різних центрів проекцій
(рис. 2.21) у такий спосіб, що і на лівому, і на правому знімках зобразилась та сама
частина об'єкта (території). Таку пару ще називають стереопарою, бо розглядаючи
знімки під простим приладом - стереоскопом, можна побачити просторову модель
об'єкта, тобто відчути його об'ємність, побачити гори, долини, висоти будинків,
дерев. Такі знімки перекриваються між собою, як правило, на 60 % або більше.
Елементи зовнішнього орієнтування (рис. 2.21) - це величини, що визначають
розташування лівого і правого центрів проекцій S
{
та S
2
і відповідних площин
лівого Ργ та правого Р
2
знімків у вибраній просторовій системі координат
OXYZ. Цими елементами (за аналогією з рис. 2.16) є: X
S{9
Y
S{9
Z
Sl
-
просторові координати лівого центра проекції^; - повздовжній,
поперечний кути нахилу лівого знімка Р
1
та кут його розвороту; X
Sl
, Y
Sl
,Z
Sl
-
просторові координати правого центра проекції S
2
; α
2
,ω
2
,к
2
- повздовжній,
поперечний кути нахилу правого знімка Р
2
та кут його розвороту.
Вектор В називають базисом фотографування.
Рис. 2.21. Елементи зовнішнього орієнтування пари знімків
44
2.6.2. Елементи взаємного орієнтування (ЕВО)
ЕВО - це величини, які фіксують те взаємне положення базису
фотографування та пари знімків, яке існувало під час фотографування.
Залежно від вибраної просторової системи координат розрізняють дві
найпоширеніші системи ЕВО:
- лінійно-кутову, в якій лівий знімок вважається горизонтальним;
- базисну, в якій базис вважається горизонтальним.
Лінійно-кутова система показана на рис. 2.22. Елементами взаємного
орієнтування є:
τ - дирекційний кут базису фотографування;
ν - кут нахилу базису;
Δα - поздовжній кут нахилу правого знімка;
Δω - поперечний кут нахилу правого знімка;
Ак - кут розвороту правого знімка.
Базисна система
ЕВО
показана на
рис.
2.23. Елементами взаємного орієнтування є:
а
л
,а
п
- поздовжні кути нахилу лівого і правого знімків;
ω
η
- поперечний кут нахилу правого знімка;
к
л
,к
п
- кути розвороту лівого і правого знімків.
Рис. 2.22. Лінійно-кутова система елементів взаємного орієнтування
45
площина ΞιΟιΥγ
площина Х
х
S
X
Z
{
площина X
2
S
2
Z-
Рис. 2.23. Базисна система елементів взаємного орієнтування
Доречно зауважити, що кут А/с в лінійно-кутовій системі та аналогічно кут
к
п
у базисній системі не є рівними. Чому? Тому що система X
2
Y
2
Z
2
в першому
випадку та система
Χ2Υ2Ζ2
в другому випадку не збігаються, отже, площини S
2
o
2
Y
2
в обох випадках є різними.
Правильно відтворене взаємне орієнтування пари знімків на фотограм-
метричному приладі дає змогу отримати (побудувати) геометричну просторову
модель об'єкта, як правило, у довільній фотограмметричній системі координат та у
довільному масштабі.
2.6.3. Елементи зовнішнього орієнтування фотограмметричної
моделі об'єкта
Побудована внаслідок розв'язання задачі взаємного орієнтування модель
об'єкта має невизначене (довільне) положення в абсолютній (геодезичній) системі
координат. Масштаб цієї моделі теж довільний, оскільки величина базису
проектування S
X
S
2
(рис. 2.22 і рис. 2.23) була вибрана довільно.
Нехай 0
3
Χ
3
Υ
3
Ζ
3
(рис. 2.24) - деяка зовнішня система координат, яку в
західній літературі називають абсолютною системою координат: цій системі
відповідає геодезична система координат Ο
Γ
Χ
Γ
Υ
Γ
Ζ
Γ
з позначенням осей
відповідно до прийнятого у π. 2.3.3. Орієнтування моделі Μ в зовнішній
(геодезичній) системі координат визначають такі параметри (рис. 2.24):
46
Χ
0φ9
Υ
0
φ,Ζ
0
φ- перенесення початку системи координат ΟφΧ
φ
ΥφΖ
φ
в
початок системи координат 0
3
Χ
3
Υ
3
Ζ
3
;
α
0
,ω
0
,κ
0
- кути Ейлера, що визначають нахил осей координат двох
просторових систем координат;
1:
і - масштаб моделі (який після взаємного орієнтування довільний або
невідомий), який необхідно визначити або змінити до заданої величини, наприклад, до
масштабу карти.
Рис. 2.24. Орієнтування моделі в абсолютній (геодезичній) системі координат
2.7. Аналітичне розв'язання основних фотограмметричних задач
2.7.1. Пряма
фотограмметрична
засічка
Завдання по-
лягає у визначенні
просторових коор-
динат точки об'єкта
за відомих коор-
динат зображень цієї
точки на двох знім-
ках (рис. 2.25).
Точка А визна-
чається в системі
SXYZ вектором R.
Рис. 2.25. Пряма фотограмметрична засічка
47
Оскільки вектори R
{
та R колінеарні, то
R =
NRI
. (2.42)
t
Вектори R
2
та R
2
теж колінеарні. їхній векторний добуток дорівнює нулю:
R
2
xR
2
=0. (2.43)
Але
R
2
=R-B.
Тому
(R-B)X(R
2
) = 0,
або
RXR
2
-BXR
2
= 0;
з урахуванням (2.42) маємо:
NR
X
XR
2
= BXR
2
. (2.44)
Формули (2.42), (2.44) вперше запропонував проф. Н. Урмаєв [11]. Шлях
розв'язання задачі такий. З (2.44) визначають коефіцієнт N, а з (2.42) - шуканий
вектор R.
Оскільки нас цікавлять просторові координати точки А, то після
проектування векторів на осі координат отримаємо:
Χ = ΝΧ{, Υ =
ΝΥ{,
Ζ = ΝΖ[. (2.45)
Використовуючи правило векторного добутку двох векторів при
проектуванні їх на осі Х
9
Υ,
Ζ, отримаємо:
в,г
2
-вл -B
X
Z> _ B
x
Y'-B
y
X'
2
ν'ν' 7' V' ν'7' V'V' V'V " *
1^2 1-*2 1 2
Якщо на знімках виміряні плоскі прямокутні координати дс
І9
^ на лівому
знімку та х
2
, у
2
- на правому знімку, то послідовність розв'язання задачі така:
1. Обчислюють напрямні косинуси a
h
b
h
c
t
для лівого і правого знімків за
кутами (α, ω, κ) лівого та правого знімків за (2.7).
2. Обчислюють для точок лівого і правого знімків просторові координати
Х\ Γ, Ζ' за (2.16).
3. Обчислюють коефіцієнтів за (2.46).
4. Обчислюють просторові координати точки об'єкта (2.45).
Пряма фотограмметрична засічка ідеального випадку знімання розв'язується
так.
48
Якщо знімки Р
{
та Р
2
, а також базис В є горизонтальними, матриці
напрямних косинусів (2.8) для лівого і правого знімків стають одиничними, а
B
y
=B
z
=0,B
=
B
x
.
Вводячи ці спрощення у вищенаведені формули, отримаємо:
Х = В^
9
Υ
= В—
9
Ζ = -Β^, (2.47)
Ρ Ρ Ρ
де Χγ
9
У\ - плоскі прямокутні координати точки а
х
на лівому знімку, ρ -
поздовжній паралакс (р
=
х
{
-х
2
).
2.7.2. Обернена фотограмметрична засічка для одного знімка
Нехай на місцевості задано опорні точки А, В, D з відомими координатами
(X, Y
9
Z)A,B,D
(рис. 2.26). Для знімка Ρ відомі елементи внутрішнього орієнтування
/,
Jto, Уо,
для простоти приймаємо
хо=уо=0.
На знімку для зображень а,
Ь
9
d виміряні
ПЛОСКІ прямокутні координати (х, y)a,b,d'
Необхідно знайти елементи зовнішнього орієнтування знімка^,
Y
s
,
Z
s
, α,
ω
9
κ.
Для розв'язання задачі використаємо рівняння колінеарності (2.25), оскільки
геометрична суть задачі математично описується цими рівняннями.
Складність розв'язання полягає в тому, що невідомі величини Xs,
Ys,
Z
s
, α, ω
9
κ
пов'язані з величинами
х
9
у нелінійними залежностями.
S
Рис. 2.26. Обернена
фотограмметрична засічка
49