Дорожинський О.Л., Тукай Р. Фотограмметрія

Подождите немного. Документ загружается.

де λ - довжина хвилі; Φ - абсолютна різниця фаз висланого і прийнятого

сигналів.

Для повного розв'язання задачі з визначення Ζ (а це і є суть побудови ЦМР)

необхідно знати довжину бази В та її орієнтацію у вибраній просторовій системі. Ця

задача в літаковому варіанті розв'язується за допомогою GPS та INS, а в космічному

варіанті можна використати параметри орбіти.

Визначення Φ пов'язане з певними проблемами, бо можна виміряти тільки

кінцеву різницю фаз Δ Φ, а кількість повних циклів відбиттів залежить від довжини

хвилі. Внаслідок цієї та інших причин опрацювання радарної інтерферограми є

складним обчислювальним процесом.

Окрім описаного методу радарної інтерферометри, опрацьовано т. зв. метод

диференціальної радарної інтерферометри. Той самий об'єкт знімають у два різні часові

моменти, а порівняння інтерферограм дає змогу визначити зміну положення об'єкта

в просторі, наприклад, зсуви, рухи, пов'язані з сейсмічною активністю, геодинамічні

зміни через гірничі роботи тощо. Точність визначення змін по висоті може становити

кілька міліметрів.

Практична реалізація космічних програм радарного знімання почалась із

запуску апаратів у СРСР Космос-1870 та Алмаз-1 (1991 p.). Пізніше запущені ERS-

1 (Європейська космічна агенція ESA, 1991 p.), JERS-1 (Японія, 1992), ERS-2 (ESA,

1995), RadarSat-Ι (Канада, 1995), Envisat (ESA, 2002 p.). Роздільна здатність цих

систем становить від

до

150 м.

Що стосується точності побудови

ЦМР,

то за даними

американських дослідників інтерферентна аеросистема дала точність

1 м

для горбистої

місцевості та 3 м для гірської.

Для космічного знімання станом до 2007 р. найкращі результати отримані з

радара RADARSat-1 - до 8 м.

Як зазначають

відомі

спеціалісти

в цій сфері,

теоретична точність радіолокаційного

знімання може становити сантиметри і навіть міліметри і залежить від довжини хвилі

посланого сигналу. Поки що практично такого результату ще ніхто не отримав, бо на

саме знімання накладаються інші фактори з негативним впливом. Передусім, необхідно

точно фіксувати розташування антен у просторі, а сучасні GPS та INS не можуть

забезпечити такої надвисокої точності. Іншим стримуючим фактором

рівень фазового

шуму сигналів та їхньої часової декореляції при різночасовому зніманні.

Незважаючи на певні труднощі, цей метод має велику перспективу. Тому

розробляються нові потужніші системи, серед них SAR-X Cosmo-SiyMed (Італія),

Radarsat-2 (Канада) та TerraSAR-X (Німеччина).

Задекларований запуск Radarsat-2 на кінець 2006

р.

був відкладений на 2007 рік,

і ще не реалізований. Причини, звичайно, не повідомляються.

Натомість 2007 р. став успішним для TerraSAR-X: 15 червня 2007 р. німецький

радарний супутник надвисокої роздільної здатності успішно виведено на орбіту, і

він почав передавати космічні зображення, прийняті в німецькому аерокосмічному

дослідницькому Центрі DLR.

Попередні дослідження показали, що просторова роздільна здатність становить

З м (режим StripMap) і до

м в режимі опрацювання SpotLight.

200

У кінці липня 2007

р.

виконано термінове знімання стихійного лиха - затоплення

в центральних районах Великобританії. Знімки

роздільною здатністю

м використано

для швидкої та ефективної оцінки масштабів затоплення на величезній території.

Оброблення радіолокаційних зображень виконується з використанням

спеціального програмного забезпечення. Як приклад, подано короткі відомості про

деякі розробки.

До складу системи Erdas Imagine 8.7 входить пакет Radar Mapping Suite,

опрацьований фірмами Leica Geosystems and Mapping (Швейцарія), Vexcel Corporation

(Австрія) та НПО "Машиностроение" (Росія). До складу пакета входять чотири

модулі:

- модуль IMAGINE Radar Interpreter слугує для попереднього оброблення

зображень та покращання їхньої якості (базовими функціями є усунення спекл-

шумів, радіометрична і геометрична корекція, текстурний аналіз, міжсенсорне злиття

зображень);

- модуль IMAGINE OrthoRadar слугує для геометричної корекції зображень та

ортотрансформування. Перша частина вирішується з використанням моделі радара,

даних орбіти і параметрів формування зображення. Друга частина використовує дані

про опорні точки та ЦМР;

модуль

IMAGINE Stereo SAR DEM слугує

для

створення ЦМР за використанням

стереопар на основі просторової кореляції з обчисленням паралаксів;

- модуль IMAGINE IFSAR DEM слугує для створення ЦМР на базі радарної

інтерферометрії.

Модуль

рекомендується для моніторингу деформації споруд, осідання

земної поверхні, фіксації геодинамічних змін у сейсмоактивних районах.

Два останні модулі можуть працювати в автоматичному режимі або ж за участю

оператора.

У розробку від фірми РАКУРС (Росія) входить система для оброблення

радіолокаційних зображень, а запропоновані технологічні схеми названо

процесорами:

- геопроцесор призначений для геометричної корекції зображення, прив'язки

його до місцевості;

- інтерферометричний процесор призначений для побудови ЦМР з пари

інтерферометричних космічних зображень;

- стереопроцесор цризначений для створення ЦМР зі стереопари зображень,

отриманих космічними радарами із синтезованою антеною.

Треба зауважити,

що

згадані програмні комплекси є доволі складним інструментом

з погляду розробки, але максимально наближені до споживача і розраховані як на

фахівця, так і на початківця.

Детальніші відомості про методи

технології опрацювання радарних зображень

можна відшукати на сайтах згаданих фірм.

Нижче подана серія зображень, наведених на сайті російської фірми РАКУРС,

які демонструють крок за кроком одну з розроблених ними технологічних ліній

опрацювання радарних зображень, отриманих зі станцій ERS-2 та ERS-1 (подано

мовою оригіналу).

201

(file://F:/PaKypc Продукти PHOTOMOD Radar Примерьі)

Комплексне зображення з РСА ERS-

2 Орбіта 04831

Комплексне зображенння з РСА ERS-

Орбіта 24504

Амплітуда Фаза

Відфільтрована інтерферограма (фаза і

амплітуда)

Інтерферограма

з накладанням маски

(фаза і амплітуда)

Маска

Розгорнута фаза Геореференційована ЦМР Орторектифікована

ЦМР

Перспективне зображення

Рис. 5.10. Опрацювання радарних образів за допомогою програмного комплексу РАКУРС РАДАР

202

Рис 5 11 Порівняння двох радарних знімків з різною роздільною здатністю

Нарис 5

праворуч показана модель рельєфу Лас-Вегаса як перше зображення,

отримане системою TerraSAR-X з роздільною здатністю 1 м (з повідомлення

розробників), хоча на самому рисунку воно подається з τ зв огрубленням до 5

метрів

На рис 5 11 ліворуч для порівняння автори наводять зображення, отримане

системою SRTM у 2000 році

Дослідження реальної точності TerraSAR-X, очевидно, розгортатимуться

найближчим часом, тим більше, що доступ до цих зображень відкритий через

Інтернет

203

5.3. Математичні моделі відтворення та інтерполяції ЦМР

Основні методи моделювання є різними за математичним змістом і

утворюють дві групи: перша передбачає для моделювання рельєфу

використовувати аналітичні функції, друга ґрунтується на застосуванні таких

функцій, що враховують статистичні характеристики рельєфу.

До першої групи належать методи, побудовані на застосуванні: степеневих

поліномів; ортогональних поліномів; сплайнів; радіальних базисних функцій;

тріангуляції; скінченних елементів; R-функцій; рядів Фур'є.

До статистичних зараховують методи: середнього вагового; вагових функцій;

випадкових функцій; колокації; Крайгінга.

Такий підхід до розв'язання питань моделювання рельєфу є дещо

спрощеним, бо найкращі результати моделювання отримують на основі

комбінування двох підходів: вилучають систематичну складову за допомогою

аналітичних функцій, а додаткові поправки у висоти точок визначають на підставі

статистичного аналізу поля.

Водночас глибший аналіз спеціальної літератури, що стосується методів

інтерполяції та апроксимації функцій, що широко використовуються в інших

галузях науки і техніки (фільтр Колмогорова-Віннера, метод колокації, метод

Крайгінга та деякі інші), приводить до висновку, що всі вони мають спільну

математичну основу. їхню спільність визначає критерій мінімізації

середньоквадратичних помилок відновлення функцій ε - Ε

/(χ) - /(χ)

= min,

де /(χ) - реалізація функцій; f (χ) - оцінка функції після перетворення. Однак

між ними існують і відмінності, які стосуються переважно практичної реалізації,

зокрема знаходження функцій, які характеризують статистичні особливості поля.

Однак, враховуючи тенденції підбору математичних функцій для

моделювання рельєфу, варто зауважити, що деякі із аналітичних функцій, зокрема

радіальні базисні функції, використовуються для зміни коваріаційної функції у

статистичних методах, тобто поділ на дві групи математичних методів для

побудови ЦМР є умовним.

Розглянемо колокацію як математичну модель для побудови ЦМР.

Стосовно визначення ЦМР основне рівняння колокації запишеться:

Αχ

δΖ

ΔΖ, (5.11)

де Αχ визначає регуляризовану змінну частину або тренд, δΖ - сигнал, змінну

складову, яка нерегулярно осцилює навколо Ах і ΔΖ - випадкову складову або

шум.

У моделі колокації для отримання незміщених оцінок з мінімальною

дисперсією математичне сподівання повинно дорівнювати: Ε (δ Ζ)

0 ,Ε(ΑΖ)

На відміну від вживаних для апроксимації рельєфу функцій, які моделюють

тренд або тренд і сигнал разом, за методом колокації сигнал визначається як окрема

204

величина і у точках опори, і у прогнозованих інтерполяційних точках. Тобто

колокація передбачає визначення оцінок параметрів, величин сигналів у точках

спостереження і в точках визначення або прогнозу. Для отримання розв'язку з

мінімальними дисперсіями похибок повинні бути задані коваріаційні матриці

виміряного вектора C

, сигналу C$

$z і взаємна коваріаційна матриця сигналів

вимірювання δΖ і прогнозу δΖ

- C

SZSZp

, а також коваріаційна матриця

шумуСдгдг.

Розв'язання рівняння (5.4) за принципом

28Z

5Z + AZ

C^AZ = min (5.12)

дає оцінки для χ

SZ.

Z. (5.13)

szsz

C-\Z-Ax), (5.14)

szsz

C-\Z-Ax), (5.15)

де С - C

- C

szsz

Сд2д2·

Практичне використання залежностей (5.13)—(5.15) полягає в тому, що часто

не вдається отримати окремо матриці "сигналу" і "шуму", тобто вважають, що

Сд2д2 = 0, хоча фактично коваріаційна матриця C

szsz

буде містити

матрицю Сд^.

На основі теоретичного опрацювання підходів до цифрового моделювання

рельєфу розглянемо такі різновиди колокаційної моделі:

1) колокацію за умов, що ваги, з якими висоти вихідних точок входять у рівняння

прогнозу, визначаються за коваріаційною функцією під певними умовами

{перша

модель);

2) аналітичну колокацію, якщо коваріаційну функцію заміняють радіальними

базисними функціями

{друга

модель);

3) висоту точки прогнозу отримують на основі сумісного визначення коефіцієнтів

рівнянь, які апроксимують систематичну складову та коефіцієнтів, залежних від

коваріаційної функції

{третя

модель).

Перша модель. Коваріаційну функцію, яка є структурною характеристикою

колокації, можна отримати із теорії стаціонарних випадкових функцій. Якщо

задатися значеннями просторової змінної Ζ у точках поля з координатами χ

і χ + h, де h - змінний інтервал, то

C{h)

E{[Zix) - E

][Zix

h)-E

]}, (5.16)

205

де Z(JC), Z(x +

Κ)

- значення просторової змінної Ζ у точках поля з

координатами Ζ(χ), і Ζ(χ + Κ); Ε

= Ε{Ζ(χ)} - середнє значення змінної Ζ у

межах поля.

Задачу прогнозу у заданій точці Z(x

) за виміряними значеннями Z^),

і = 1,2, ,п невідомої випадкової функції формують як лінійний функціонал

(5.17)

і=1

параметри якого характеризують усереднене значення коефіцієнта W

для /-го

перетину поля і визначаються за методом найменших квадратів (м. н. к.). Основним

критерієм ефективності оцінки Z(x

) є її дисперсія

= Σ Щ2{Хі) ~ z(x

)}

, (5.18)

яка за фіксованого значення координат може змінюватись через зміну коефіцієнтів

Коефіцієнти W

{

виконують роль усереднених вагових коефіцієнтів. Якщо

виразити дисперсію через коваріаційну функцію, то за правилами оперування з

коваріаційними функціями вираз (5.18) запишемо так:

^iz^AV-^A^J + Q, (5.19)

ί=1 j=1 ί=1

де

С(Ну

) - коваріація між парами точок і -го і у-го перетинів поля, розташованих

на відстані hy =

|jc

- Xj |; C(h

) - коваріація між і -ми і к -ми парами точок;

- дисперсія поля для точок з координатами х

Якщо задати умову незміщеності оцінки Z(х

) стосовно вихідних даних, то

(5.20)

і=1

У такому разі невідомі вагові коефіцієнти знаходять, розв'язавши системи

рівнянь вимірів, зв'язаних умовами. З урахуванням (5.20) функція Лагранжа

запишеться:

а\

+ 2Л(ІЩ

l)min, (5.21)

і=1

де λ - множник Лагранжа.

206

Диференціюючи функцію Лагранжа за невідомими - коефіцієнтом W

множником λ , отримаємо η +1 рівнянь:

C{h

)

C(hjj), £щ=1. (5.22)

j=1 ι=1

З використанням множника Лагранжа дисперсію прогнозованої величини

одержимо з виразу:

а$

=var[z,-Z

]

- iWjC(h

)-A . (5.23)

j=ι

З урахуванням математичного сподівання вираз (5.18) запишемо:

г=1

(5.24)

Якщо т

виразити за допомогою полінома

- я

.У

ху, (5.25)

то аналогічно з (5.22) отримаємо п + т +1 рівнянь колокаційної моделі з

урахуванням тренду:

iWjCty) + 4 + + V/ + V? + V? + Vitf = С(%)

7=1

Σ^·=1 Жхї^хі-

і=1 І=1

Wi*i=4'> ЖуЇ^УЬ (5.26)

і=1 /=1

Λ Λ

Σ^· = Ук; = ЧУк ·

ι=1 і=1

Розв'язання рівнянь (5.26) полягає у знаходженні вагових коефіцієнтів та

коефіцієнтів, які визначають систематичну складову. Оцінку точності Z^

аналогічно до (5.25) запишемо:

°z

-i"if

(Xk,y

)-iWjC(h

), (5.27)

і=і у=і

де Σ

ι/ і

к'Ук) - функція, яка характеризує тренд для А:-ї точки.

/=і

207

Друга модель. Колокацію за м. н. к. можна застосувати для моделювання

рельєфу на регулярній ЦМР, якщо вихідні точки розподілені нерівномірно.

Найбільшою проблемою колокації є отримання коваріаційної функції. Відомо, що

колокація можлива тоді, коли структури скалярного поля малі стосовно розмірів

ділянки, за якою визначали коваріаційну функцію. Якщо це положення порушено,

то необхідно перейти до колокації з відтворювальними ядрами.

Формули колокації з відтворювальним базисом мають ту саму структуру -

коваріаційну функцію заміняють відтворювальним базисом. Як відтворювальні

базиси використовують аналітичні функції: диференціальні сплайни, мульти-

квадрики, інші радіальні функції.

Якщо Z

- вектор визначуваних позначок моделювання, а вектор виміряних

значень дорівнює Ζ, то отримаємо:

2ρ =Q

Z, (5.28)

де Ζ - вектор значень, виміряних у я-вихідних точках; Q

- матриця розміру

тхп; т- кількість визначуваних точок; я-кількість заданих точок; Q-матриця

розміру тх η.

Елементами матриць Q є значення радіальних базисних функцій.

У мультиквадриковому методі моделювання елементи матриць визначаються

із співвідношень:

JSy+B або Q^ = Sу + В, (5.29)

де Sy - відстань між точками і та j; В - параметри згладжування.

У логарифмічному мультиквадрику квадрика запишеться:

Qij^iSy+B). (5.30)

Якщо коваріаційну функцію заміняють диференційним сплайном, то

елементи коваріаційної матриці визначають із співвідношення

Qy=Sl]nSl (5.31)

Після вилучення із вектора Ζ систематичної частини Ах вираз (5.28)

запишемо:

(Z-Ax). (5.32)

Вектор

Q-\Z-Ax). (5.33)

208

Коваріаційну матрицю вектора точок прогнозу запишемо:

ZpZp

p +

Q-\C

-AN~

)Q-'Q

, (5.34)

Τ —1

д ε Ν = A C

A\ C

-коваріаційна матриця вектора Ζ.

Третя модель. Визначення значення висоти Z

можна отримати по-іншому.

Використовуючи рівняння для визначення висоти вихідної точки Z

запишемо:

Ζ І

)

δΖ

де s - степінь полінома, за допомогою якого апроксимуємо систематичну

складову; δΖ

- корельована випадкова величина.

Для знаходження невідомих коефіцієнтів під умовою мінімуму суми

квадратів корельованих величин і збігу функції моделювання в точках опори

запишемо функцію Лагранжа:

C~s

Z8Z

5Z - 2λ [θο

δΖ-Ζ] . (5.35)

Використаємо для апроксимації тренду поліном другого степеня і візьмемо

часткові похідні функції F за невідомими а$,а

,....,а

і по δΖ . Прирівнявши їх до

0, отримаємо систему рівнянь:

(

ij )

«0

2Уі

U=і

+ a

yl + a

ІА = о,

і=1

&ІХ?= о,

і=1

ІЬІ

о,

і=1

ЬіУЇ= 0,

/=1

(5.36)

ЬіУі= 0,

/=1

ІРЛУІ =

/=1

Коефіцієнти bj(i = 1,2, , η) відповідають множникам

Лагранжа, С(А^) = С^м ·

Система (5.36) містить також п + т +

рівнянь з п + т +

невідомими.

Елементи матриці C(hg) можна виразити через коваріації точок поля або через

базисні радіальні функції.

Оцінку Z

запишемо:

209