Додонов А.Г., Ландэ Д.В. Живучесть информационных систем
Подождите немного. Документ загружается.
2.3. Теоретико-игровой подход
51
Целью системы является наиболее выгодный
( , )
V W
-обмен; т.е.
за минимальное количество ресурса V получить возможно наибольшее
количество W, которое является функцией структуры и поведения
обеих систем:
, , , , , , .
W W V A B A B W V A B
В результате взаимодействия между собой системы
A
и
B
по-
лучают следующие
( , )
V W
-обмены:
0 0
,
,
, ,
max 1 , , max , , ;
a a a
a a a a
A A
B B
W W V A B
W V A B W V A B
0 0
,
,
, ,
max 1 , , max , , ;
b b b
b b b b
B B
A B
W W V A B
W V A B W V A B
где
1 ;
0 .
в конфликтной ситуации
в индифферентной ситуации
Здесь
0
A
и
0
B
— оптимальные системы, т.е. системы, структу-
ры и поведение которых является оптимальным, так как с их помо-
щью можно произвести
( , )
V W
-обмены, близкие к оптимальным.
Для определения своей цели каждой системе необходимо ре-
шить, что для нее важнее, получить ли самый выгодный
( , )
V W
-
обмен или помешать это сделать другой системе. При этом системы
могут варьировать значения
( , )
V W
-обменов в некоторых пределах:
2. Анализ и оценка живучести
52
1 1
2 2
;
,
a
b
W W W
W W W
где
1
W
и
2
W
соответствуют максимально агрессивным системам, а
1
W
и
2
W
— наиболее осторожным. Если цели систем известны, то
имеется вполне определенная ситуация. Если же каждая система или
одна из них скрывает свои намерения, то налицо игровая ситуация от-
носительно выбора цели.
Обозначим через
i
A
и
( 1,..., ; 1,..., )
j
B i n j m
цели систем
A
и
B
соответственно. Цели
1
A
и
1
B
состоят в нанесении макси-
мального ущерба противоположной системе, а цели
n
A
и
m
B
соответ-
ствуют крайней осторожности обеих систем. Все остальные цели
i
A
и
j
B
соответствуют промежуточным ситуациям и нумерованы в поряд-
ке последовательного перехода от
1
A
к
n
A
и от
1
B
к
m
B
. Предпола-
гая, что в ситуации
,
i j
A B
системы
A
и
B
получают выигрыш
a ij
W a
и
b ij
W b
, получаем биматричную игру на определение оп-
тимальной цели с платежными матрицами
ij
a
и
ij
b
. Если принять,
что
ij sj
a a
при ;
ij sj
i s b b
при ;
is ij
i s a a
при ;
is ij
j s b b
при
j s
, то решение игры тривиально и состоит в том, что обеим
системам необходимо придерживаться целей
n
A
и
m
B
, т.е. вести себя
осторожно и не проявлять агрессивности. Взаимодействие сложных
систем становится строго антогонистическим, когда
( , )
V W
-обмен
для одной системы положительный, а для другой — отрицательный и
a b
W W
.
Как правило, взаимодействие систем
A
и
B
при
( , )
V W
-
обмене носит стохастический характер, и поэтому можно говорить
лишь о некоторой вероятности
,
P V W
достижения каждой систе-
мой своей цели. Эта вероятность служит показателем эффективности
2.3. Теоретико-игровой подход
53
поведения системы. Максимальное значение этой вероятности опре-
деляется как предельная эффективность.
Системы
A
и
B
не могут рассчитывать на получение
a a
W W
и
b b
W W
. Поэтому в пределе
( , ) 0
a a a
P V W
при
a a
W W
;
( , ) 0
b b b
P V W
при
b b
W W
.
Аналогично значения
a a
W W
и
b b
W W
системы можно полу-
чить с большими вероятностями, т.е. в пределе
( , ) 1
a a a
P V W
при
a a
W W
;
( , ) 1
b b b
P V W
при
b b
W W
.
Такое асимптотическое поведение вероятности
,
P V W
позво-
ляет в конкретной ситуации найти предельный закон
( , )
V W
-обмена,
который устанавливает пределы эффективности функционирования
системы.
Все элементы
A
и
B
разделяются на три класса:
— рабочие (жизненно важные)
a
- и
b
-элементы;
— защитные
a
R
- и
b
R
-элементы;
— активные (воздействующие на внешнюю среду)
a
c
- и
b
c
-
элементы.
Приведем пример. Будем считать, что до начала взаимодействия
системы
A
и
B
имеют некоторые ограниченные «ресурсные запасы»
a
V
и
b
V
, из которых генерируются жизненно важные элементы, при-
чем
; ; 1,...,
a aj b bj a b
V V V V j n n
,
где
a
n
— количество типов жизненно важных элементов системы
A
;
b
n
— количество типов жизненно важных элементов системы
B
.
2. Анализ и оценка живучести
54
Из
ai bj
V V
можно воспроизвести
i j
A B
( )
a b
-элементов
j
-го
типа ценностей
( )
j j
a b
. Ценности элементов систем определяются в
относительных единицах, выбираемых на основе экспертных оценок и
в каждом случае по своим правилам.
Защитные и активные элементы каждой системы воспроизво-
дятся (генерируются) жизненно важными элементами.
Начальные ресурсы
a
V
и
b
V
вследствие своей ограниченности
могут воспроизвести либо много малоэффективных и невысокой
стоимости элементов (например, покупка рекламных ссылок на боль-
шом количестве малорейтинговых веб-ресурсов), либо мало высоко-
эффективных и высокой стоимости элементов (например, покупка
рекламных ссылок в престижном каталоге системы Яндекс).
Таким образом, в информационной системе имеются опреде-
ленные критические соотношения между количеством всех элементов,
обеспечивающих максимальную живучесть.
Будем считать, что системы
A
и
B
в момент начала взаимо-
действия имеют:
1)
j
A
и
j
B
жизненно важных элементов типа (
1,..., ( )
a b
j n n
)
и ценностей
j
a
и
j
b
соответственно, причем
1 1
(0); (0)
a b
n n
j j a j j b
j j
a A N b B N
;
2)
a
r
и
b
r
типов защитных элементов по
m
и
m
, где
1 1
(0); (0)
a b
a b
r r
m R m R
m m
N N
;
3)
a
S
и
b
S
типов защитных элементов по
a
m
V
и
b
m
V
, причем
1 1
(0); (0)
a b
S S
a b
m a m b
m m
V M V M
.
2.3. Теоретико-игровой подход
55
Взаимодействие систем
A
и
B
происходит на некотором от-
резке времени и состоит во взаимном обмене определенными порция-
ми активных
c
-элементов.
Системы
A
и
B
в каждый момент времени
t
определяют свое
поведение:
( ) ( ), ( ) ;
( ) ( ), ( ) ,
a a
b b
A t t t
B t t t
где
( )
( )
a b
t
и
( )
( )
a b
t
— порции
( )
a b
R R
- и
( )
a b
c c
-элементов, на-
правленных на защиту и/или уничтожение
-элементов (
-элемент
—
, , ,
a b R C
).
С течением времени порции
a
c
- и
b
c
-элементов заполняют сис-
темы
B
и
A
соответственно, и, таким образом, со временем элементы
системы редеют, если нет их пополнения.
Для получения количественной оценки взаимодействия систем
A
и
B
необходимо конкретизировать смысл
( , )
V W
-обменов, к оп-
тимизации которых стремятся обе системы. Будем считать, что живу-
честь системы определяется наличием в ней жизненно важных эле-
ментов. Другими словами, система
( )
A B
в момент
t
функционирует
нормально, если выполняются условия:
1
1
( ,..., , ) min( );
( ,..., , ) min( ),
a
b
a n a
b n b
Q A A t Q t
Q B B t Q t
где
a
Q
и
b
Q
— заданные функционалы времени и структур систем
A
и
B
соответственно.
В частности, можно принять
1 1
( ); min( ) (0);
a a
n n
a j j a aj j j
j j
Q a A t Q t Q a A
1 1
( ); min( ) (0),
b b
n n
b j j b bj j j
j j
Q b B t Q t Q b B
2. Анализ и оценка живучести
56
где
0 , 1
aj bj
Q Q
— параметры, определяемые спецификой систем и
требованиями, которые предъявляются к их живучести.
Выбор критериев оптимальности в приведенной форме пред-
ставляется естественным в тех ситуациях, когда живучесть системы
сильно зависит от суммарной ценности жизненно важных элементов и
в меньшей — от распределения элементов по их типам.
Параметры
aj
Q
и
bj
Q
характеризуют жизнеспособность систем
A
и
B
соответственно. Действительно, если система
A
в момент
t
функционирует нормально, то
(1 )
aj
Q
-я доля
a
-элементов
j
-го ти-
па
( 1,..., )
j n
в этот момент находится в рабочем состоянии. При
aj
Q
= 0
( 1,..., )
j n
система
A
является наиболее жизнеспособной, а
при
1
aj
Q
жизнеспособность системы
A
стремится к нулю. Анало-
гично для системы
B
.
Если учесть, что процессы
( , )
V W
-обмена каждой системы
взаимосвязаны, то ситуацию взаимодействия систем
A
и
B
можно
рассматривать как обобщенный конфликт, для описания которого не-
обходимо задание функции выигрыша. Вид функции выигрыша каж-
дой системы существенно зависит от степени конфликтности ситуа-
ции, т.е. от того, как влияет одна система на выполнимость цели дру-
гой системой, а также от уровня, на котором ведется конфликт.
В общем случае, с учетом возможных изменений целей интен-
сивность конфликта вид функции выигрыша также может изменяться с
течением времени. Таким образом, рассматриваемая обобщенная кон-
фликтная ситуация между системами
A
и
B
представляет собой игру
двух игроков с нулевой суммой со следующими функциями выигрыша:
1 1
( ) ( ); ( )
a b
n n
a j j b j j
j j
Q T a A T Q b B T
при фиксации времени окончания конфликта, а при неавтономности
критериев оптимальности игра заканчивается в момент времени
* min( , )
a b
t t t
, где
,
a b
t t
— наименьшие неотрицательные корни
уравнений
min
a a
Q Q и
min
b b
Q Q .
2.3. Теоретико-игровой подход
57
Исход конфликта существенно зависит от степени важности для
каждой системы постановки вопроса: устранить ли противника или
выжить самой любыми средствами, т.е. в зависимости от напряженно-
сти конфликта выигрыши обеих систем могут изменяться в некоторых
пределах:
1 1
( , )
( , )
1
2 2
( , )
( , )
1
max min ( ) ;
max min ( ) .
a
b
n
j j
B B
A A
j
n
j j
A A
B B
j
W a A T W
W b B T W
Пусть взаимодействие систем
A
и
B
происходит на некотором
отрезке времени 0
t T
в дискретные моменты
i
t
. Системы
A
и
B
в каждый момент времени
t
определяют свое поведение:
( ) ( ), ( ) ;
( ) ( ), ( ) ;
a a
b b
A t t t
B t t t
где
( )
( )
a b
t
и
( )
( )
a b
t
— порции
( )
a b
R R
- и
( )
a b
c c
-элементов, на-
правленных на защиту и уничтожение
-элементов. Обозначим пор-
цию активных элементов:
1 1
,..., ; ,...,
a b
a a a b b b
s s
и
порцию защитных элементов:
1
,...,
a
a a a
s
;
1
,..., .
b
b b b
s
В этих обозначениях в момент
i
t
стратегии поведения систем
A
и
B
будут иметь вид
( )
( )
, , , , ;
, , , , .
i a a a a a
a c b R c
i b b b b b
b c a R c
A
B
Изменение среднего числа выживших до момента
1
i
t
элементов
будет описываться следующими соотношениями:
2. Анализ и оценка живучести
58
— жизненно важные и защитные для
A
:
1
( ) max 0, ( ) ( ) ( ) ( 1,..., )
b b
n i n i an i an i a
A t A t t P t n n
;
1
( ) max 0, ( ) ( ) ( ) ( 1,..., )
j j
b b
j i j i R i R i a
t t t P t j r
.
— жизненно важные и защитные для
B
:
1
( ) max 0, ( ) ( ) ( ) ( 1,..., )
a a
m i m i bm i bm i b
B t B t t P t m m
;
1
( ) max 0, ( ) ( ) ( ) ( 1,..., )
s s
a a
s i s i R i R i b
t t t P t s r
,
где вероятность выхода из строя соответствующих активных элементов
1 1
( ) ,..., ; ( ) ,..., ;
b j j b j
b b b b b b
an i an s an R i R s R
P t P P P t P P
1 1
( ) ,..., ; ( ) ,..., .
a s s a s
a a a a a a
bm i bm s bm R i R s R
P t P P P t P P
При этом, учитывая возможность выхода из строя
c
-элементов в
каждой системе, получаем следующие ограничивающие условия:
1
0 1 1 1
1
0 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0), ( 1,..., );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0), ( 1,..., ),
b b b
j s j
a a a
j j j
n r S
N
b b a a a a
cn i cn i nb i nR i nc i n a
i j s j
n r S
N
a a b b b b
cs i cs i sa i nR i sc i n b
i j j j
t P t t t t v n S
t P t t t t v s S
где
1 1
( ) ,..., ; ( ) ,..., .
b a
b b b a a a
cm i cn s cn cs i cs s cs
P t P P P t P P
Приведенные уравнения характеризуют состояние систем
A
и
B
в среднем. Решение этих уравнений позволяет найти стратегии и
определить условия выживаемости каждой системы.
При построении модели взаимодействия двух систем
A
и
B
не-
обходимо учитывать такие факторы, как состояние информированно-
сти сторон и возможность превентивности действий. Фактор инфор-
2.3. Теоретико-игровой подход
59
мированности играет большую роль при выборе критерия оптималь-
ности и достаточно сильно влияет на качество оптимальных стратегий.
Предположим, что системы
A
и
B
оценивают ситуацию исходя
из функций выигрыша
a
Q
и
b
Q
. Тогда исходную игру можно заме-
нить эквивалентной ей игрой с функцией выигрыша
a
b
Q Q Q
.
Система
A
будет стремиться максимизировать
Q
, а система
B
—
минимизировать. При этом возможны такие ситуации:
1. Система
B
информирована о выборе стратегии
( )
A t
систе-
мой
A
. Система
A
такой информации не имеет. Поэтому оптималь-
ная стратегия
( )
opt
A t
системы
A
должна определяться из условия
( )
( )
( )
1
max min ( ),| ( ) |, ( ),| ( ) |
max ( ),| ( ) |, * , ( ) ,| ( ) |
( ),| ( ) |, * , ( ) ,| ( ) | | ( ) |,| ( ) | .
B t
A t
A t
opt opt
Q A t A t B t B t
Q A t A t B t A t B t
Q A t A t B t A t B t V A t B t
2. Система
A
информирована о выборе стратегии
( )
B t
системой
B
. Система
B
такой информации не имеет. В этом случае оптималь-
ная стратегия
( )
opt
B t
системы
B
может быть определена из условия
( )
( )
( )
2
min max ( ),| ( ) |, ( ),| ( ) |
min * , ( ) ,| ( ) |, ( ),| ( ) |
* , ( ) ,| ( ) |, * , * ( ) ,| ( ) | | ( ) |,| ( ) | .
B t
A t
B t
opt opt
Q A t A t B t B t
Q A t B t A t B t B t
Q A t B t A t B t A t B t V A t B t
3. Системы
A
и
B
имеют полную информацию о выборе стра-
тегии каждой из них. Тогда оптимальные стратегии
* ( )
opt
A t
и
* ( )
opt
B t
систем
A
и
B
могут быть найдены из соотношения
2. Анализ и оценка живучести
60
( )
( )
( )
( )
3
max min ( ),| ( ) |, ( ),| ( ) |
min max ( ),| ( ) |, ( ),| ( ) |
* , * ( ) ,| ( ) |, * , * ( ) ,| ( ) |
| ( ) |,| ( ) | .
B t
A t
B t
A t
opt opt opt
Q A t A t B t B t
Q A t A t B t B t
Q A t B t A t B t A t B t
V A t B t
Из приведенного следует
1 3 2
| ( ) |,| ( ) | | ( ) |,| ( ) | | ( ) |,| ( ) | .
V A t B t V A t B t V A t B t
Таким образом, ценность взаимной тактики информированности
систем
A
и
B
определяется разностью
2 1
.
V V V
2.4. Логико-вероятностные модели
Для анализа и оценки живучести информационных систем, ко-
торые функционируют в условиях НВ, можно воспользоваться логи-
ко-вероятностными моделями, в соответствии с которыми допускают,
что элементы системы и сама система имеют двузначную логику
функционирования, и все события в системе независимы. Описание
системы возможно с помощью статической модели, которая не содер-
жит параметра времени среди независимых переменных. Функцио-
нальные зависимости между переменными при этом можно полно-
стью представить с помощью функций алгебры логики. Результаты
действия влияний также оценивают с помощью двоичной схемы: или
сохраняется состояние из множества работоспособных состояний, или
работоспособность нарушается (система переходит в состояние из
множества неработоспособных состояний).
Допустим, что элементы системы являются точечными объек-
тами, которые соединены между собой линиями связи. Последова-
тельность НВ импульсного типа формирует поток независимых собы-
тий. Вторичных последствий НВ не существует, поэтому установлен-
ное состояние системы известно непосредственно после НВ.
Рассмотрим систему, которая состоит из
s
K
объектов,
s
— но-