Дикусар В.В., Тюняев А.А. О новой форме представления числа
Подождите немного. Документ загружается.
О новой форме представления числа
Дикусар В.В., Тюняев А.А. О новой форме представления числа // Институт
системного анализа РАН, 2009.
Статья опубликована:
1. В журнале «Динамика неоднородных систем» / Под ред. чл.-корр.
РАН Ю.С. Попкова // Труды Института системного анализа РАН. 2009. № 42
(1). С. 55 – 65.
2. В Материалах III Всероссийской научно-практической конференции
«Фундаментальные науки и образование» (Бийск, 31 января – 3 февраля 2010
г.) / Бийский пед. гос. ун-т им. В.М. Шукшина. – Бийск: БПГУ им. В.М.
Шукшина, 2010. – с. 53.
3. В международном научном журнале «Organizmica». – 2009 г. № 3 – 4
(19 – 20). С. 2 – 7.
Представление числа сформировалось в недрах математики (науки о
количественных отношениях и пространственных формах действительного
мира), зарождение которой началось с создания простейших понятий
арифметики натуральных чисел. После были выработаны приёмы
выполнения четырёх арифметических действий над натуральными числами.
Далее появились простейшие дробные числа и приёмы выполнения
арифметических действий над дробями. Одновременно измерение площадей
и объёмов, потребности строительной техники, а также астрономии,
вызывают развитие начатков геометрии, после – алгебры и тригонометрии.
Таким образом, выстраивание математических построений взяло своё начало
из натуральных чисел и геометрических построений.
Все остальные надстройки, сооружённые в последующие тысячелетия,
были выполнены именно на этом фундаменте. А, значит, в основе всех
полученных расчётных и экспериментальных данных лежат: 1) целое число и
2) элементы, определяющие объём (либо векторная, либо декартова системы
координат). Это как огромный город, построенный из множества кирпичей,
но каждый из которых считается в штуках и имеет чётко определённые,
стандартные размеры.
Развитие алгебры как науки, дающей общие способы решения
арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и
исходных числовых данных, потребовало введения отрицательных чисел –
уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, требовалось
введение отрицательных чисел. Возможный отрицательный ответ в задачах
такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных
величин – таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение
в направлении, противоположном выбранному, имущество – долг, и т.д.
2
Геометрическое истолкование отрицательных чисел, как направленных
отрезков, и создание Декартом аналитической геометрии, позволившее
рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения
некоторой кривой с осью абсцисс, стёрло принципиальное различие между
положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование
оказалось по существу одинаковым.
Следующим этапом в развитии понятия числа являются комплексные
числа, введение которых потребовали решения уравнений третьей и
четвёртой степеней: в том случае, когда все три корня уравнения являются
действительными числами, по ходу вычисления необходимо выполнить
действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.
Комплексные числа истолковываются геометрическим путём – в виде точек
на плоскости. Действия над комплексными числами соответствуют
простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу,
вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям).
Обобщение понятия о числе привело к созданию гиперкомплексных
чисел: обычные арифметические действия над такими числами
одновременно выражали некоторые геометрические процессы в
многомерном пространстве или давали количественное описание каких-
либо физических законов. Подобно тому, как комплексные числа x+iy
являются линейными комбинациями двух «базисных единиц»
(действительной единицы 1 и мнимой единицы i), для 3-мерного
пространства гиперкомплексные числа представляют собой линейные
комбинации (с действительными коэффициентами x
1
, x
2
, x
3
) некоторой
системы е
1
, е
2
, e
3
«базисных единиц»:
X = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ х
3
е
3
3
Сложение и вычитание гиперкомплексных чисел (для 3-мерного
пространства) – компоненты х
3
е
3
«базисных единиц» соответственно
складываются или вычитаются. С подключением физики представление
числа расширилось – в трёхмерном пространстве гиперкомплексное число
отождествляется с векторами, к которым применяется векторное счисление,
и при этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию
величин, характеризующихся не только численным значением, но и
направленностью (например, сила, ускорение, скорость). Поэтому в
современном понимании число – это вектор, наполненный физическим
смыслом.
С подключением к проблеме системных наук стало ясно, что в одной и
той же системе разные её составляющие ведут себя и как скалярные
величины, и как векторные. При этом вся система обладает полным набором
и тех, и других. Рассматривая системы, как совокупности частей, удавалось
производить математические исчисления над теми составляющими системы,
которые являются однородными по математическому представлению. В
частности, взаимодействие двух материальных объектов рассчитывается
параллельными путями по массе (гравитационное взаимодействие) и по
электрическому заряду (электростатическое взаимодействие). При этом
природы массы и электричества различны (на сегодняшний день – не
известны).
При создании сложных машин и компьютерных комплексов,
сопряжённых с переносом математических расчётов на живые существа,
понадобился новый подход к представлению числа. По совокупности
достижений он был определён как информационный [2]. Разорвалась
тысячелетняя связь абстрактного представления числа с его геометрическим
образом, ограниченным теоремой Ферма (более 3-го геометрического
измерения не существует). Абстрактная составляющая представления числа
4
ограничений не испытывает. И такое число, отождествлённое с организмом
(любой набор информаций, ограниченный управляющей матрицей),
приобретает совершенно отличное ото всего прошлого представление – в
виде логической блок-схемы:
Рис. Блок-схема «формула организма».
Формирование числа=организма начинается с определения исходного
набора информаций i
n
, отпущенного на создание этого числа. Вся
информация i
n
двумя (или более) шинами поступает в аппараты=органы,
называемые «корректура организма» (K(i
n
)) и «управляющее матрицы» (K
a
)
[более одной (K
m
)]. В корректуре организма находятся структурные
информации, в управляющих матрицах – управляющие информации.
Управляющая матрица 2-го порядка K
m
формирует в управляющей матрице
5
1-го порядка K
a
совокупность математических или других действий, которые
управляющая матрица K
a
производит над информацией i
n
, входящей в
корректуру организма K(i
n
). На более высоком уровне управляющая матрица
m+1 порядка (K
m+1
) формирует процессы в управляющей матрице m порядка
(K
m
) [1, 2].
В общем случае соотношение между управляющими и структурными
информациями регулируется двумя (или более – по числу порядков) взаимно
противоположно направленными функциями:
1. Δi
n
= g(b
-1
(Δb)) – функция необходимого увеличения информационной
насыщенности структуры, при изменении степени управляемости
структуры;
2. q = q(Δi
n
) – функция необходимого дополнительного управления при
изменении количества информаций, входящих в организм [2].
В частных случаях каждая из матриц, как управляющая, так и
структурная, могут питаться из посторонних источников информации.
Например, управляющая матрица K
m
управляет процессом течения
обратимой химической реакции, а управляющая матрица K
a
– отражает
подключение к этому процессу катализатора. Последний имеет свои
источники управления, в общем случае, не взятые из управляемой
катализатором реакции.
Предлагаемое информационное представление числа учитывает все
достижения современной математики, системных наук и наук, оперирующих
материальными и нематериальными объектами, и позволяет в одном
представлении учитывать любые характеристики различной природы,
необходимые для более точного решения поставленной задачи.
Новое представление числа позволяет учесть в записи числа:
6
1. Совокупную информацию, идущую на составление записи числа;
2. Пропорциональность её деления между разными компонентами формы
представления числа;
3. Вид источника, происхождение (внешнее и внутреннее) и изменение
информации для составления числа;
4. Позволяет учесть не только изменение самого представляемого числа,
но и изменение его представления при проведении над ним различных
математических и иных действий (так, например, при реализации
принципа суперпозиции, при перемещении векторов меняются и их
свойства и значения).
Область применения нового представления числа: математика, физика,
информатика, биология, медицина, социальные науки и др. Примеры
положительного применения в указанных областях уже опубликованы в
научной литературе.
Литература:
Дикусар В.В., Тюняев А.А., Системный анализ и Организмика: от
частного к общему // Динамика неоднородных систем. Под ред. чл.-
корр. РАН Ю.С. Попкова. Институт системного анализа РАН. – 2008 г.
– Т. 32, № 3. (http://www.organizmica.com/archive/604/sao.shtml)
Тюняев А.А., Организмика – фундаментальная основа всех наук. Том I.
– М.: Ин, 2004.
7