Деревянкина В.В., Кривецков С.Е., Першенков П.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

По закону изменения энергии имеем:

mgS

μ=

Из последнего соотношения получаем:

mg g

μμ

Подстановка исходных данных задачи дает ответ:

2100,02

⋅⋅

м.

Ответ: 10 м.

21p) Небольшой шар массой 1 кг падает без начальной скорости на рас-

положенную вертикально пружину, которая при ударе сжимается. Какова

максимальная деформация пружины, если ее жесткость равна 150 Н/м, а рас-

стояние от начального положения шара до верхней точки недеформирован-

ной пружины равно 0,1 м?

Дано:

m = 1

кг

k = 150 н/м

h = 0,1 м

Решение:

Очевидно, что в задаче можно пренебречь силой со-

противления воздуха. Тогда на шар при его падении

действует только сила тяжести, которая является

x – ? консервативной. То есть, в рассматриваемой системе отсутст-

вуют неконсервативные силы, поэтому выполняется закон сохранения меха-

нической энергии:

Δ 0E

Следовательно,

, где

– механическая энергия рассматриваемой

системы в начальный момент,

– механическая энергия системы в конеч-

ный момент. Расположение тел системы в начальном и конечном положени-

ях изображено на рисунках 1) и 2),

соответственно.

Там же обозначен выбранный

нулевой уровень потенциальной

энергии

0E =

, который здесь

удобно считать совпадающим с на-

чальным положением недеформи-

рованной пружины.

Механическая энергия систе-

мы тел в начальном состоянии определяется только потенциальной энергией

шара в поле тяжести Земли, т.к. пружина недеформирована. При таких усло-

виях

Emgh=

. В конечном состоянии пружина сжата, обладает потенциаль-

= 0

ной энергией

пр

, а потенциальная энергия самого шара отрицательна,

так как он опускается ниже выбранного нулевого уровня этой энергии, и рав-

на:

Emgx=− . Тогда

2 пр ш

EE E mgx

=+= −

В соответствии с законом со-

хранения механической энергии имеем:

mgh mgx

=−

Полученное выражение является квадратным уравнением относительно

искомой в задаче величины максимальной деформации пружины x. Приве-

дем его к каноническому виду:

220kx mgx mgh−−=.

Корни этого уравнения следующие:

22 22

1,2

248 2

mg m g mghk mg m g mghk

±+ ±+

Отрицательный корень в условиях данной задачи не подходит, так как

говорится о сжатии пружины, поэтому окончательно имеем:

2mg m g mghk

Подстановка исходных данных позволяет получить:

110 1100 2110 0,1150

0,2

150

⋅+⋅ +⋅⋅⋅ ⋅

м.

Ответ: 0,2 м.

22р) Два абсолютно упругих шарика массами m

= 100 г и m

= 300 г

подвешены на одинаковых нитях длины 50 cм каждая. Первый шар откло-

няют на угол α = 90° от положения равновесия и отпускают. На какую высо-

ту поднимется второй шарик после соударения?

Дано:

= 0,1 кг

= 0,3 кг

l = 0,5 м

α = 90°

Решение:

Интересующие нас положения рассматриваемой сис-

темы тел изображены на рисунках 1) – 4). Первый рису-

нок соответствует начальному положению системы, ко-

гда первый шарик отклонили на заданный угол, а второй

покоится.

– ? Второй характеризует момент непосредственно перед ударом

первого шарика о второй.

Поскольку силой сопротивления воздуха, ввиду малости шариков, мож-

но пренебречь, механическая энергия системы тел не меняется, то есть

EE=

, где

– механическая энергия тел для случая 1), а

– механиче-

ская энергия тел для случая 2).

= 0

0 0

2) 3)

Как это принято в маятниковых системах, будем считать, что нулевой

уровень потенциальной энергии располагается в точке устойчивого равнове-

сия шариков. При этом условии

Emgl

, где l – высота подъема над нуле-

вым уровнем потенциальной энергии при заданном значении угла α.

= , здесь v – скорость первого шарика непосредственно перед ударом.

Получаем уравнение

mgl

Из него

v2gl=

, v2gl= .

В точке равновесия шаров происходит их упругое взаимодействие, сле-

довательно, выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения

механической энергии. В соответствии с указанными законами:

11122

22 2

11122

222

mmumu

=− +

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

где

– скорости шариков после удара.

Далее кинетическая энергия каждого из шариков переходит в потенци-

альную в верхней точке их подъема, в частности, для второго шарика в соот-

ветствие с рис. 4):

mgh=

Из последнего соотношения следует:

Таким образом, для решения задачи необходимо знать величину скоро-

сти второго шарика после удара u

. Ее можно определить, решая систему

уравнений, описывающую удар шаров.

В уравнениях системы, описывающих упругое взаимодействие, соберем

по разные стороны от знака равенства члены, содержащие различные значе-

ния массы тел и получим:

()

1122

22 2

1122

mumu

+=⎧

⎪

⎨

−=

⎪

⎩

Разделив второе уравнение системы на первое, имеем:

v uu−=

Отсюда выразим u

vuu

−

Подставив последнее выражение в первое уравнение системы и приведя

подобные члены, приходим к следующему уравнению:

11222

2vmmumu−=

Из него

2vm

. Следовательно, искомая величина определяется

как:

()

22 22

4v 2v

gm m

С учетом полученного выше значения v, имеем:

()()

12 12

22 4mgl ml

gm m m m

⋅

Подстановка цифровых данных приводит к результату:

()

40,010,5

0,125

0,1 0,3

⋅⋅

м.

Ответ: 0,125 м.

23р) Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины полусферы

радиуса R. На какой высоте тело оторвется от поверхности полусферы?

Дано:

Решение:

Рассматриваемая в задаче система изображена на

h – ? рисунке.

На нем точкой “В” обозначено исходное положение тела на полусфере,

точкой “А” положение тела в момент отрыва от нее. Будем считать, что ну-

левой уровень потенциальной энергии Е

располагается на горизонтальной

поверхности, на которой лежит полусфера. По условию задачи трение в сис-

теме отсутствует, внешние силы в ней не действуют, поэтому закон сохране-

ния механической энергии в этом случае имеет вид:

= 0

В точке “В” тело находилось в состоянии покоя. Находясь на высоте R

по отношению к нулевому уровню потенциальной энергией, оно обладало

только этим видом энергии:

EmgR

В точке отрыва тела от полусферы тело движется, то есть обладает кине-

тической энергией, и вместе с тем находится на некоторой высоте h над гори-

зонталью, а значит, его потенциальная энергия отлична от нуля. Таким обра-

зом,

Emgh=+

По закону сохранения механической энергии имеем:

mgR mgh

Сократив массу, получаем:

Rgh=+

В полученном соотношении две неизвестные величины: v и искомая вы-

сота h. Для определения скорости v рассмотрим силы, действующие на тело в

точке “А”. При движении от начальной точки до точки “А” тело массы m

находится под воздействием силы тяжести

и силы реакции опоры

. В

точке отрыва “А” реакция опоры пропадает, поэтому основное уравнение

динамики в ней имеет вид:

ma mg

Движение тела в момент отрыва происходит еще по дуге окружности

радиуса R. Поэтому центростремительное ускорение в этот момент равно

. Так как полное ускорение

ag=

, центростремительное ускорение рав-

но проекции вектора

на радиальное направление (см. рисунок). Следо-

вательно,

sin

=⋅ α

В треугольнике ОАК, в котором R – гипотенуза, а h – катет, имеется та-

кой же введенный в рассмотрение угол α и

sin

Тогда получается:

v h

Отсюда

Подставив полученное выражение в закон сохранения энергии, имеем:

gR gh=+

Сократив g, получаем:

hR= .

Ответ:

hR=

24р) Преграда массой 4 кг, имеющая цилиндрическую поверхность с ра-

диусом закругления 9,6 см, расположена на гладкой горизонтальной плоскости.

Небольшое тело массой 1 кг скользит с начальной горизонтальной скоростью

2 м/с и поднимается по цилиндрической поверхности. Найти скорость тела в

точке А относительно плоскости (см. рисунок). Точка А находится от

плоскости

на высоте, равной радиусу закругления. Трением пренебречь.

Дано:

M = 4 кг

m = 1 кг

= 2 м/c

R = 0,096 м

Решение:

При подъеме тела преграда приходит в движение, т.к.

она находится на гладкой горизонтальной плоскости (тре-

ния нет). Обозначим как

скорость преграды в тот мо-

мент, когда тело поднимется до точки А.

– ? Скорость тела в т. А можно представить в виде суммы двух

составляющих. Горизонтальная составляющая будет равна

(тело и прегра-

да движутся в горизонтальном направлении с одной скоростью). Но у тела в

этот момент будет еще вертикальная составляющая скорости

. Полная

скорость тела относительно плоскости будет равна векторной сумме

vvv

rrr

. Модуль полной скорости тела

vvv

По закону сохранения механической энергии (в системе действуют только

консервативные силы)

EE=

, где Е

– энергия системы в начальный мо-

мент, Е

– энергия в конечный момент. Примем, что нулевой уровень потен-

циальной энергии располагается на плоскости первоначального расположе-

ния тела. Тогда закон сохранения механической энергии принимает вид

22 22

01 12

vv(vv)

22 2

mMm

mgR

=+ +

Одного этого уравнения недостаточно для решения задачи. Необходимо

применить еще закон сохранения импульса для системы тело – преграда. Но

он будет выполняться только для проекций на горизонтальное направление

(в горизонтальном направлении внешние силы не действуют):

(

)

vvmmM=+

Из последнего соотношения следует, что скорость v

определяется вы-

ражением

Подставив его в закон сохранения энергии, получим:

v2 v

mmgR m

−− =

Отсюда

vv 2

=−

Тогда модуль полной скорости тела в точке А

22 2 2

22 2

12 0

vvv v 2 2

()

mM m

gR M gR

mM mM mM mM

⎛⎞

=+= + − = + −

⎜⎟

++ ++

⎝⎠

Подстановка числовых значений дает:

v (4 ) 2 10 0,096 1, 2

41 5

=+−⋅⋅=

м/с.

Ответ: 1,2 м/c.

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

7.1. Камень свободно упал с высоты 80 метров. Определить скорость

камня в момент падения на землю,

если сопротивление воздуха можно не

учитывать.

7.2. Тело брошено с начальной скоростью V

под углом к горизонту

большим 45° с поверхности земли. На какой высоте его кинетическая энер-

гия равна потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь.

7.3. Мяч бросают с некоторой высоты вертикально вниз на горизонталь-

ную площадку со скоростью 20 м/с. На сколько выше первоначального уров-

ня подпрыгнет мяч? Удар мяча о землю считать абсолютно упругим.

7.4. Груз массой 7 кг поднимают на веревке с поверхности земли на вы-

соту 1 м: один раз равномерно, второй – равноускоренно с ускорением 0,2 м/с

На сколько работа по подъему груза во втором случае больше, чем в первом?

Сопротивление воздуха не учитывать.

7.5. Сила тяги локомотива 250 кН, мощность 3000 кВт. За какое время

поезд пройдет 10,8 км, если он движется равномерно.

7.6.

На катер действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату

скорости катера. Во сколько раз нужно увеличить мощность двигателя, что-

бы скорость катера возросла в 2 раза?

7.7. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы лежащий на

земле однородный столб длиной 10 м и массой 100 кг поставить вертикально?

7.8. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы из колодца

глубиной 10 м поднять на тросе ведро с водой массой 8 кг? Линейная плот-

ность троса равна 0,4 кг/м.

7.9. Ядро массой 5 кг бросили с поверхности земли под углом к горизон-

ту так, что оно упало через 2 секунды на расстоянии 20 м от точки начала

движения. Определить работу, совершенную при броске.

7.10.

Тело равномерно перемещается по горизонтальной поверхности

под действием силы, направленной вверх под углом 45° к горизонту. Работа

этой силы на пути 6 метров равна 20 Дж. Масса тела 2 кг. Найти коэффици-

ент трения с поверхностью.

7.11. Небольшой груз массой 100 г прикреплен к веревке длиной 72 см и

массой 300 г, лежащей на гладком горизонтальном столе. Под

тяжестью гру-

за веревка начинает соскальзывать без начальной скорости в небольшое от-

верстие с гладкими краями, которое проделано в столе. Какова будет ско-

рость веревки в тот момент, когда ее свободный конец соскользнет со стола?

7.12. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой 5 кг и вслед-

ствие отдачи покатился назад со скоростью 1 м/с. Масса конькобежца 60 кг.

Определить работу, совершенную конькобежцем при броске.

7.13. Два шара массой 2 и 3 кг движутся навстречу друг другу со скоро-

стью 6 и 2 м/с, соответственно. Определить количество тепла, выделяющее-

ся при абсолютно неупругом ударе шаров.

7.14. Два груза массой 1 и 2 кг соединены нитью, переброшенной через

невесомый блок, и расположены над столом на высоте 3 м. В начальный мо-

мент грузы покоятся, затем их отпускают. Какое количество теплоты выде-

лится при ударе второго груза о стол? Удар абсолютно неупругий.

7.15. На обледеневшем участке шоссе коэффициент трения между коле-

сами и дорогой в десять раз меньше, чем на необледеневшем. Во сколько раз

нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледе-

невшем участке остался прежним?

7.16. Двигаясь по гладкой горизонтальной поверхности, маленькая шай-

ба попадает на участок шероховатой поверхности длиной 75 см. Коэффици-

ент трения шайбы о поверхность на этом участке линейно возрастает от 0,4

на ближней границе до 0,8 – на дальней. При какой минимальной скорости

шайбы она преодолеет этот участок?

7.17. Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 150 м/с,

простреливает лежащий на столе брусок массой 2,5 кг и теряет при этом по-

ловину своей кинетической энергии. Какую скорость приобретает брусок?

7.18. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар

до удара покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4

своей кинетической энергии. Определить отношение масс шаров.

7.19. Какую горизонтальную скорость нужно сообщить шарику, вися-

щему на невесомой и нерастяжимой нити длиной 0,4 м, чтобы она отклони-

лась на угол 60° от вертикали?

7.20. На веревке висит шар массой 5 кг. Максимальное натяжение, ко-

торое может выдержать веревка, 80 Н. На какой максимальный угол можно

отклонить веревку, чтобы она не оборвалась?

7.21. Два одинаковых маленьких пластилиновых шарика подвешены на

одинаковых нерастяжимых нитях в одной точке. Один шарик отклоняют от

положения равновесия так, что нить становится горизонтальна, и отпускают.

При соударении шарики слипаются. Определить максимальный угол, на ко-

торый отклонятся после удара нити.

7.22. В подвешенный на веревке ящик с песком общей массой 5 кг попа-

ла пуля массой 10 г, летевшая горизонтально, и застряла в нем. При этом

ящик откачнулся, поднявшись на 10 см. Определить скорость пули перед

ударом.

7.23. При ударе шарика о идеально

гладкую горизонтальную плоскость теряет-

ся третья часть его кинетической энергии.

Зная, что угол падения равен α = 45°, найти

угол отражения β.

7.24. Тело массой m, скатившись с го-

ры высотой h, останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы

медленно поднять тело обратно на гору?

7.25. Груз массой 1 кг медленно поднимают на высоту 1 м по наклонной

плоскости с помощью блока и нити. При этом совершается работа 12 Дж. За-

тем нить отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он наберет, опус-

тившись до исходной точки? Массой блока и нити пренебречь.

7.26. С горы высотой 3 м и длиной основания 10 м съезжают санки, ко-

торые останавливаются, пройдя горизонтально путь 20 м от основания горы.

Найти коэффициент трения, считая его одинаковым на всем пути.

7.27. Небольшое тело начинает скользить с вершины гладкой сферы ра-

диусом 2,4 м. Найти скорость тела в момент отрыва от сферы.

7.28. Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образую-

щему «мертвую петлю» радиусом 80 см. С какой наименьшей высоты шарик

должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней его точке?

7.29. На гладкой горизонтальной плоскости лежали два шара, между

которыми находилась сжатая пружина. Затем пружине дали возможность

распрямиться, вследствие чего шары приобрели некоторые скорости. Вычис-

лить их, зная, что масса шаров равна 1 и 2 кг, а потенциальная энергия сжа-

той пружины равна 3 Дж. Массой пружины пренебречь.

7.30. Легкая пружина установлена вертикально на столе. На нее падает

стальной шар массой 250 г. Чему равно максимальное сжатие пружины, ес-

ли в начальный момент шар находился на высоте 40 см от поверхности сто-

ла? На какой высоте относительно стола шар будет иметь максимальную

скорость? Жесткость пружины 50 Н/м, длина в недеформированном состоя-

нии

30 см.

7.31. На гладкой горизонтальной поверхно-

сти около стенки покоится симметричный брусок

массой М = 2 кг с углублением полусфериче

ской

формы радиусом R = 0,2 м. Из начального поло-

жения, показанного на рисунке,без трения со-

скальзывает маленькая шайба массой m = 0,5 кг.

Найти скорость бруска в момент, когда шайба окажется на правом склоне в

наивысшей точке подъема.

7.32. Тележка массой М стоит на гладкой

горизонтальной плоскости. На тележке укре-

плен математический маятник, имеющий мас-

су m и длину L. В начальный момент тележка

и маятник покоились, а нить маятника обра-

зовывала угол α с вертикалью. Найти ско-

рость тележки в момент, когда маятник бу-

дет проходить через вертикальное

положение. Массой колес пренебречь.

7.33. На стержне нулевой массы укреп-

лены два шарика. ОА = АВ = L, начальный

угол отклонения стержня равен α, начальная

угловая скорость стержня равна нулю. Найти

угловую скорость стержня в момент прохо-

ждения положения равновесия. Массы шари-

ков одинаковы.

7.34. Два подвижных клина одинаковой

массы М = 1,6 кг имеют плавные переходы на

горизонтальную поверхность. С левого клина

соскальзывает шайба массой m = 0,4 кг с высо-

ты H = 1 м. На какую максимальную высоту

шайба поднимется по правому клину? Трени-

ем пренебречь.

7.35. Шайба массой m, двигаясь горизонтально, въезжает на подвижную

горку высотой h и массой M, которая находится на идеально гладкой горизон-

тальной поверхности. Найти минимальную скорость шайбы v, при которой

она преодолеет горку. Трение между

шайбой, горкой и горизонтальной

поверхностью отсутствует.