Денисенко В.В. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации

Подождите немного. Документ загружается.

Виктор Денисенко, к.т.н ., НИЛ АП, www.RLDA.ru, RealLab.ru

ПИД -регуляторы : принципы построения

и модификации

Опубликовано нами в журнале "СТА ", № 4, 2006 г., стр. 66-74, с продолжением в № 5.

Перепечатка возможна только по согласованию с редакцией журнала "СТА ".

В статье с делан обзор структур и принципов построения ПИД -регуляторов , получивших распр о-

странение при решении задач автоматизации технологических процессов . Рассмотрены также регу-

ляторы для систем с транспортной задержкой , нечеткие и нейросетевые ПИД -регуляторы .

1. Введение

ПИД-регулятор был изобретен еще в 1910 году [1]; через 32 года, в 1942 г., Зиглер и Никольс раз-

работали методику его настройки [2], а после появления микропроцессоров в 1980-х годах разви -

тие ПИД-регуляторов происходит нарастающими темпами. Общее количество публикаций по

ПИД-регуляторам за 9 лет с 1973 по 1982 г. составило 14 шт., с 1983 по 1992 г. - 111 шт., а за пе-

р иод с 1998 по 2002 год (за 4 года) - 225 шт. [5]. На одном только семинаре IFAC (International

Federation of Automatic Control) в 2000 г. было представлено около 90 докладов, посвященных

ПИД регуляторам [4]. Количество патентов по этой теме, содержащихся в патентной базе данных

[6] в январе 2006 г. составило 364 шт.

ПИД-регулятор относится к наиболее распространенно му типу регулято ров. Около 90...95% [1, 3]

регуляторов, находящихся в настоящее время в эксплуатации, используют ПИД алгоритм. Причи-

ной столь высокой популярности является простота по строения и промышленно го использования ,

ясность функционирования , пригодность для решения большинства практических задач и низкая

стоимость. Среди ПИД-регуляторов 64% занимают одноконтурные регуляторы и 36% - многоко н -

турные [7]. Контроллеры с обратной связью охватывают 85% всех приложений, ко н троллеры с

прямой связью - 6% и контроллеры , соединенные каскадно - 9% [7].

После появления дешевых микропроцессоров и аналого -цифровых преобразователей в промы ш-

ленных ПИД регуляторах испо льзуется автоматическая настройка параметров, адаптивные алг о -

ритмы , нейронные сети, генетические алгоритмы , методы нечеткой логики . Усложнились струк-

туры регуляторов: появились регуляторы с двумя степенями свободы , с пр и менением принципов

разомкнутого управления в сочетании с обратной связью, со встроенной моделью процесса . Кроме

функции регулирования в ПИД контроллер были введены функции аварийной сигнализации, ко н -

троля разрыва контура регулирования , выхода за границы динамического диапазона и др.

Несмотря на долгую историю развития и большое количество публикаций, остаются проблемы в

вопросах устранения интегрального насыщения , регулирования объектов с гистерезисом и нел и -

нейн остями, автоматической настройки и адаптации. П рактические реализации ПИД контролле-

ров не всегда содержат антиалиасные фильтры , чрезмерный шум и внешние возмущения затруд-

няют настройку параметров. П роблемы усложняются тем , что в современных системах управле-

ния динамика часто неизвестна, регулируемые процессы нельзя считать независимыми, измерения

сильно зашумлены , нагрузка непостоянна, технологические процессы непр ерывны .

Ниже рассмотрены только регуляторы для одномерные объектов (с одним входом и одним выхо-

дом), для медленных (тепловых) процессов, которые наиболее распр о ст ранены в АСУ ТП .

2. Классический ПИД регулятор

Простейшая система автоматического регулирования с обратной связью показана на рис. 2.1. В

ней блок

называют регулятором,

- объектом регулирования ,

- управляющим воздействием

или уставкой,

- сигналом рассогласования или ошибки ,

- выходной величиной регулятора,

регулируемой величиной.

Если выходная переменная

регулятора

описывается выражением

tde

Tdtte

tKetu

)(

)()(

++=

(2.1)

где

- время ,

TTK ,, - пропорциональный коэффициент, постоянная интегрирования и постоян-

ная дифференцирования , то такой регулятор называют ПИД-регулятором.

В частном случае пропорциональная , интегральная или дифференциальная компоненты могут о т-

сутствовать и такие упрощенные регуляторы называют И , П , ПД или ПИ регуляторами.

Распространены также следующие модификации выражения (2.1):

++=

tde

Tdtte

teKtu

)(

)()(

(2.2)

tde

kdttektketu

)(

)()()(

++=

(2.3)

Между параметрами, входящими в выражения (2.1) - (2.3), существует простая связь . Однако о т -

сутствие общепринятой системы параметров часто прив одит к путанице. Это нужно помнить

при замене одного ПИД контроллера на другой или использовании программ настройки парамет -

ров. Мы будем пользоваться выражением ( 2 . 1 ) .

Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, передаточную функцию

ПИД-регулятора мо жно пред ставить в операторной форме:

++=++= s

sKT

KsT

KsR

)(

(2.4)

где

- комплексная частота.

Амплитудно -частотная (АЧХ ) и фазо -частотная (ФЧХ ) характеристики операторной передато чной

функции (2.4) показаны на рис. 2.3. В области нижних частот АЧХ м ФЧХ определяются инте-

гральным членом, в области средних частот - пропорциональным, в области высоких - диффер ен -

циальным.

Рис. 2.1. ПИД-регулятор в системе с

обрат ной связью

Рис. 2.2. ПИД-регулятор в системе с шумом

и внешними

во змущениями

На систему автоматического регулирования

могут воздействовать внешние возмущения

)(sdd

и шум измерений )(snn

(рис. 2.2).

Внешние возмущения (влияние нагрузки , из-

менение температуры окружающей среды , ве-

тер , течение воды и т .п.) обычно пространст-

венно распределены по объекту, однако для

упрощения анализа их моделируют сосредото-

ченным источником )(sd , приложенным к

входу системы . Источник шума )(sn модел и -

рует погрешность измерений выходной пер е-

меной

, погрешность датчика, а также поме-

хи (см. [8, 9]), воздействующие на канал пер е-

дачи сигнала с вы хода системы на ее вход.

Вид АЧХ и ФЧХ регулятора определя ет то ч-

ность и запас устойчивости регулятора. С

уменьшением интегральной составляющей

T ,

как следует из рис. 2.3, увеличивается модуль

коэффициента усиления регулятора на низких

частотах (т.е. при приближении к установив-

шемуся режиму ) и поэтому снижается погреш-

ность

С увеличением дифференциальной состав-

ляющей

T растет усиление на высоких част о -

тах, что приводит к усилению шумов измер ений и внешних возмущений. Поэтому дифференци-

альную составляющую используют только для улучшения формы переходного процесса в сист е -

ме, а ее практическ ая реализация обычно содержит фильтр высоких частот.

С рост ом пропорционального коэффициента

увеличивает ся модуль петлевого усиления конту-

ра регулирования и точность во всем диапазоне частот, однако падает запас по фазе и усилению,

что ухудшает робастность и качество регулирования системы , а при дельнейшем увеличении

во зникают периодические ко лебания (система теряет устойчивость), см . рис. 2.4. Влияние шума и

помех измерений

также уменьшается с ростом петлевого усиления и пропорционального коэф-

фициента.

Рис. 2.3. АЧХ и ФЧХ ПИД-регулятора при

T =1 с,

=10 и

=100

Рис. 2.4. Изменение переменной

во времени

при подаче единичного скачка )(tr на вход си с-

темы при разных

и ¥=

T , 0=

T (П-

регулятор)

Рис. 2.5. Реакция на скачок )(tr замкнутой си с-

темы 2-го по рядка (2.5) с И -регулятором при

cT 1,0

и разных

На рис. 2.5 показаны переходные характеристики замкнутой системы с И -регулятором (т.е. при

, 0=

T ) и объектом второго порядка с передаточной функцией

где cT 1,0

. При больших постоянных интегрирования

T переходная характеристика имеет вид,

сходный с характеристикой апериодического звена. С уменьшением

T растет усиление регулято-

ра и, когда на некоторой частоте петлевое усиление контура с обратной связью приближается к 1,

в системе появляются колебания (рис. 2.5, кривая 4).

АЧХ ПИ-регулятора можно получить из рис. 2.3, если отбросить правую ветвь АЧХ с наклоном

+20 дБ /дек . При этом сдвиг фаз на частотах выше 1 Гц не превысит уровен ь 0˚. Таким о бразом,

ПИ-регулятор имеет два существенных положительных отличия от И-регулятора: во -первых, его

усиление на всех частотах не может стать меньше

, следовательно , увеличивается динамическая

точность регулирования , во -вто рых, по сравнению с И -регулятором, он вносит допо л нительный

сдвиг фаз только в области низких частот, что увеличивает запас устойчивости замкнутой сист е -

мы . В то же время , как и в И -регуляторе, модуль коэффициента передачи регулятора с уменьше-

нием частоты стремится к бесконечности, обеспечивая тем самым нулевую ошибку в установив-

шемся режиме. Отсутствие сдвига фаз на высоких частотах позволяет увеличить скорость нарас-

тания управля емой переменной без снижения запаса устойчивости. Однако это справедливо до тех

пор, пока пропорциональный коэффициент

не станет настолько большим, что увеличит усиле-

ние контура до единицы на частоте сдвига фаз 180˚ (

180

)1(

)(

= ,

(2.5)

Рис. 2.6. Реакция замкнутой системы с ПИ ре-

гулятором на скачок )(tr при сT

1= для объек-

та вида (2.5) при сT 1,0

Рис. 2.7. Реакция замкнутой системы с ПИ ре-

гулято ром на скачок )(tr при сT

1,0= для объ-

екта вида (2.5) при сT 1,0

Переходный процесс в ПИ-регуляторе при разных сочетаниях

T и

показан на рис. 2.6, рис. 2.7.

При

(рис. 2.6) получаем И - регулятор. С ростом пропорционального коэффициента

появ-

ляется дополнительная ошибка во время переходного процесса ( см . также рис. 2.4), которая при

дальнейшем увеличении

уменьшается , однако при этом снижается запас устойчивости сист е -

мы , поскольку с ростом

увеличивается усиление на частоте

180

. Это приводит к появлению

затухающих колебаний в начале переходного процесса (рис. 2.6). Когда величина

становится

достаточно большой для компенсации ослабления сигнала в объекте на частоте

180

, в системе по -

являются незатухающие колебания .

Пропорциональный коэффициент приводит к затягиванию переходного пр о цесса по сравнен ию с

И -регулятором при тех же

T и

, (рис. 2.6). Объясняется это тем , что в ПИ-регуляторе сигнал

ошибки )(t

, поступающий на вход интеграт о ра, меньше, чем в И - регуляторе (он уменьшается

благодаря пропорциональному коэффициенту), поэтому сигнал, компенсиру ющий ошибку

dtt

)(

нарастает медленнее, чем в И - регуляторе. В частотной области этот процесс можно объяснить тем ,

что с ростом

нуль передаточной функции

KT1 смещается влево (рис. 2.3), т.е. расширя ется

область частот, в которой интегральной составляющая пренебрежимо мала и ПИ-регулятор вы ро -

ждается в чистый П -регулятор, которому свойственна ошибка в установившемся режиме.

В ПИД-регуляторе присутствует д ифференциальный член , который, как следует из рис. 2.3, вно -

сит положительный фазовый сдвиг до 90˚ на частотах выше

TK . Это позволяет обеспечить ус-

тойчивость или улучшить качество регулирования системы в случаях, когда это невозможно сд е -

лать с помощью ПИ-регулятора. На рис. 2.8 показано влияние постоянной дифференцирования на

форму отклика замкнутой системы на скачок )(tr . Уменьшение амплитуды колебаний и увеличе-

ние коэффициента затухания с ростом постоянной дифференцирования

T объясняется тем , что

благодаря положительному наклону АЧХ в области

TK>

(см . рис. 2.3) уменьшается сдвиг

фаз в ко н туре регулирования и петлево е усиление.

Дальнейшее у величение постоянной диффе-

ренцирования (т.е. снижение частоты

TK=

) пр и водит у росту усиления ПИД-

регулятора на высоких частотах, при

TK>

(рис. 2.3). П оскольку фазовый

сдвиг, связанный с транспортной задер ж кой,

неограниченно увеличивается с ростом част о -

ты, то в системе даже с небольшой транс-

портной задержкой при увеличении

T всегда

наступает момент, когда петлевое усиление на

частоте фазового сдвига 180˚ превысит ед и -

ницу . При этом на переходной характеристике

замкнутой системы сначала появляются зат у -

хающие колебания (рис. 2.8, кривая

75.0= ), затем , при дальнейшем увеличе-

нии

T , система переходит в колебател ь ный

режим.

Таким образом, с ростом постоянной дифференцирования запас устойчивости замкнутой системы

сначала увеличивается , затем падает .

3. Модификации ПИД -регуляторов

Описанный выше ПИД-регулятор и его частные случаи являются теоретическими идеализациями

реальных регуляторов, поэтому для их практического воплощения необходимо учесть ограниче-

ния , накладываемые реальными условиями применения и технической реализации. Кроме этого ,

наличие в ПИД-регуляторе всего лишь трех регулируемых параметров (

TTK ,, ) в ряде случаев

оказывается недостаточным для получения заданного качества регулирования , особенно для си с-

тем с большой транспортной задержкой

и для систем , в которых требуется одновременно высо-

кое качество слежения за уставкой и качество ослабления внешних возмущений.

Постоянно растущие требований рынка к качественным показателям ПИД-контроллеров иниции-

руют появление множества новых модификаций ПИД-регуляторов.

3.1. Регулятор с весовыми коэффициентами при уставке

В классическом ПИД-регуляторе сигнал ошибки

равен разности между задающим воздействием

и выходной переменной объекта

. Однако качество регулирования можно улучшить,

если ошибку вычислять отдельно для пропорциональной, дифференциальной и интегральной со-

ставляющей [3] (рис. 3.1):

ybre

-= , ycre

-= , yree

-==

(3.1)

где

idp

eee ,, - ошибка для пропорциональной, дифференциально й и интегральной составляющей ;

cb, - настроечные весовые коэффициенты.

Рис. 2.8. Реакция замкнутой системы с ПИД ре-

гулято ром на скачок )(tr при сT

015,0= ,

для объекта вида (2.5) при сT 1,0

Рис. 3.1. ПИД-регулятор с весовыми коэффициентами

при уставке

У равнение такого регулятора аналогично (2.1):

tde

Tdtte

tKetu

)(

)()(

++=

(3.2)

Отметим, что весо вой коэффициент при интегральной составляющей отсутствует , что необходимо

для обеспеч ения нулевой ошибки в установившемся режиме.

Можно доказать, что регулятор, представленный на рис. 3.1, полностью эквивалентен регулятору,

показанно му на рис. 3.2, если блок )(sR является классическим регулятором (2.4), а блок )(sF

имеет передаточную функцию вида

csT

)( .

(3.3)

Рис. 3.2. Выделение блока )( sF в структуре ПИД-регулятора

Структура полученного регулятора имеет замечательное свойство : блок )(sF не входит в контур

регулирования . Это означает , что робастность, качество регулирования , реакция на шумы и внеш-

ние возмущения по - прежнему буду т определяться только параметрами

TTK ,, , т.е. параметры

бло ков )(sF (

) настраиваются независимо от параметров

TTK ,, .

Параметры

определяют вид АЧХ блока )( sF и позволяют улучшить качество реакции ре-

гулятора на изменение уставки )(tr . На рис. 3.3 показана реакция замкнутой системы с опи санным

регулятором при разных значениях весовых коэффициентов

. Как видно из рисунка, измен е-

ние парамет ров

не влияет на отклик системы на шумы )(tn и внешние возмущения )(td .

Коэффициент

часто выбирают равным нулю,

чтобы избежать дифференцирования случай-

ных резких выбросов в управляющем сигнале

)(tr , если они возможны .

Регулятор при

иногда называют

И -ПД регулятором, а при

- ПИ-Д

рег у лятором.

3.2. Регулятор с формирующим

фильтр ом для сигнала уставки

Дальнейшим усовершенствованием регулятора

со структурой, показанной на рис. 3.2, является

применение фильтра в блоке )( sF , передато ч-

ная функция которого приобретает вид

)(

)( sF

csT

= ,

(3.4)

где

)( .

(3.5)

Здесь

T - постоянная времени фильтра, которую выбирают равной

(3.6)

где

m - показатель колебательности системы без фильтра.

Пример реакции системы с регулятором, использующим формирующий фильтр, приведен на рис.

3.4.

3.3. Принцип разомкнутого управле ния в ПИД -регуляторах

Регулятор можно построить и без использования обратной связи . Если известны действу ющие на

систему возмущения и желаемая реакция на изменение управляющего воздействия , то в некото-

рых случаях можно найти такую передаточную функцию регулятора, при которой получается ж е -

лаемая реа кция системы . Достоинством такого подхода является высокая скорость реагирования

системы на внешние возму щения , поскольку для выработки управляющего воздействия не нужно

ждать, пока управляющий сигнал пройдет через объект и возвратится в регулятор по цепи обрат -

ной связи . Кроме того , система с разомкнутым управлением в принципе не может быть неусто й-

чивой, поскольку в ней отсутствует обратная связь.

Недостатком является принципиальная невозможность получить высокую точность при неизвест -

ных возмущениях и низкой точности модели объекта, а также принципиальная невозможность

по лной компенсации возмущений для объектов с транспортной задержкой и проблема физической

реализуемости обратных опер а торов (п. 3.3.1).

Рис. 3.3. Реакция замкнутой системы с регуля-

тором на ск а чок )(tr при сT

015,0= ,

2,0= для объекта вида (2.5) при сT 1,0

сL 005,0

; обозначения со ответствуют рис. 3.2

В зарубежной литературе системы с разомкнутым управлением называют системами с "прямой

связью". Термин "прямая связь " выбран для того , чтобы подчеркнуть отличие этого метода от ме-

тода обратной связи. Ниже оба термина будут использованы как сино нимы .

Д остоинства разомкнутого и замкнутого управления можно объединить в одном регуляторе. Наи-

лучшие характеристики системы получаются , если ее проектировать по принципу разомкнутого

управления , а обратную связь использовать только для дальнейшей минимизации погрешности

сист е мы .

В предыдущем параграфе был рассмотрен ч а -

стный случай применения прямой связи , кото-

рая реализована с помощью блока )( sF (рис.

3.2).

Основным принципом применения разомкн у -

того управления в ПИД-рег уляторах я вляется

разделение задачи проектирования на две час-

ти. Первая часть - о беспечение робастности и

ослабления влияния шумов и внешних возму -

щ ений - решается с помощью параметров

TTK ,, . Вторая часть - обеспечение заданной

реакции на управляющее воздействие )(tr -

решается с помощью параметров регулятора с

прямой связью. Регуляторы , обеспечивающие

возможно сть независимого решения этих двух

задач называют "регуляторами с двумя степе-

нями свободы" и на их условном изображении

присутствуют два входа (рис. 3.5) [11].

Структура ПИД-регулятора, использующего

принцип разомкнутого управления , по казана

на рис. 3.6. Здесь регулятор

спроектирован

как в системе с классическим ПИД-регулятором, а передаточные функции блоков

M и

M вы-

бираются так, чтобы улучшить реакцию системы на вхо дное воздействие )(tr .

Рис. 3.5. Условное обозначение

регулятора с двумя степен я ми

свободы

Рис. 3.6. Структура регулятора с двумя степенями свободы

Принцип действия системы состоит в следующем (см . рис. 3.6). Измен ение сигнала )(tr поступает

на вход объекта управления

через блок

M , минуя цепь обратной связи . Передато чная функция

блока

M выбирается таким образом, чтобы выходной сигнал системы )(ty в точности соответст-

вовал входному сигналу , )()( trty

, т.е. чтобы сигнал ошибки )(te был равен нулю. Поскольку в

реальной системе при воздействии внешних возмущений или изменении уставки 0)(

te , то во

время переходного процесса вступает в действие обычный ПИД-регулятор

, который с помо-

щью обратной связи пытается свести появившуюся ошибку к нулю.

Непосредственно по рис. 3.6 можно записать передаточную функцию системы от входа

на ее

Рис. 3.4. Реакция замкнутой системы с регуля-

тором и фильтром (3.5) при cT

09,0= на ск а -

чок )(tr при сT

015,0= ,

, cT

3,0= для

объекта вида (2.5) при сT 1,0

, сL 005,0

;

обозначения соответствуют рис. 3.2;

вы ход )(ty в виде

MPM

(3.7)

Здесь первый член выбирают, как следует из описанного вы ше принципа действия системы , так,

чтобы в идеальных условиях

, и yrM

= , т.е. желаемой передаточной функцией системы я в-

ляется

MG = . Поэтому второй член в ( 3 . 7 ) необходимо сделать равным нулю. Этого можно до с-

тичь двумя способами. Первый из них состоит в том, чтобы сделать бесконечно большим петлевое

усиление

. Чаще используют второй путь, который состоит в выборе такой передаточной

функции

M , чтобы выполн я лось соотношение 0=-

MPM , т.е.

MPM

= .

(3.8)

Таким образом, в отличие от регулятора с обратной связью, у которого точность обеспечивается

благодаря дел ению сигнала ошибки на большое число (усиление интегратора), в регуляторах с

прямой связью точность обеспечивается путем компенсации ошибки , т.е. с помощью операции

вычитания .

Поскольку в системе, показанной на рис. 3.6, ошибка на низких частотах и в установившемся р е -

жиме равна нулю благодаря интегральному члену в ПИД-регуляторе

, высокую точность ко м-

пенсации ошибки с помощью прямой связи достаточно обеспечить только на высоких частотах.

Это о блегчает задачу синтеза передаточной функции

M .

3.3.1. Нахождение обратной динамики объекта

Как следует из (3.8), для нахождения передаточной функции

M необходимо найти обратный

оператор )(

. Благодаря алгебраической форме изображений операторов по Лапласу , формаль-

но сделать это достаточно просто . Например , для объекта с передаточной функцией

)( обрат ный оператор будет равен

)(

(3.9)

Однако такие операции наталкиваются на проблему физической реализуемости. Выражение (3.9)

содержит член

, который является обратным по отношению к идеальной задержке, т.е. являет-

ся изображением операции идеального предсказания . Кроме того , для реализации (3.9) необходи-

ма операция идеального дифференцирования , реализация которой также достаточно проблем а -

тична. Поэтому задача синтеза регулятора с прямой связью является задачей аппроксимации не-

реализуемой передаточной функции искусственно выбранной реализуемой функцией по критерию

минимума погрешности.

3.3.2. Регулятор с передаточной функцией объекта

В очень простом частно м случае, для систем с монотонным откликом на ступенчатое воздействие,

вид передаточной функции )(sM

можно выбрать совпадающ им с нормированной передаточной

функцией объекта:

sM =)( ,

(3.10)

где )0(PK

= . Тогда, в соответствии с (3.8)