Цицикян Г.Н. Изоляция и перенапряжение
Подождите немного. Документ загружается.
)(
)(
2
2
2
xI
dx
xId
•
•
=
γ
(1.3.5)
Решение уравнения (1.3.3), переписанное в виде
0)(
)(
2
2
2
=−
•
•
xU
dx
xUd
γ
,
будем искать в соответствии с выражением
xx
eBeAxU
γγ
−
•
+=
)(
, (1.3.6)
где
и
A
B
- неизвестные комплексы, не зависящие от x.
Подставив (1.3.6) в (1.3.1) и учитывая (1.3.4), для
получим:
)(xI
•
)()())(1()(
11// xx
B
xx
eBeAZeBeALjRxI
γγγγ
γω
−−−−
•
−−=−+−=
, (1.3.7)
где
2/1
//
//
)(
CjG
LjR
Z
B
ω
ω
+
+
=
(1.3.8)
Для линии без потерь
и
0
//
== GR
/
/
C
L
Z
B
=
(1.3.9)
Теперь перейдем к рассмотрению линии длиной l, присоединенной к
источнику ЭДС
E
с внутренним сопротивлением и замкнутой на конце на
сопротивление Z (рис.1.14)
и
Z
Тогда на конце линии при x=l
ZlU −
•
)()(lI
•
=0,
а в начале линии
)0()0(
••
+= UIZE
и
С учетом выражений (1.3.6) и (1.3.7) при x=0 записанное уравнение для начала
линии приводится к виду:
EBABA
Z
Z
B
и
=++−− )(
или
BиBиB
ZEBZZAZZ
=++− )()(
(1.3.10)
Из уравнения для конца линии имеем с учетом (1.3.6) и (1.3.7) при x=l:
0)( =−++
−− ll
B
ll
eBeA
Z
Z
eBeA
γγγγ
или
0)()( =−++
−
BeZZAeZZ
l
B
l
B
γγ
(1.3.11)
Решая систему уравнений (1.3.10) и (1.3.11) относительно
и
A
B
, найдем:
l
l
иB
B
l
BиB
l
BиB
l
BB
eqq
eq
ZZ
EZ
eZZZZeZZZZ
eZZZE
A
γ
γ
γγ
γ
2
21
2
2
1))(())((
)(
−
−
−
−
−
+
=
++−−−
−
=
,
и аналогичное выражение для
B
:
l
иB
B
l
BиB
l
BиB
l
BB
eqq
ZZ
EZ
eZZZZeZZZZ
eZZZE
B
γγγ
γ
2
21
1
1
)(
))(())((
)(
−−
−
−
+
=
++−−−
−−
=
,
где
и равны:
1
q
2
q
Bи
Bи
ZZ
ZZ
q
+
−
=
1
и
B
B
ZZ
ZZ
q
+
−
=
2
(1.3.12)
Подставляя полученные для
и
A
B
выражения в уравнения (1.3.6) и (1.3.7),
получим для напряжения
и тока для схемы (рис.1.14), где x
отсчитывается от начала к концу линии, следующие окончательные выражения:
)(xU
)(xI
l
xlx
иB
B
eqq
eeeq
ZZ
EZ
xU
γ
γγγ
2
21
2
2
1
)(
)(
−
−−
−
+
+
=
, (1.3.13)
l
xlx
иB
eqq
eeeq
ZZ
E
xI
γ
γγγ
2
21
2
2
1
)(
)(
−
−−
−
−
+
−=
, (1.3.14)
причем в согласии с (1.3.12)
и являются коэффициентами отражения от
начала и конца линии.
1
q
2
q
При
, при
0
1
=−= qZZ
Bи
0
2
=
−
= qZZ
B
. При
∞
→Z
, что отвечает в пределе
разомкнутой на конце линии,
, а при
1
2
→q
0
=
Z
, т.е. для короткозамкнутой линии
. При .
1
2
−=q
10
1
−=−= qZ
и
Коэффициент
γ
, называемый коэффициентом распространения и
определяемый по (1.3.4), может быть представлен в виде
β
α
γ
j+=
, (1.3.15)
где
α
- коэффициент затухания,
β
- коэффициент фазы.
При
из (1.3.4) находим, что
0
//
== GR
0
=
α
, а
//
CL
ωβ
=
.
Если
, а , то
0
/
=G 0
/
≠R
CLj
C
L
R
L
R
jCLj
L
R
jCLjCLjCRjj
GG
′′
+
′
′
′
=
=
′
′
−
′′
≅
′
′
−
′′
=
′′
+
′′
=+=
=
′
=
′
ω
ω
ω
ω
ωωωβαγ
2
1
)
2
1(1)(
22
00
(1.3.16)
при условии, что
1≺≺
L
R
′
′
ω
.
В этом случае
C
L
R
′
′
′
=
2
1
α
и
CL
′′
=
ωβ
(1.3.17)
При
для Z
0
//
== GR
B
имеем формулу (1.3.9). Выражение для Z
B
при , но
, можно представить в следующем виде:
0
/
=G
0
/
≠R
)1()
2
1(1
β
α
ωωω
ω
j
C
L
L
R
j
C
L
L
R
j
C
L
C
L
C
R
j
Cj
LjR
Z
B
−
′
′
=
′
′
−
′
′
≅
′
′
−
′
′
=
′
′
+
′
′
−=
′
′
+
′
=
, (1.3.18)
где
α
и
β
определяются на основании (1.3.17).
Для разомкнутой на конце линии
1
2
=
q
, и из (1.3.13) находим:
l
l
Bи
B
eq
e
ZZ
EZ
lU
γ
γ
2
1
1
2
)(
−
−
−
+
=
, (1.3.19)
l
l
Bи
B
eq
e
ZZ
EZ
U
γ
γ
2
1
2
1
1
)0(
−
−
−
+
+
=
(1.3.20)
Отметим, что при и, следовательно,
0=
и
Z
1
1
−
=
q
, из (1.3.20) имеем
EU
=)0(
В общем случае
является функцией длины l.
)0(U
Из уравнений (1.3.19) и (1.3.20) легко установить связь между
и
для разомкнутой на конце линии:
)0(U
)(lU
[
]
ljchlUlchlUU )()()()0(
βαγ
+==
(1.3.21)
Для
из выражения (1.3.14) при разомкнутой на конце линии ( с учетом
(1.3.19) найдем:
)0(I
)0)( =lI
)0(I
=
)(
нB
ZZ
E
+
l
l
eq
e
γ
γ
2
1
2
1
1
−
−
−
−
=
[
ljsh
Z
lU
B
)(
)(
βα
+
]
(1.3.22)
Введем в рассмотрение коэффициент передачи К, как отношение
напряжений на конце и в начале линии . Для разомкнутой линии имеем:
)(lU
)0(U
[]
{}
[]
1
1
)1()1(
2
1
)(
)0(
)(
−
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−++≅+==
ljlj
eleljch
U
lU
K
ββ
ααβα
=
=
1
sincos
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ lljl
ββ
β
α
β
(1.3.23)
По (1.3.23) можно построить зависимость
K
от длины l для конкретной линии.
Выражение (1.3.23) выявляет резонансные свойства линии. Резонанс для
линии без потерь
)0(
=
α
наступает при
2
π
β
=l
или при
=
′′
lСL
ω
2
π
. При f=50 Гц
для воздушной линии, когда
cм
CL
V /103
1
8
⋅≅
′′
=
, резонанс наступает при длине
.105,1
3
км⋅
Коэффициент передачи в действительности всегда ограничен. Из (1.3.23)
при
2
π
β
=l
и при учете (1.3.17) вытекает
Q
R
L
K
π
ω
π
π
β
α
44
2
1
=
′
′
==
, (1.3.24)
где
R
L
Q
′
′
=
ω
- добротность линии.
Если положить Q=12.5, то
16≈K
Таким образом, перенапряжения на промышленной частоте в
установившемся режиме на конце линии длиной l=1500 км при добротности
Q=12.5 могут достигать кратности, равной модулю коэффициента передачи, т.е. в
данном случае 16. В этом и состоит явление, называемое емкостным эффектом.
К числу важных параметров линии относится ее входное сопротивление,
которое может
быть получено из выражений (1.3.21) и (1.3.22).
Имеем для разомкнутой линии без потерь:
[]
[]
lctg
C
L
j
ljsh
ljch
Z
I
U
Z
BВХ
β
βα
βα
αα
′
′
−=
+
+
==
== 00
)(
)(
)0(
)0(
(1.3.25)
Для небольших длин, характерных для линий с номинальным напряжением
до 220 кВ, например l=100 км,
l
β
составит
30
π
ωβ
=
′′
= lCLl
.
Тогда
и
1
)(
−
≅ llctg
ββ
lC
j
lCL
C
L
jZ
ВХ
′
−=
′′
′
′
−=
ω
ω
11
,
т.е. такую линию можно заменить сосредоточенной емкостью.
При длинах l=200-300 км, приближенно:
2
)(
1cos
2
l
l
β
β
−≅
ll
β
β
≅sin
и
)
2
(
2
2
2
)(
1
/
22
2
lC
llL
j
lCL
lCL
C
L
j
l
l
C
L
jZ
ВХ
′
−
′
=
′
′′
−
′
′
−=
−
′
′
−=
ω
ω
ω
ω
β
β
.
Последнее соотношение соответствует схеме замещения, принятой для линии в
методических указаниях к задаче №1 [1].
Полезно получить выражение для
в общем случае. Пологая =0,
и x = 0 в выражениях (1.3.13) и (1.3.14), с учетом (1.3.12) найдем:
ВХ
Z
и
Z
1
1
−=q
lchZlZsh
lshZlZch
Z
eq
eq
ZZ
В
В
В
l
l
ВВХ
γγ
γγ
γ
γ
+
+
=
−
+
−=
−
−
1
1
2
2
2
2
(1.3.26)
Для короткозамкнутой линии (Z=0):
ВХ
Z
=
lthZ
В
γ
(1.3.27)
Выражение (1.3.19) при подстановке (1.3.12) для
можно переписать в
виде
1
q
lsh
Z
Z
lch
ElU
B
и
γγ
+
=
1
)(
(1.3.28)
Для линии без потерь и
ии
LjZ
ω
=
из выражения (1.3.28) находим:
l
C
L
L
lch
ElU
и
β
ω
β
sin
1
)(
′
′
−
=
(1.3.29)
Введем обозначения
τ
==
′′
V
l
lCL
,
C
L
L
T
и
′
′
=
.
Тогда (1.3.29) может быть переписано в виде
ωτωωτ
sincos
1
)(
T
ElU
−
=
(1.3.30)
Рассматривая
ω
в полученном выражении как варьируемую величину,
можно найти корни уравнения
Tctg
ω
ω
τ
=
,
которые при заданных
τ
и T и будут определять резонансные частоты.
Заметим, что из (1.3.19), (1.3.20) и (1.3.23) вытекает независимость
коэффициента передачи от Z
. и
Реактор в начале линии. Пусть к началу линии без потерь подключен реактор
поперечной компенсации с сопротивлением X
p
(рис.1.14). Это означает, по
существу, что ко входному сопротивлению Z
ВХ
разомкнутой на конце линии по
формуле (1.3.25) параллельно подключено индуктивное сопротивление .
Тогда
будет определяться выражением:
p
jX
рВХ
Z
−
lqctg
lctgjZ
Z
В
рВХ
β
β
−
−
=
−
1
, (1.3.31)
где
pp
B
X
C
L
X
Z
q
′
′
==
Если
ltgq
β
=
,
то сопротивление
в соответствии с (1.3.31) оказывается бесконечно
большим. Но при этом и
оказывается весьма большой величиной. Поэтому
полную компенсацию на практике не осуществляют.
рВХ
Z
−
p
X
Отметим, что коэффициент передачи не зависит от включения реактора
поперечной компенсации в начале линии.
Уменьшение емкостного тока (выражение ( 1.3.31)) благодаря включению
реактора поперечной компенсации в начале линии благоприятно сказывается на
работе генераторов, так как работа генераторов в режиме потребления
реактивной
мощности (генерирования емкостного тока), становится менее устойчивой.
Реактор в конце линии. Установка реактора в конце линии изменяет
коэффициент передачи. Воспользуемся общим выражением (1.3.13), в котором
для простоты положим
и, соответственно
0=
и
Z
1
1
−
=
q
.
Тогда, полагая x=0, затем x=l, для коэффициента передачи с учетом (1.3.12) при
, найдем:
p
jXZ =
lshZlchjX
jX
eqe
q
eq
eqe
U
lU
K
Bp
p
lll
ll
γγ
γγγ
γγ
+
=
+
+
=
+
+
==
−−
−−
2
2
2
2
2
1
1)0(
)(
(1.3.32)
Для линии без потерь из (1.3.32) находим:
lql
K
ββ
sincos
1
+
=
, (1.3.33)
где также, как и в (1.3.31),
p
B
X
Z
q =
.
Из сопоставления (1.3.23) при
0
=
α
(линия без потерь) и (1.3.33) следует, что
реактор в конце линии уменьшает коэффициент передачи. Коэффициент передачи
равен единице в (1.3.33), если
2sin
cos1 l
tg
l
l
X
Z
q
p
B
β
β
β
=
−
==
Однако требуемая для этого величина
оказывается слишком большой.
Кроме того, максимальное напряжение на линии смещается к началу линии.
p
X
Реакторы могут быть установлены и в середине линии, и равномерно вдоль
линии, улучшая характер распределения напряжения вдоль линии.
Вопросы для самопроверки
1. Объясните, что такое «смещение нейтрали».
2. Повторите, в чем состоит существо метода эквивалентного генератора тока.
3. Расскажите, что вы понимаете под коэффициентом передачи, добротностью
линии и емкостным эффектом
.
Глава 2. Перенапряжения переходного процесса при коммутациях
2.1 Переходное восстанавливающееся напряжение (ПВН) в сети с
изолированной нейтралью при отключении трехфазного короткого
замыкания за трансформатором
После отключения трехфазного короткого замыкания за трансформатором в
сети должна восстановиться система фазных и междуфазных напряжений,
обусловленная трехфазным источником
(рис.2.1). Считается, что
система фазных и междуфазных напряжений до момента срабатывания
выключателя симметрична, а токи отстают от напряжения на угол
СBA
EEE
•••
,,
2
π
, что и
должно иметь место при чисто индуктивном характере нагрузки. Эквивалентная
индуктивность трансформатора на схеме рис.2.1 обозначена через
. Поскольку
обрыв дуги на контактах выключателя происходит первоначально в одной из фаз,
то между нейтралью источника O и точкой КЗ
(рис.2.1) из-за возникающей
несимметрии появляется напряжение
, и напряжения на индуктивностях будут
отличаться от фазных напряжений (система напряжений
на рис.2.1),
если не принимать во внимание переходной составляющей и расссматривать
процесс до возникновения обрыва дуг в других фазах. Переходные процессы
проистекают из-за перезаряда емкостей, условно показанных на рис.2.1
штриховыми линиями. Общая картина изменения напряжений и токов за все
время ПВН показаны на рис.2.2.
T
L
/
O
•
N
U
•••
CНBНAН
UUU ,,
На рис.2.2 кривая u
В
сдвинута относительно кривой u
A
на угол
3
2
π
в
сторону увеличения отсчета времени, а кривая u
С
соответственно на угол
3
4
π
(рис.2.2). В момент t
1
началось движение контактов, а дуга продолжает гореть. В
момент прохождения тока i
B
через нуль нет еще отключения фазы «В»
(выключатель не успевает погасить дугу), но в момент t
3
, когда ток i
A
проходит
через нуль, отключение фазы «А» уже возможно. В момент обрыва дуги в фазе
«А» появляется напряжение на нейтрали трансформатора относительно точки КЗ.
При этом в согласии с 1.1.6 при
CB
YY
=
2
из
A
NN
U
UU
−==
, (2.1.1)
и напряжение на контактном промежутке в момент t = t
3
с учетом отставания тока
на
2
π
оказывается равным (рис.2.3).
фmфmфm
tt
N
tt
A
tt
SA
UUUuuu
2
3
2
1
333
=+=−=
===
(2.1.2)
До разрыва напряжение на контактах выключателя фазы «А» было равно 0,
после разрыва должно установиться
. Напряжение на емкости между
разорванными участками фазы «А» не может сразу изменится от 0 до
.
фm
U5,1
фm
U5,1
Поэтому возникает переходный процесс (см.ф.28 [1] при
2
π
ψ
=
E
,
0
=
CO
U
и
), который будет происходить в соответствии с законом изменения
фmсуm
UU 5,1=
tUetUu
фm
t
фmSA
1
cos5,1cos5,1
ωω
δ
−
−=
, (2.1.3)
если время t отсчитывать от t
3
. Здесь
1
ω
- собственная частота колебаний контура
с емкостью и всей остальной индуктивностью системы. Она значительно больше
промышленной частоты, что с учетом затухания отражено на кривой рис.2.2.
Ток в фазе «А» после размыкания контакта остается равным нулю, а токи в
двух других фазах будут изменяться по закону.
,cos
2
3
t
L
U
ii
T
фm
CНBН
ω
ω
−=−=
(2.1.4)
где t отсчит. от t
3
.
Действительно, установившийся режим после разрыва фазы «А» можно
проиллюстрировать и векторной диаграммой (рис.2.4)
Из рис.2.1 и рис.2.4 следует, что
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
−=
−=
NCC Н
NBB Н
NААН
UUU
UUU
UUU
(2.1.5)
Отсюда ясно, что
A
A
ААН
U
U
UU
2
3
2
=+=
;
22
BCCB
BBН
UUU
UU
=
+
−=
;
22
BCCB
CCН
UUU
UU
−=
+
−=
.
Токи
и отстают от своих напряжений на угол
CH
I
•
BH
I
•
2
π
. Их векторы
показаны на диаграмме (рис.2.4), что и приводит к выражению (2.1.4).
Заметим, что до размыкания фазы «А» ток в фазе «В» изменялся по закону
)
6
cos()
6
cos()
23
2
cos(
π
ω
ω
π
πω
ω
ππ
ω
ω
−−=−−=−−= t
L
U
t
L
U
t
L
U
i
T
фm
T
фm
T
фm
B
, (2.1.6)
и в момент t = t
3
, принимаемый за точку отсчета, был бы равен
T
фm
B
L
U
i
ω
2
3
−=
, (2.1.7)
а ток в фазе «С» изменялся по закону
)
6
cos()
23
2
cos()
23
4
cos(
π
ω
ω
ππ
ω
ω
ππ
ω
ω
+=−+=−−= t
L
U
t
L
U
t
L
U
i
T
фm
T
фm
T
фm
C
, (2.1.8)
и в момент t = t
3
, был бы равен
T
фm
C
L
U
i
ω
2
3
=
(2.1.9)
Таким образом, в момент размыкания фазы «А», значения токов в фазах «В» и
«С» остаются без изменения, но претерпевают фазовый скачок. Ток
на угол +
B
i
6
π
, а ток - на угол -
C
i
6
π
, что отражено сплошными линиями на рис.2.2 для
кривых токов
и . Это значит, в свою очередь, что токи пройдут одновременно
через нуль в момент t
B
i
C
i
4
(на рис.2.2
2
)(
34
π
ω
=− tt
).
Такой же вывод можно сделать и на основании выражения (2.1.4), в котором
начало отсчета ведется от момента t
3
. Выключатель разорвет контактные
промежутки фаз «В» и «С» в момент t
4
. До размыкания напряжение на контактах
этих фаз было равно нулю, после размыкания на контактах выключателя должна
восстановиться система напряжений источника, т.е. U
A
, U
B
и U
C.
Но в момент t
4
на
емкостях между разорванными участками фаз «В» и «С» имели место нулевые
напряжения, в то время как напряжение источника фазы «А» равно нулю, а
напряжение фаз «В» и «С» соответственно равны:
фmфmB
UUu
2
3
)
3
2
2
cos( =−=
ππ
фmфmC
UUu
2
3
)
3
4
2
cos( −=−=
ππ
,
а междуфазное напряжение в этот момент (рис.2.4)
фmBCCB
Uuuu 3==−
Так как напряжение
в момент t
SA
u
4
проходит через ноль (рис.2.2), то в фазе «А»
переходного процесса не будет, а в фазах «В» и «С» процесс установления
напряжения
от момента t
SCSB
u
,
4
, принимаемый за нулевую точку отсчета,
описывался бы следующими выражениями:
для фазы «В»:
,cos
3
sin)
3
sin(
1
tUetUu
Bфm
t
фmSB
B
ω
π
π
ω
δ
−
−+≈
;)
3
(
π
ψ
=
E
для фазы «С» :
,cos
3
sin)
3
sin(
1
tUetUu
Cфm
t
фmSC
C
ω
π
π
ω
δ
−
+−≈
).
3
(
π
ψ
−=
E
Как видно, процессы сдвинуты на
3
2
π
. Величины
CB,
δ
и
CB 1,1
ω
в данных
выражениях не конкретизируем. Однако можно считать, что
CB 11
ω
ω
=
и
CB
δ
δ
=
.
Со временем, на контактах выключателя установятся значения напряжения,
совпадающие с
и . Из сказанного вытекает, что наибольшие
перенапряжения возникают в процессе ПВН на контактах первой отключившейся
фазы.
B
uu
A
,
c
u
2.2 Перенапряжения при отключении малых индуктивных токов
Перенапряжения при отключении малых индуктивных токов рассмотрим на
примере отключения ненагруженного трансформатора выключателем от шин
высокого напряжения (рис.2.5)
На характер перенапряжений важную роль оказывает явление «среза» тока в
выключателе, когда ток обрывается не при нуле тока, а при некотором его
значении I
0
, отличном от нуля.
При больших амплитудах проходящего через выключатель тока явление
«среза» отсутствует из-за образования сильно ионизированного дугового канала.
Упрощенная схема замещения имеет вид показанный на рис.2.6.
Здесь L
T
- индуктивность трансформатора при холостом ходе, которая может
достигать больших значений (до десятков Генри), u
S
- напряжение на контактном
промежутке, а емкость С в схеме замещения включает входную емкость
трансформатора и емкость шин до точки подключения к выключателю.
Пусть в момент среза тока t
0
напряжение на емкости равно U
CO
, а ток, в
момент непосредственно предшествующий срезу, равен i
LO
. Момент «среза» и
есть момент отключения трансформатора, и тогда возникает колебательный
процесс в контуре с емкостью и индуктивностью без источника ЭДС, но при
ненулевых начальных условиях (
0
≠
CO
U
,
)0
≠
LO
i
.
Напряжение на емкости после «среза» тока описывается выражениями вида
[1] (формулы 25 и 26 рабочей программы). И тогда
tUt
C
i
uu
CO
LO
CL
00
0
cossin
ωω
ω
+−≅=
. (2.2.1)
Здесь принято
0=
δ
,
01
ω
ω
=
и
CL
T
1
0
=
ω
, а время отсчитывается от момента среза
тока.
Знак минус в (2.2.1) обусловлен тем (рис.2.6) что в отличии от рис.4 рабочей
программы здесь напряжение на емкости и ток при обходе контура направлены в
разные стороны.
Напряжение на контактах выключателя u
S
(рис.2.6) после среза равно:
euu
LS
−=
(2.2.2)
Если срез тока имеет место при его отрицательных значениях, то
и (2.2.1)
можно переписать в виде
0
Ii
LO
−=
t
C
L
ItUuu
T
COCL
000
sincos
ωω
+≅=
, (2.2.3)
причем
C
L
I
T
0
может существенно превосходить .
CO
U
Вводя в рассмотрение
C
L
IU
U
T
CO
CO
2
0
2
1
cos
+
=
ϕ
и
C
L
IU
U
T
CO
CO
2
0
2
1
sin
+
=
ϕ
,
мы можем (2.2.3) записать в виде
)cos(
10
2
0
2
ϕω
−+≅= t
C
L
IUuu
T
COCL
(2.2.4)