Черногубов Д.Е., Чупин В.В. Геометрические характеристики плоских сечений
Подождите немного. Документ загружается.
21
Таким образом,
()
∫
=−=
h
0
22
1
2
1
2
2
yx
.
24
hb
dyyyh
h2
b
J
11
Для определения центробежного момента инерции относительно
центральных осей воспользуемся формулой (33)
.
72
hb
3
b
3
h
A
22
yxxy
JJ
11
−=⋅−=
10. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВМ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ
Для контроля правильности выполнения студентами расчетно –
проектировочной работы разработана учебная программа «GEOM.EXE»,
позволяющая контролировать правильность определения геометрических
характеристик плоских сечений, составленных из прокатных профилей:
равнобокий и неравнобокий уголки, двутавр, швеллер, лист.
Программа работает в диалоговом режиме, все обозначения
соответствуют общепринятым, на экране дисплея выполняется прорисовка всех
профилей с необходимыми осями и размерами. Поэтому для работы с
программой не требуется каких-либо специальных инструкций.
Перед обращением к программе необходимо самостоятельно вычислить
все геометрические характеристики.
Рассмотрим ввод исходных данных в программу для сечения,
приведенного в примере 5.
1. Первоначально программа запрашивает число элементов, из которых
состоит сечение. В нашем случае их 2 (швеллер и уголок).
2. Затем программа предлагает выбрать из пяти графических объектов,
нарисованных на экране дисплея, элемент № 1. Пусть это будет швеллер;
вводим индекс элемента – цифру 4.
3. На экране появляются 4 швеллера, по-разному ориентированных
относительно осей координат. Выбираем нужное нам расположение – вводим
цифру 2.
4. В результате вы увидите на экране швеллер, нужным образом
ориентированный относительно осей. В соответствующих полях ввода
необходимо ввести все его геометрические характеристики, взятые по
сортаменту. Особо следует обратить внимание на две величины Xc и Yc. Это
координаты центра тяжести швеллера в любой вспомогательной системе
координат, например, x', y' (см. рис.12).
5. После ввода характеристик швеллера мы снова увидим экран, на
котором изображены 5 графических объектов (равнобокий и неравнобокий
уголки, двутавр, швеллер, лист). Программа предлагает выбрать элемент № 2. В
22
данном примере – это неравнобокий уголок. Вводим индекс этого элемента –
цифру 1.
6. На экране появляются 8 уголков различно расположенных
относительно координатных осей, нужное нам расположение находится под
цифрой 7.
7. После этого на экране будет изображен уголок со всеми необходимыми
осями и размерами. Все найденные ранее по сортаменту геометрические
характеристики необходимо ввести в соответствующие поля ввода. Снова
обратим внимание на величины Xc и Yc – это координаты центра тяжести
уголка во вспомогательной системе координат, в которой вводили координаты
центра тяжести швеллера.
8. Далее на экране вы увидите рисунок, аналогичный рис.12 (сечение с
осями и эллипсом инерции). А программа запрашивает ваши результаты
вычислений, выполненных вручную. Если разность ваших результатов расчета
и результатов, вычисленных компьютером, превышает 5%, то это
квалифицируется как ошибка, и программа завершает свою работу. Если все
ваши вычисления проделаны правильно, то окончательно на экране дисплея вы
увидите ваше сечение с осями и эллипсом инерции, а также все более точные
геометрические характеристики, вычисленные компьютером.
1. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учеб. для немашиностроит.
спец. вузов. 8-е изд. М.: Высш. шк., 1988. 367 с.: ил.
2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление
материалов: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1995. 560 с.: ил.
3. Сопротивление материалов / Под ред. акад. АН УССР Писаренко Г.С.
5-е изд. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986. 775 с.
23
ПРИЛОЖЕНИЯ
24
Приложение 1
СОРТАМЕНТ ПРОКАТНОЙ СТАЛИ
Балки двутавровые (по ГОСТ 8239 – 72)
Обозначения:
h – высота балки; J – момент инерции;
b – ширина полки; W – момент сопротивления;
d – толщина стенки; i – радиус инерции;
t – средняя толщина полки; S – статический момент полусечения.
Размеры, мм №
профиля
h b d t
Площадь
сечения
А, см
2
J
x
, см
4
W
x
,
см
3
i
x
,
см
S
x
,
см
3
J
y
,
см
4
W
y
,
см
3
i
y
,
см
Масса
1 м, кг
10
12
14
16
18
18а
20
20а
100
120
140
160
180
180
200
200
55
64
73
81
90
100
100
110
4,5
4,8
4,9
5,0
5,1
5,1
5,2
5,2
7,2
7,3
7,5
7,8
8,1
8,3
8,4
8,6
12,0
14,7
17,4
20,2
23,4
25,4
26,8
28,9
198
350
572
873
1290
1430
1840
2030
39,7
58,4
81,7
109
143
159
184
203
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
7,51
8,28
8,37
23,0
33,7
46,8
62,3
81,4
89,8
104
114
17,9
27,9
41,9
58,6
82,6
114
115
155
6,49
8,72
11,5
14,5
18,4
22,8
23,1
28,2
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2,12
2,07
2,32
9,46
11,5
13,7
15,9
18,4
19,9
21,0
22,7
25
22
22а
24
24а
27
27а
30
30а
33
36
40
45
50
55
60
65
70
70а
70б
220
220
240
240
270
270
300
300
330
360
400
450
500
550
600
650
700
700
700
110
120
115
125
125
135
135
145
140
145
155
160
170
180
190
200
210
210
210
5,4
5,4
5,6
5,6
6,0
6,0
6,5
6,5
7,0
7,5
8,0
8,6
9,5
10,3
11,1
12,0
13,0
15,0
17,5
8,7
8,9
9,5
9,8
9,8
10,2
10,2
10,7
11,2
12,3
13,0
14,2
15,2
16,5
17,8
19,2
20,8
24,0
28,2
30,6
32,8
34,8
37,5
40,2
43,2
46,5
49,9
53,8
61,9
71,4
83,0
97,8
114
132
153
176
202
234
2550
2790
3460
3800
5010
5500
7080
7780
9840
13380
18930
27450
39290
55150
75450
101400
134600
152700
175370
232
254
289
317
371
407
472
518
597
743
947
1220
1570
2000
2510
3120
3840
4360
5010
9,13
9,22
9,97
10,1
11,2
11,3
12,3
12,5
13,5
14,7
16,3
18,2
20,0
22,0
23,9
25,8
27,7
27,5
27,4
131
143
163
178
210
229
268
292
339
423
540
699
905
1150
1450
1800
2230
2550
2940
157
206
198
260
260
337
337
436
419
516
666
807
1040
1350
1720
2170
2730
3240
3910
28,6
34,3
34,5
41,6
41,5
50,0
49,9
60,1
59,9
71,1
85,9
101
122
150
181
217
260
309
373
2,27
2,50
2,37
2,63
2,54
2,80
2,69
2,95
2,79
2,89
3,05
3,12
3,26
3,44
3,60
3,77
3,94
4,01
4,09
24,0
25,8
27,3
29,4
31,5
33,9
36,5
39,2
42,2
48,6
56,1
65,2
76,8
89,8
104
120
138
158
184
26
Швеллеры (по ГОСТ 8240 – 72)
Обозначения:
h – высота швеллера; J – момент инерции;
b – ширина полки; W – момент сопротивления;
d – толщина стенки; i – радиус инерции;
t – средняя толщина полки; S – статический момент полусечения;
z
o
– расстояние от оси y до наружной грани стенки.
Размеры, мм №
профиля
h b d t
Площадь
сечения
А, см
2
J
x
,
см
4
W
x
,
см
3
i
x
,
см
S
x
,
см
3
J
y
,
см
4
W
y
,
см
3
i
y
,
см
z
o
,
см
Масса
1 м, кг
5
6,5
8
10
12
14
14а
16
50
65
80
100
120
140
140
160
32
36
40
46
52
58
62
64
4,4
4,4
4,5
4,5
4,8
4,9
4,9
5,0
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,1
8,7
8,4
6,16
7,51
8,98
10,9
13,3
15,6
17,0
18,1
22,8
48,6
89,4
174
304
491
545
747
9,10
15,0
22,4
34,8
50,6
70,2
77,8
93,4
1,92
2,54
3,16
3,99
4,78
5,60
5,66
6,42
5,59
9,00
13,3
20,4
29,6
40,8
45,1
54,1
5,61
8,70
12,8
20,4
31,2
45,4
57,5
63,3
2,75
3,68
4,75
6,46
8,52
11,0
13,3
13,8
0,954
1,08
1,19
1,37
1,53
1,70
1,84
1,87
1,16
1,24
1,31
1,44
1,54
1,67
1,87
1,80
4,84
5,90
7,05
8,59
10,4
12,3
13,3
14,2
27
16а
18
18а
20
20а
22
22а
24
24а
27
30
33
36
40
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
300
330
360
400
68
70
74
76
80
82
87
90
95
95
100
105
110
115
5,0
5,1
5,1
5,2
5,2
5,4
5,4
5,6
5,6
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
9,0
8,7
9,3
9,0
9,7
9,5
10,2
10,0
10,7
10,5
11,0
11,7
12,6
13,5
19,5
20,7
22,2
23,4
25,2
26,7
28,8
30,6
32,9
35,2
40,5
46,5
53,4
61,5
823
1090
1190
1520
1670
2110
2330
2900
3180
4160
5810
7980
10820
15220
103
121
132
152
167
192
212
242
265
308
387
484
601
761
6,49
7,24
7,32
8,07
8,15
8,89
8,99
9,73
9,84
10,9
12,0
13,1
14,2
15,7
59,4
69,8
76,1
87,8
95,9
110
121
139
151
178
224
281
350
444
78,8
86,0
105
113
139
151
187
208
254
262
327
410
513
642
16,4
17,0
20,0
20,5
24,2
25,1
30,0
31,6
37,2
37,3
43,6
51,8
61,7
73,4
2,01
2,04
2,18
2,20
2,35
2,37
2,55
2,60
2,78
2,73
2,84
2,97
3,10
3,23
2,00
1,94
2,13
2,07
2,28
2,21
2,46
2,42
2,67
2,47
2,52
2,59
2,68
2,75
15,3
16,3
17,4
18,4
19,8
21,0
22,6
24,0
25,8
27,7
31,8
36,5
41,9
48,3
28
Уголки равнобокие (по ГОСТ 8509 – 72)
Обозначения:
b – ширина полки;
d – толщина полки;
J – момент инерции;
i – радиус инерции;
z
o
– расстояние от центра тяжести до наружной грани полки.
Размеры, мм №
профиля
b d
Площадь
сечения
А, см
2
J
x
, см
4
i
x
, см
o
x
J макс.,
см
4
o
x
i макс.,
см
o
y
J мин.,
см
4
o
y
i мин
,
см
1
x
J ,
см
4
z
o
,
см
Масса
1 м, кг
2 20 3
4
1,13
1,46
0,40
0,50
0,59
0,58
0,63
0,78
0,75
0,73
0,17
0,22
0,39
0,38
0,81
1,09
0,60
0,64
0,89
1,15
2,5 25 3
4
1,43
1,86
0,81
1,03
0,75
0,74
1,29
1,62
0,95
0,93
0,34
0,44
0,49
0,48
1,57
2,11
0,73
0,76
1,12
1,46
2,8 28 3 1,62 1,16 0,85 1,84 1,07 0,48 0,55 2,20 0,80 1,27
3,2 32 3
4
1,86
2,43
1,77
2,26
0,97
0,96
2,80
3,58
1,23
1,21
0,74
0,94
0,63
0,62
3,26
4,39
0,89
0,94
1,46
1,91
3,6 36 3
4
2,10
2,75
2,56
3,29
1,10
1,09
4,06
5,21
1,39
1,38
1,06
1,36
0,71
0,70
4,64
6,24
0,99
1,04
1,65
2,16
4 40 3
4
2,35
3,08
3,55
4,58
1,23
1,22
5,63
7,26
1,55
1,53
1,47
1,90
0,79
0,78
6,35
8,53
1,09
1,13
1,85
2,42
29
4,5 45 3
4
5
2,65
3,48
4,29
5,13
6,63
8,03
1,39
1,38
1,37
8,13
10,5
12,7
1,75
1,74
1,72
2,12
2,74
3,33
0,89
0,89
0,88
9,04
12,1
15,3
1,21
1,26
1,30
2,08
2,73
3,37
5
50
3
4
5
2,96
3,89
4,80
7,11
9,21
11,2
1,55
1,54
1,53
11,3
14,6
17,8
1,95
1,94
1,92
2,95
3,80
4,63
1,00
0,99
0,98
12,4
16,6
20,9
1,33
1,38
1,42
2,32
3,05
3,77
5,6 56 3,5
4
5
3,86
4,38
5,41
11,6
13,1
16,0
1,73
1,73
1,72
18,4
20,8
25,4
2,18
2,18
2,16
4,80
5,41
6,59
1,12
1,11
1,10
20,3
23,3
29,2
1,50
1,52
1,57
3,03
3,44
4,25
6,3 63 4
5
6
4,96
6,13
7,28
18,9
23,1
27,1
1,95
1,94
1,93
29,9
36,6
42,9
2,45
2,44
2,43
7,81
9,52
11,2
1,25
1,25
1,24
33,1
41,5
50,0
1,69
1,74
1,78
3,90
4,81
5,72
7 70 4,5
5
6
7
8
6,20
6,86
8,15
9,42
10,7
29,0
31,9
37,6
43,0
48,2
2,16
2,16
2,15
2,14
2,13
46,0
50,7
59,6
68,2
76,4
2,72
2,72
2,71
2,69
2,68
12,0
13,2
15,5
17,8
20,0
1,39
1,39
1,38
1,37
1,37
51,0
56,7
68,4
80,1
91,9
1,88
1,90
1,94
1,99
2,02
4,87
5,38
6,39
7,39
8,37
7,5 75 5
6
7
8
9
7,39
8,78
10,1
11,5
12,8
39,5
46,6
53,3
59,8
66,1
2,31
2,30
2,29
2,28
2,27
62,6
73,9
84,6
94,6
105
2,91
2,90
2,89
2,87
2,86
16,4
19,3
22,1
24,8
27,5
1,49
1,48
1,48
1,47
1,46
69,6
83,9
98,3
113
127
2,02
2,06
2,10
2,15
2,18
5,80
6,89
7,96
9,02
10,1
8 80 5,5
6
7
8
8,63
9,38
10,8
12,3
52,7
57,0
65,3
73,4
2,47
2,47
2,45
2,34
83,6
90,4
104
116
3,11
3,11
3,09
3,08
21,8
23,5
27,0
30,3
1,59
1,58
1,58
1,57
93,2
102
119
137
2,17
2,19
2,23
2,27
6,78
7,36
8,51
9,65
30
Размеры, мм №
профиля
b d
Площадь
сечения
А, см
2
J
x
, см
4
i
x
, см
o
x
J макс.,
см
4
o
x
i макс.,
см
o
y
J мин.,
см
4
o
y
i мин
,
см
1
x
J ,
см
4
z
o
,
см
Масса
1 м, кг
9 90 6
7
8
9
10,6
12,3
13,9
15,6
82,1
94,3
106
118
2,78
2,77
2,76
2,75
130
150
168
186
3,50
3,49
3,48
3,46
34,0
38,9
43,8
48,6
1,79
1,78
1,77
1,77
145
169
194
219
2,43
2,47
2,51
2,55
8,33
9,64
10,9
12,2
10 100 6,5
7
8
10
12
14
16
12,8
13,8
15,6
19,2
22,8
26,3
29,7
122
131
147
179
209
237
264
3,09
3,08
3,07
3,05
3,03
3,00
2,98
193
207
233
284
331
375
416
3,88
3,88
3,87
3,84
3,81
3,78
3,74
50,7
54,2
60,9
74,1
86,9
99,3
112,0
1,99
1,98
1,98
1,96
1,95
1,94
1,94
214
231
265
333
402
472
542
2,68
2,71
2,75
2,83
2,91
2,99
3,06
10,1
10,8
12,2
15,1
17,9
20,6
23,3
11 110 7
8
15,2
17,2
176
198
3,40
3,39
279
315
4,29
4,28
72,7
81,8
2,19
2,18
308
353
2,96
3,00
11,9
13,5
12,5 125 8
9
10
12
14
16
19,7
22,0
24,3
28,9
33,4
37,8
294
327
360
422
482
539
3,37
3,86
3,85
3,82
3,80
3,78
467
520
571
670
764
853
4,87
4,86
4,84
4,82
4,78
4,75
122
135
149
174
200
224
2,49
2,48
2,47
2,46
2,45
2,44
516
582
649
782
916
1051
3,36
3,40
3,45
3,53
3,61
3,68
15,5
17,3
19,1
22,7
26,2
29,6
14 140 9
10
12
24,7
27,3
32,5
466
512
602
4,34
4,33
4,31
739
814
957
5,47
5,46
5,43
192
211
248
2,79
2,78
2,76
818
911
1097
3,78
3,82
3,90
19,4
21,5
25,5