Чернавский Д.С. Синергетика и информация

Подождите немного. Документ загружается.

Q(x,y)=0. На первой приращение Dx=0, то есть траектории на ней

вертикальны. На второй приращения Dy =0, то есть траектории на ней

горизонтальны. Эти линии называются главными изоклинами. Точки их

пересечения соответствуют стационарны состояниям, поскольку при

этом оба приращения равны нулю.

На этом примере удобно проиллюстрировать теорему Тихонова и

прояснить некоторые математические тонкости. Последние

заключаются в следующем:

i) Полная система уравнений содержит n переменных и требует задания

стольких же начальных условий. В редуцированной системе число

переменных и начальных условий меньше, то есть часть условий

оказываются лишними.

ii) При редукции нарушаются аналитические свойства решения полной

системы.

Поясним это на примере редукции системы (2.9) в случае когда tx >> ty .

Cогласно теореме Тихонова систему (2.9) можно редуцировать до

одного уравнения:

(2. 10)

где зависимость y(x) - решение алгебраического уравнения Q(x,y) =0.

На рисунке 2.1, б приведен фазовый портрет системы (2.9) при tx >> ty.

Видно, что траектории во всех точках, кроме лежащих на изоклине

горизонталей, практически вертикальны, поскольку Dy >> Dx. Поэтому

изображающая точка очень быстро, за время ty, попадает на изоклину

горизонталей и затем медленно движется к стационарному состоянию

согласно (2.10). Формально траектория плавная, но на ней имеется очень

крутой поворот в точке(x1 , y2). Уравнение (2.10) этот крутой поворот

не описывает, с чем и связано нарушение аналитических свойств

решения полной системы (2.9).

Начальное значение переменной y1 в уравнении (2.10) не фигурирует,

важно лишь значение x1 . Любое другое значение y, лежащее на

вертикали x=x1 приводит к тому же результату. Иными словами,

редуцированная система забывает о начальном значении y.

Таким образом редуцированная система правильно описывает процесс

на

ограниченном, но наиболее важном для данной задачи, временном

интервале.

Информационные аспекты редукции (и теоремы Тихонова) в

следующем. При редукции сложной системы количество информации

сокращается, сохраняется только ценная информация, а не ценная

забывается.

Мы остановились на этом примере столь детально, поскольку редукция

сложных систем играет очень важную роль при описании и

исследовании процессов самоорганизации.

Как упоминалось, редук

ция основана на временной иерархии. Возникает

вопрос: в каких случаях она имеет место и почему. В неживой природе

она имеет место далеко не всегда. Так, например, при горении водорода

образуется много промежуточных продуктов и времена их

взаимопревращений примерно одного порядка. В процессах

самоорганизации в живой природе, напротив, временная организация

наблюдается практически всегда. Тому есть причины. Дело в том, что

задачи моделирования и самоуправления во многом сходны и временная

иерархия необходима и для того и для другого.

Отсюда следует на первый взгляд парадоксальный вывод: построение

математических моделей живых самоорганизующихся систем - задача

более простая, чем моделирование процессов в неживой природе, хотя и

последнее интересно и важно. Возможно, именно с этим связаны успехи

синергетики в биологии, экологии и социальных науках.

Стационарные состояния динамической системы могут быть разного

типа. Их классификацию удобно привести на примере системы (2.9),

1. Устойчивый узел - так называется стационарное состояние в случае,

если траектории упираются в точку, то есть приближаются к ней

апериодически. При этом в линейном приближении вблизи точки все

числа Ляпунова вещественны и отрицательны.

2. Устойчивый фокус - в этом случае траектории имеют вид

свертывающихся спиралей и изображающая точка приближается к

стационару, совершая затухающие колебания. При этом числа Ляпунова

комплексны; реальная часть их отрицательна, а мнимая равна частоте

колебаний.

3. Центр - в этом случае траектория представляет собой замкнутые

кривые. Числа Ляпунова при этом чисто мнимые. В системе происходят

незатухающие колебания амплитуда которых зависит от начальных

условий (но не от параметров системы). Частота (т.е. мнимая часть

числа Ляпунова) напротив, определяется внутренними свойствами

системы.

Состояние "центр" нейтрально, то есть ни устойчиво, ни неустойчиво.

4. Неустойчивый фокус - в этом случае траектории - раскручивающиеся

спирали. Числа Ляпунова определенные в линейном приближении

комплексны, и реальная часть их положительна.

В реальных системах, как правило, раскручивание спирали

ограничивается нелинейными членами. Тогда раскручивающаяся

спираль навивается на замкнутую траекторию изнутри. Другие

траектории, стремящиеся к неустойчивому фокусу из отдаленных

областей фазового пространства, навиваются на замкнутую траекторию

снаружи. Эта замкнутая траектория называется предельным циклом (или

циклом Пуанкаре). Движение точки по предельному циклу описывает

периодический процесс. В отличие от центра, в данном случае

амплитуда и период определенный внутренними свойствами системы и

не зависит от начальных условий.

5. Седло - неустойчивое состояние в котором, хотя бы одно из чисел

Ляпунова положительно. На фазовом портрете системы типа 2.2 через

седло проходит только две особых линии. Одна из них такова, что

изображающие точки движутся по ней к седлу и упираются в него. Эта

линия называется сепаратрисой. Другая такова, что точки движутся от

седла в разные стороны. Остальные траектории "обтекают" седло (в ту

или иную сторону) и не попадают в него. Примером может служить

движение шарика в потенциальном поле имеющем форму седла ( или

перевала) - отсюда и происхождение названия - седло.

Точки типы "седла" с необходимостью возникают в бистабильных

системах, где имеется два разных центра притяжения (типа устойчивого

узла или фокуса). Линия, проходящая через седло разделяет области

притяжения устойчивых точек - отсюда ясно и ее название -

сепаритриса, то есть разделяющая.

Конкретные примеры таких систем мы приведем ниже. Отметим, что в

гамильтоновых системах могут существовать только особые точки типа

седла и центра. Другие стационарные состояния в них невозможны.

Продемонстрируем метод построения фазового портрета на ряде

конкретных примеров.

Рассмотрим бистабильную колебательную систему вида:

(2.11)

Она описывает движение шарика массы m в потенциальном поле V(x)

при наличии трения (коэффициент трения - g)

(2.12)

Первый член левой части (2.11) - сила инерции, второй - сила трения,

пропорциональная скорости.

Потенциал V(x) представлен на рисунке 2.2.

Видно, что имеются две лунки, в которых может находиться шарик и

барьер между ними. Если кинетическая энергия шарика достаточно

велика, то он может колебаться между лунками.

Для построения фазового портрета системы (2.11) удобно её

представить в виде двух уравнений для координаты x и импульса р.

(2.13)

где

обозначено:

Фазовый портрет системы (2.13) приведен на рисунке 2.3.

Пересечение изоклин - стационарные состояния - расположены в

точках: x=1 , x=-1 и x=0. Средняя из них - седловая. Таким образом,

система бистабильна и выбор конечного состояния зависит от

начального положения изображающей точки. Траектории - спирали.

Сепаратрисы, будучи сами траекториями, тоже имеют спиральную

форму, они изображены на рисунке жирными линиями. Слои между

сепаратрисами - области притяжения устойчивых состояний. Толщина

слоев зависит от коэффициента трения g, спирали сгущаются при

уменьшении последнего.

Уравнение (2.11) качественно описывает игру в "орлянку", то есть

вращение подброшенной в воздух монеты и последующее падение её.

Два стационарных состояния соответствую

т "орлу" или "решке". Трение

монеты о воздух очень мало и сепаратрисы плотно заполняют фазовое

пространство. Малое, но конечное изменение начального условия или

малое внешнее воздействие может перебросить точку в соседний слой,

что приводит к изменению выбора системой конечного состояния, то

есть к генерации информации.

Физический смысл описанного прост: если шарик имеет вначале

достаточно большую кинетическую энергию, то до остановки он

совершит так много колебаний, что предугадать результат очень

сложно. Если начальные условия заданы на сепаратрисе, то это вообще

невозможно.

В отсутствии трения (g=0), спирали замыкаются и устойчивые фокусы

превращаются в центры, то есть нейтральные состояния (числа

Ляпунова при этом чисто мнимые). Уравнения (2.13) при этом

описывают незатухающие колебаня. При малых амплитудах - колебания

вокруг стационарной точки (либо x = +1, либо x=-1). При больших

амплитудах - это колебания вокруг обеих точек.

Положение изображающей точки на плоскости (x,p) определяет как

координату(x), так и импульс (р). Угол между линией, направленной из

начала координат к изображающей точке, и абсциссой представляет

собой фазу колебаний. Отсюда происходит название - фазовая

плоскость.

В отсутствии трения (g=0) решение уравнения ((2.11) существенно

упрощается. Тому есть причина, причем фундаментальная - закон

сохранения энергии. Полная энергия, то есть сумма кинетической и

потенциальной энергий

(2. 14)

не изменяется со временем. Величина Н называется гамильтонианом, а

соответствуюшие системы - гамильтоновыми. Используется и другое

название - консервативные системы. Этим подчеркивается, что некая

величина, в данном случае энергия, сохраняется.

В общем случае, при наличии трения энергия (2.14) не сохраняется,

точнее, она рассеивается, диссипирует, переходит в тепло. Такие

системы называются диссипативными, происхождение термина

очевидно.

При очень сильной диссипации ( ) в уравнении (2.11) можно пренебречь

силой инерции и представить его в виде:

(2.15)

Оно описывает движение легкого шарика в потенциальном поле V(x) в

очень вязкой жидкости. Оно же описывает простейшую запоминающую

ячейку - триггерный элемент.

В настоящее время термин "диссипативные системы" очень популярен

поэтому его уместно обсудить более детально.

Существующая в теории динамических систем терминология

заимствована из механики, где такие понятия как энергия, импульс,

диссипация имеют четкий смысл. Там же, в механике, квантовой

механике, теории поля и т. п. ( то есть в "фундаментальных" науках)

рассматриваются преимущественно гамильтоновы системы. Тому есть

причины:

Во-первых, закон сохранения энергии действит

ельно фундаментальный.

Он действительно соблюдается в каждом отдельном акте

взаимодействия элементарных частиц и физических полей. В более

сложных процессах происходит диссипация энергии и эту проблему мы

рассмотрим позже.

Во-вторых, методы исследования гамильтоновых систем детально

разработаны.

В реальной жизни, и в частности, в процессах, связанных с

информацией, приходится иметь дело с диссипативными системами.

Таким образом, область применимости гамильтоновых систем в

реальной жизни крайне узка.

Мы остановились на этом вопросе, поскольку до сих пор не

прекращаются попытки построить "фундаментальную биологию" или

"фундаментальную информатику" по образу и подобию гамильтоновой

механики. Из изложенного следует, что попытки уложить реальную

жизнь в прокрустово ложе гамильтоновых систем обречены на неудачу.

Рассмотрим фазовый портрет еще одной системы, имеющей отношение

к информации и, в частности, к процессу генерации информации в

биологических системах (возникновению единого генетического кода)

[7,8,14]. Система состоит из двух уравнений

du1 /dt = u1 - u1 u2

- а1 u12

du2 /dt = u2 - u1 u2 -

а2 u22

(2.16)

Обсудим сперва свойства системы (2.16) в симметричном случае. когда

а1 =а2=а. Фазовый портрет её представлен на рисунке 2.4.

Изоклины вертикалей (Du1 = 0) определяются из условия F1( u1, u2 ) =

u1 - u1 u2 - а u12 = 0 и соответствуют линиям u1 = 0 и u2 = 1 - а u1 .

Изоклины горизонталей (Du2 = 0) определяются из условия u2 - u1 u2 -

u22 = 0 и соответствуют линиям u2 = 0 и u1= 1 - аu2.

(см.рис.2.4). Система имеет четыре стационарных состояния. Первое

расположено при u1 = u2 = 0 и неустойчиво. Оба числа Ляпунова

положительны и равны l1,2 =+1. Такая точка называется неустойчивым

узлом.

Второе расположено на биссектрисе u1 = u2 = (1 + а)-1 и тоже

неустойчиво (типа седла). Имеются два устойчивых состояния (типа

узла): при u1 = 1/а (u2 = 0) и при u2 = 1/а ( u1 =0); в них оба числа

Ляпунова отрицательны. Вся плоскость разделяется сепаратрисой на две

области; в каждой из них траектории стремятся к соответствующему

ус

тойчивому состоянию. В нашем случае в силу симметрии системы она

совпадает с биссектрисой.

Эта модель позволяет проследить процесс рецепции информации и

возникновение (генерацию) ее. Так, если в силу внешних причин

начальные условия не симметричны, то система приходит к

определенному стационарному состоянию - это рецепция информации.

Если заранее выбор не предопределен, то есть начальные условия

симметричны и заданы на сепаратрисе, то система сама, по воле случая,

выбирает одно из стационарных состояний - э

то генерация информации.

Ниже мы вернемся к этой системе и обсудим ее более детально.

В случае, когда коэффициенты а1 и а2 не одинаковы (например, 1> а2

>а1 ) симметрия нарушается, но качественные свойства системы

сохраняются: имеются две области притяжения, они различны, но

сопоставимы. Фазовый портрет представлен на рисунке 2.5.

2.2. Хаотические состояния, необратимость и рост энтропии.

Мы уже обсуждали вопрос о связи информации и необратимости,

имеющий принципиальное значение. В идеально обратимом мире

информация не может возникнуть, поскольку любой выбор не может

быть запомнен, ( запоминание возможно лишь в диссипативных

системах). Поэтому необратимость в нашем мире играет существенную

конструктивную роль. Однако, в фундаментальных законах

классической и квантовой физики время входит обратимо, так, что

замена скоростей частиц на обратные эквивалентна повороту стрелы

времени (т.е. замене t ® - t). Иными словами, в гамильтоновых системах

явление необратимости не может иметь места.

В науке этот вопрос возник в очень острой форме на рубеже XIX и XX

столетий. История вопроса поучительна и трагична. Людвиг Больцман

был первым, кто попытался решить эту проблему. Он поставил цель:

"вывести" законы термодинамики из уравнений Ньютона. Для этого

рассмотрел систему из многих шаров, движущихся по ограниченной

плоскости (биллиард Больцмана) и упруго соударяющихся друг с

другом. Проведя, казалось бы, естественное усреднение, Больцман

получил результаты, носящие его имя:

(1) закон возрастания энтропии (так называемая Н-теорема Больцмана),

(2) соотношение между энтропией и вероятностью:

S = k ln W,

(2.17)

где k = 1.38*10-16 эрг/град. - постоянная Больцмана и W - вероятность

застать систему в определенном состоянии, где скорости и координаты

шаров имеют определенное значение,

Эти результаты вошли в "золотой фонд" современной физики. Вместе с

тем корректность расчетов Больцмана вызвала сомнение. Друг и

постоянный оппонент Больцмана - математик Цермелло - возразил:

изначальные уравнения симметричны во времени, а результат

(возрастание энтропии) явно не симметричен. Такого не может быть,

если все промежуточные вычисления математически корректны;

следовательно, где-то допущена ошибка.

Больцман не смог ответить и застрелился.

Следующим был замечательный физик Эренфест. Он сформулировал

проблему максимально четко, но ответа дать не смог и застрелился.

Идея ответа была найдена молодым физиком Н.С. Крыловым в 1948 г

[15]; он вскоре умер.

В нашем изложении эта история выглядит трагикомически. В

действительности решение покончить с жизнью человек принимает в

состоянии эмоциональной неуравновешенности и неустойчивости.

Искать непосредственную причину такого выбора бессмысленно. Важен

другой вопрос: какие обстоятельства привели человека в неустойчивое

состояние?

Что касается Людвига Больцмана ответ ясен. В научной среде его

результаты встретили серьезное сопротивление. Попросту. он был

подвергнут травле. В этом принимали участие не только друг Больцмана

Цермелло (со стороны друзей это, как раз, часто случается), но и

крупные, казалось бы объективные, ученые. Так, Пуанкаре "открыто

рекомендовал не изучать труды Больцмана. поскольку они

противоречили его, Пуанкаре, выводам" (цитируется по [9]).

Удивительно и поучительно почему Пуанкаре, один из

основоположников теории устойчивости, не смог понять результатов

Больцмана и связать их с неустойчивостью (что впоследствии сделал

Н.С. Крылов). Дело в том. что для Пуанкаре (как и для многих

представителей французской школы математиков) принцип

детерминизма был святыней. Он не мог даже допустить мысли о

возможной ревизии понятий "причина" и "следствие". Этот эпизод -

пример тому, как даже великий ум, будучи в плену сложившихся

представлений, не может оценить значение своих же собственных

результатов.

Что касается Эренфеста, то здесь дело в другом. Главной причиной

самоубийства, повидимому, послужили трагические обстоятельства

семейного плана. Хотя. и в этом случае сознание неспособности решить

поставленную задачу, возможно, играло важную роль.

Что касается Н.С. Крылова, то его ранняя кончина казалась

естественной: слабое здоровье, усугубленное тяготами военных лет.

Однако. и его научный путь не был усеян розами. Коллеги Н.С. Крылова

отнеслись к его идее с настороженностью и поставили вопрос: Откуда

берутся малые случайные возмущения? По отношению к неустойчивым

процессам такой вопрос, как мы теперь знаем, не корректен и лишен

смысла, однако, тогда он казался естественным. Ими же (коллегами)

был подсказан ответ: случайные возмущения следуют из соотношения

неопределенности (т.е. из квантовой механики). Крылов, под давление

общественности. согласился с этим ответом (хотя. внутренне,

повидимому, был не удовлетворен им). Вскоре выяснилось. что такой

ответ не верен. поскольку в квантовой механике проблема

необратимости времени стоит не менее остро. чем в классической

(подробнее мы обсудим её позже). В результате в памяти физиков Н.С.

Крылов остался, как человек, который пытался проблему необратимости

в классике решить за счет квантовой механики, в чем был не прав.

Повлияли ли научные дискуссии на судьбу Н.С. Крылова - судить не

будем, важно. что его идеи не были забыты.

Далее события развивались менее драматично. В работах Колмогорова

[16], Синая и Амосова [17,18,19] идеи Крылова были оформлены

математически корректно. Сейчас результаты известны как теорема

Синая . Изложим суть дела.

В механике обратимость во времени означает следующее.

Пусть тело (например, шар в биллиарде Больцмана) в начальный момент

(t=0) имеет координаты x0 и скорость v0 и далее движется в

соответствии с законами механики. Если в момент времени t1 изменить

знак скорости, то по прошествии того же времени t1 тело вернется в

точку x0 и будет иметь скорость, равную - v0. (далее такой процесс

будем называть обратимым). Этот результат связан с инвариантностью

уравнений по отношению к инверсии времени (о чем уже шла речь

выше). Это же свойство обеспечивает сохранение энергии в

классической механике.

Если такую процедуру провести со всеми шарами биллиарда Больцмана,

то все они вернутся на исходные места (хотя и будут иметь

противоположные скорости).

В частности, если вначале (t=0) все шары были сконцентрированы в

малой части доступного пространства, то после описанной процедуры

они должны собраться там же.

Этот результат означает, что энтропии начального и конечного

состояний должны быть одинаковы и, следовательно, энтропия в

динамических процессах не может возрастать (что и составляло суть

возражений Цермелло).

Ясно, с другой стороны, что молекулы газа ведут себя иначе и никогда

не собираются обратно. При расширении газа энтропия возрастает и не

может затем уменьшиться, даже если изменить знаки скоростей.

В чем здесь дело? Утверждать, что уравнения движения механики не

применимы к шарам нельзя; траектории шаров должны им подчиняться

(и реально подчиняются).

Для решения парадокса было привлечено понятие устойчивости; в этом

и заключалась идея Крылова.

В задаче Больцмана, следует задаться вопросом: устойчиво ли движение

шаров в биллиарде? Если оно устойчиво, то Цермелло и Пуанкаре правы

, и результаты Больцмана не корректны. Если оно неустойчиво, то это

обстоятельство и является "причиной" необратимости процесса. Тогда

строгие математические расчеты механических траекторий не могут

описать реальный процесс; необходим другой подход, другой метод

расчета, который позволил бы получить устойчивые результаты. Метод

усреднения, который использовал Больцман, позволяет получить

устойчивые результаты для средних величин и потому является

конструктивным и в этом смысле корректным. Он вполне оправдан в

случае, когда траектории шаров неустойчивы.

Рассмотрим, устойчивы ли траектории шаров в биллиарде Больцмана.

Движения шаров между соударениями нейтральны, поэтому

неустойчивость может возникнуть лишь при соударении шаров. Задачу

можно упростить и рассмотреть многократное отражение материальной

точки от выпуклой поверхности кривизны R (R=2r, где r - радиус шара).

Для этого представим, что точка находится в ограниченном

пространстве, в котором хотя бы одна из отражающих поверхностей

выпукла (схема процесса приведена на рис. 2.6). Эта задача была

поставлена и решена Л.Г. Синаем, и рисунок 2.6 носит название

"биллиард Синая".

Не будем детально излагать теорему Синая, лишь на примере поясним

суть дела. Рассмотрим угловые отклонения возмущенной траектории от

исходной до и после соударения.

Траектория шара представляет собой ломаную линию. Точки излома

соответствуют отражениям шара от стенки, плоской или выпуклой. В

обоих случаях угол падения bi равен углу отражения.

Зададимся вопросом: устойчиво ли это движение и каковы числа

Ляпунова траектории . Для этой цели проанализируем угловые

отклонения. Рассмотрим два прямолинейных участка до и после

отражения от выпуклой стенки (i-ый и i+1-ый).

Сравним две траектории, одна из которых на i-ом участке отклонена от

другой на малый угол ai <<1, и вычислим угол отклонения ai+1 на

следующем участке. Он равен:

(2.18)

где: li -длина пробега.

Вывод рекуррентного соотношения (2.18) легко провести, используя

рис. 2.6 и сведения из школьного курса геометрии.

Из (2.18) следует, что угловое отклонение возрастает при каждом

отражении от выпуклой стенки. Используя соотношение (2.18), можно

угловое отклонение am после m-ого соударения выразить через

начальное угловое отклонение a0

(2.19)

где: a0 -начальное отклонение (при t=0); n-

число соударений за единицу

времени ( m=nt); черта над логарифмом означает усреднение по числу

соударений Из (2.19) следует, что движение шара в биллиарде Синая

неустойчиво, числа Ляпунова положительны и равны

(2.20)

Этот вывод справедлив по отношению к любой траектории, в которой

имеет место соударение с выпуклой поверхностью. Более того, этот

вывод сохраняется и для обратного процесса, поэтому систему можно

считать глобально неустойчивой.

Рассмотрим структуру фазового пространства системы. Имеется четыре

динамических переменных: две координ

аты x и y и два импульса px и py

. Закон сохранения энергии накладывает ограничение:

(2.21)