Черевко А.И., Ивлев М.Л., Федотова А.А. Электротехника и электроника. (Часть I) Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 5.25
Пример расчета сложных цепей постоянного тока.
1. Пример расчета цепи методом уравнений Кирхгофа.
В цепи, изображенной на рис. 5.26, заданы величины э.д.с.
источников и сопротивления резисторов: Е
1
=100 В, Е
2
=75 В, R
1
=10 Ом,
R
2
=15 Ом, R
3
=20 Ом. Определить токи в ветвях схемы; проверку
правильности решения произвести путем составления уравнения баланса
мощностей цепи.
1.1. Произвольно направим токи во всех ветвях схемы (см. рис. 5.26).
1.2. Количество ветвей в схеме равно трем, следовательно, в схеме три
различных тока. Для их нахождения следует составить три уравнения:
Рис. 5.26. Схема для расчета
одно по первому закону Кирхгофа (т.к. число узлов в схеме равно двум), и
два по второму закону Кирхгофа. Для составления уравнений по второму
закону Кирхгофа необходимо задать направления обхода
соответствующих контуров (см. рис. 5.26).
1.3. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «b». Токи,
подтекающие к узлу, возьмем со знаком «–», вытекающие из узла – со
знаком «+»:
0
321
=+−
III
.
В контуре I направление обхода совпадает с направлениями токов I
1
,
I
2
и э.д.с. Е
1
и Е
2
, поэтому уравнение, составленное для данного контура по
второму закону Кирхгофа, содержит слагаемые со знаком «+»:
212211
EERIRI
+=+
.
41
В контуре II направление обхода не совпадает с направлениями
токов I
2
, I
3
и э.д.с. Е
2
, поэтому уравнение, составленное для данного
контура по второму закону Кирхгофа, содержит слагаемые со знаком «–»:
23322
ERIRI
−=−−
Получаемая таким образом система из трех уравнений с тремя
неизвестными
23322
212211
321
0
ERIRI
EERIRI
III
−=−−
+=+
=+−
может быть решена любым удобным способом. Решение системы
уравнений дает следующий результат: I
1
= 7,7 A; I
2
= 6,5 A; I
3
= –1,2 А.
Знак «–» для полученного значения тока I
3
означает, что истинное
направление тока противоположно первоначально выбранному.
1.4. Произведем проверку правильности определения токов путем
составления баланса мощностей цепи. В общем случае уравнение баланса
мощностей имеет вид
∑∑
==
=
m
k
ПР
k
n
i
ИСТ
i
PP
11
,
где
∑
=
n
i
ИСТ
i
P
1
– сумма мощностей источников энергии, имеющихся в
электрической цепи, i – номер источника, n – общее количество
источников;
∑
=
m
k
ПР
k
P
1
– сумма мощностей, потребляемых приемниками
(нагрузками), имеющимися в цепи, k – номер приемника, m – общее число
приемников. При этом мощность источника э.д.с. определяется как
произведение его э.д.с. на протекающий через источник ток; при
совпадении направлений э.д.с. и тока указанное произведение входит в
уравнение со знаком «+» (источник работает в режиме генератора
энергии), а если направления э.д.с. и тока различны, их произведение
входит в уравнение со знаком «–» (источник работает в режиме
потребителя энергии). Мощность потребителя определяется как
произведение его сопротивления на квадрат протекающего через него тока.
Таким образом, для рассматриваемой цепи уравнение баланса
мощностей имеет вид
3
2
32
2
21
2
12211
RIRIRIIEIE
++=+
.
После подстановки числовых значений получаем для левой части
(суммарная мощность источников) 1257,5 Вт, для правой части (суммарная
мощность приемников) 1255,5 Вт. Баланс мощностей сошелся, токи
рассчитаны верно (некоторая разница числовых значений правой и левой
частей уравнения баланса мощностей объясняется, в первую очередь,
округлением результатов предыдущих вычислений; баланс мощностей
считается сошедшимся, если разница правой и левой частей уравнения
баланса мощностей не превышает 5%).
42
2. Пример расчета цепи методом контурных токов.
Пусть требуется рассчитать цепь, изображенную на рис. 5.26,
методом контурных токов. Значения э.д.с. источников и сопротивления
резисторов – те же, что и в предыдущем примере.
2.1. Выберем направления контурных токов I
11
и I
22
(см. рис. 5.27).
Рис. 5.27. Схема для расчета
2.2. Рассчитаем собственные и взаимные сопротивления контуров:
R
11
= R
1
+ R
2
= 25 Ом;
R
22
= R
2
+ R
3
= 35 Ом;
R
12
= R
21
= –R
2
= –15 Ом.
Взаимное сопротивление R
12
= R
21
берем со знаком «–», так как
контурные токи в нем не совпадают по направлению.
Рассчитаем контурные э.д.с.:
Е
11
= Е
1
+ Е
2
= 175 В;
Е
22
= –Е
2
= –75 В.
Контурная э.д.с. Е
22
имеет знак «–», так как направление контурного
тока I
22
не совпадает с направлением э.д.с. Е
2
.
2.3. Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для
контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
2222222111
1112221111
ERIRI
ERIRI
=+
=+
Решение данной системы дает следующий результат: I
11
=7,7 A; I
22
=1,2 А.
2.4. Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I
1
= I
11
= 7,7 A;
I
2
= I
11
– I
22
= 6,5 A;
I
3
= I
22
= 1,2 А.
2.5. Проверка правильности расчета токов может быть произведена путем
составления уравнения баланса мощностей (так же, как это сделано в
примере 1).
3. Пример расчета цепи методом наложения.
Пусть требуется рассчитать цепь, изображенную на рис. 5.26,
методом наложения.
3.1. Как известно, принцип наложения позволяет расчленить сложную
задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой
43
сложной цепи действует только одна э.д.с., а все остальные источники
э.д.с. замыкаются накоротко (исключаются из схемы).
3.2. В рассматриваемой цепи имеются два источника э.д.с., следовательно,
задача ее расчета распадается на две более простые задачи. Для их
решения следует составить так называемые частичные схемы замещения,
представленные на рис. 5.28. На рис. 5.28а изображена первая частичная
схема, содержащая только источник э.д.с. Е
1
; по ветвям этой схемы
протекают токи I
׀
1
, I
׀
2
, I
׀
3
. На рис. 5.28б представлена вторая частичная
схема с источником Е
2
и токами I
׀׀
1
, I
׀׀
2
, I
׀׀
3
.
а б
Рис. 5.28. Частичные схемы замещения
Получаемые таким способом частичные схемы могут быть
рассчитаны любым удобным способом (проще всего схемы с одним
источником энергии рассчитывать с помощью законов Ома и Кирхгофа); в
результате расчета получают значения токов.
3.3. Реальные токи, протекающие в ветвях исходной схемы, находят путем
алгебраического суммирования (суперпозиции) токов, протекающих в тех
же ветвях каждой из частичных схем замещения, с учетом их направления.
Для рассматриваемого случая реальные токи будут определены как
111
III
′′
+
′
=
;
222
III
′′
+
′
=
;
333
III
′′
+
′
=
.
3.4. Проверка правильности расчета токов может быть произведена путем
составления уравнения баланса мощностей (так же, как это сделано в
примере 1).
6. Задание 3. Расчет цепей переменного тока символическим методом
Задание: для электрической цепи переменного тока,
соответствующей номеру варианта, с параметрами, приведенными в табл.
6.1, выполнить следующее:
1.Вычертить заданную цепь, выписать заданные величины э.д.с. и
сопротивлений;
2.Построить схему замещения заданной цепи и определить полные
комплексные сопротивления ветвей электрической цепи;
44
3.Произвести расчет всех комплексных токов и напряжений на участках
цепи символическим методом;
4.Рассчитать сопряжённые комплексы токов;
5.Вычислить комплексы мощности источника и приёмников; произвести
проверку правильности расчета токов путем составления уравнения
баланса мощностей цепи;
6.Записать мгновенные значения токов и напряжений на участках цепи;
7. Построить векторную диаграмму токов и напряжений в комплексной
плоскости.
Таблица 6.1
Варианты задания и параметры элементов схем
Вари-ант
Схема (рис.)ис.)
Сопротивления элементов схемы, Ом
Параметры
источника
R
1
X
1
R
2
X
2
R
3
X
3
R
4
X
4
R
5
X
5
U, В ψ
u
, град
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 6.1 3 4 4 3 8 6 6 8 0 5 40 60
2 6.2 0 8 6 8 3 4 3 4 4 7 50 10
3 6.3 6 8 4 3 3 4 0 6 7 8 60 30
4 6.4 2 6 4 4 0 6 1 5 4 6 90 60
5 6.5 0 3 4 3 3 4 2 6 4 4 70 45
6 6.6 5 4 3 4 6 8 4 3 8 6 80 0
7 6.7 7 2 3 3 3 5 4 3 4 4 40 60
8 6.8 6 3 3 4 3 4 0 4 6 5 100 30
9 6.9 5 4 2 5 4 3 3 4 8 5 90 45
10 6.10 3 4 6 8 0 4 7 5 2 5 70 0
11 6.11 5 0 0 4 3 4 4 3 6 8 100 60
12 6.12 4 4 3 4 3 4 0 6 4 3 40 0
13 6.13 4 4 0 3 2 5 4 8 3 4 50 30
14 6.14 3 4 6 8 4 3 2 5 4 5 80 45
15 6.15 2 4 3 4 3 4 4 4 0 5 100 60
16 6.16 6 8 0 5 4 3 2 5 3 6 70 0
17 6.17 5 2 4 4 5 7 3 4 4 3 50 30
18 6.18 3 4 6 8 3 0 2 5 3 4 90 15
19 6.19 0 4 3 4 4 3 3 6 6 8 30 45
20 6.20 6 8 6 8 4 5 4 4 0 4 70 60
21 6.21 4 2 4 3 6 8 0 3 8 6 60 0
22 6.22 0 4 5 2 0 5 8 6 4 4 40 90
23 6.23 3 4 0 4 2 0 2 5 3 4 80 45
24 6.24 4 4 4 4 0 3 4 4 2 5 100 30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
25 6.25 5 7 3 4 3 4 0 2 6 8 90 0
26 6.1 5 8 3 4 4 3 3 4 0 6 60 30
27 6.2 0 6 4 3 5 8 2 5 4 2 40 15
28 6.3 4 4 2 6 5 2 0 6 5 4 30 0
29 6.4 4 4 5 2 0 5 6 8 3 4 60 45
30 6.5 0 4 6 8 3 4 5 3 3 4 90 20
31
6.6
8 6 4 4 3 4 4 3 8 6 100 30
32
6.7
4 8 6 5 4 3 3 4 4 3 60 0
45
33
6.8
4 3 5 4 2 5 0 3 6 8 80 45
34
6.9
2 6 4 4 3 4 6 8 3 4 60 60
35
6.10
8 6 5 1 0 4 3 6 4 3 40 90
36
6.11
4 0 0 3 4 6 3 4 6 8 80 30
37
6.12
3 5 6 8 4 3 0 2 4 4 50 20
38
6.13
5 2 0 4 3 4 3 4 6 8 60 60
39
6.14
4 4 3 4 2 5 6 8 3 6 90 30
40
6.15
4 4 8 6 3 4 2 5 0 4 80 0
41
6.16
2 5 0 2 3 4 4 2 7 4 50 20
42
6.17
6 8 3 4 6 2 3 4 4 2 100 60
43
6.18
4 3 6 2 3 0 6 8 3 4 40 90
44
6.19
0 4 3 4 2 5 8 2 8 6 70 20
45
6.20
3 4 2 5 3 2 3 4 0 8 50 45
46
6.21
6 3 4 4 2 5 0 6 3 4 90 60
47
6.22
0 2 3 4 0 8 2 5 3 4 80 30
48
6.23
6 8 0 5 4 0 5 2 4 3 100 0
49
6.24
3 4 4 3 0 6 8 6 3 4 60 20
50
6.25
2 5 4 3 6 8 0 4 2 5 50 45
Варианты схем для выполнения задания
Рис. 6.1 Рис. 6.2
Рис. 6.3 Рис. 6.4
46
Рис. 6.5 Рис. 6.6
Рис. 6.7 Рис. 6.8
Рис. 6.9 Рис. 6.10
Рис. 6.11 Рис. 6.12
47
Рис. 6.13 Рис. 6.14
Рис. 6.15 Рис. 6.16
Рис. 6.17 Рис. 6.18
Рис. 6.19 Рис. 6.20
Рис. 6.21 Рис. 6.22
48
Рис. 6.23 Рис. 6.24
Рис. 6.25
Пример расчета простой цепи переменного тока символическим
методом.
1. Пусть задана схема, изображенная на рис. 6.26, с параметрами: R
1
= 5
Ом; R
2
= 10 Ом; R
3
= 4 Ом; R
4
= 8 Ом; R
5
= 6 Ом; X
1
= 8 Ом; X
2
= 6 Ом; X
3
=
10 Ом; X
4
= 10 Ом; X
5
= 5 Ом; параметры источника: U = 220 B, ψ
u
= 45
0
.
Рис. 6.26. Исходная цепь для расчета
2. Строим схему замещения (рис. 6.27) и определяем комплексные
сопротивления ветвей и комплекс входного напряжения. На схеме
замещения обозначим условные положительные направления токов в
ветвях.
Рис. 6.27. Схема замещения исходной цепи
49
Полные комплексные сопротивления ветвей схемы замещения:
ОмejZ
j
,43.985
99.57
1
=+=
– сопротивление имеет активно-
индуктивный (R-L) характер;
ОмejZ
j
,66.11610
96.30
2
−
=−=
– сопротивление имеет активно-
емкостный (R-C) характер;
ОмejZ
j
,77.10104
2.68
3
=+=
– сопротивление имеет активно-
индуктивный (R-L) характер;
ОмejZ
j
,8.12108
34.51
4
−
=−=
– сопротивление имеет активно-
емкостный (R-C) характер;
ОмejZ
j
,81.756
81.39
5
−
=−=
– сопротивление имеет активно-
емкостный (R-C) характер.
Комплекс входного напряжения:
5615556155220
45
.j.
j
eU
+==
, В.
3. Произведем расчет комплексных токов и напряжений на всех участках
цепи символическим методом. Для этого найдем комплекс эквивалентного
сопротивления всей цепи (т.е. приведем ее к виду, представленному на
рис. 6.28).
Рис. 6.28. Схема с эквивалентным сопротивлением
Определим эквивалентные сопротивления (сначала отдельных
участков схемы замещения, а затем эквивалентное сопротивление всей
цепи):
Омje
ZZ
ZZ
Z
j
,39.349.385.4
18.44
54
54
45
−==
+
⋅
=
−
;
ОмjeZZZ
j
,61.649.710
43.41
5,43345
+==+=
;
Омje
ZZ
ZZ
Z
j
,98.058.666.6
47.8
45,32
45,32
2345
+==
+
⋅
=
;
ОмjeZZZ
j
экв
,98.858.1165.14
79.37
345,21
+==+=
.
Комплексы токов в ветвях можно найти как:
А,.j.e.
e.
e
Z
U
I
.j
.j
j
экв
8919140215
6514
220
217
7937
45
1
+====
Aje
e
ee
Z
ZI
I
j
j
jj
,24.689.558.8
66.11
66.602.15
64.46
96.30
47.821.7
2
2345
1
2
+==
⋅
=
⋅
=
−
50