Ченцов С.В. Автоматизированное проектирование средств и систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

, B

, C

, B

, C

, B

, C

, B

, C

= u

u = u

= y

, B

, C

, B

, C

u u

= y

A, B, C

Рис. 4.4

Параллельное соединение. Уравнения системы, с учетом особенностей

соединения, указанных на рис. 4.4, а

, записываются как

;

uBxAx





;

xCxCy 

отсюда

;

 





 





 



yCC









ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Окончательно матрицы соединения имеют вид –



;; .

ABCCC









Последовательное соединение –

;

xCBxAx

uBxAx





y = C

;

в матричном виде –

21 2

;

BC A

 





 





 











окончательно имеем



21 2

;;0.

BCC

BC A









Обратная связь –

;

211

xCBxAx

xCBuBxAx







y = C

;

в матричном виде –

112

21 2

;

ABC

BC A





 







 





 













Следовательно,



112

21 2

;; 0.

ABC

ABCC

BC A











ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Для линейных систем легко показать справедливость следующего ре-

зультата, называемого принципом суперпозиции: эффект, вызываемый сум-

мой нескольких воздействий, равен сумме нескольких воздействий, равен

сумме эффектов от нескольких воздействий в отдельности. Закон изменения

вектора состояний линейной системы представляется в виде суммы свобод-

ного и вынужденного колебания

x(t) = x

(t) + x

(t).

Свободное движение x

(t) происходит при отсутствии внешнего воз-

действия в ненулевых начальных условиях [4

]. Оно определяется решением

однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению со-

стояний

)()()(





с начальными условиями x(t0) = x0.

Вынужденное движение x

(t) – это реакция системы на внешнее воз-

действие u(t) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением

неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях.

Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотноше-

ниями, поведение векторов состояния и выхода определяется по формулам

() (, )( ) (,) ()() ,

tttxt tBud      





(4.4)

() () (, ) ( ) () (, ) ( ) ( ) ,

yt Ct tt xt Ct t B u d









(4.5)

где Ф(t,) – переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением

уравнения

),()(

),(









ttA



(4.6)

с начальным условием Ф(, ) = Е.

Первые слагаемые в (4.4)

, (4.5) описывают свободное движение, а вто-

рые – вынужденное.

Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями

(4.3)

, законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по

формулам

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

() () (0) ( ) ( ) ,

ttx tBud     



() () (0) ( ) ( ) ,

yt C tx C t Bu d   



где Ф(t – ) – переходная матрица стационарной системы, зависящая от раз-

ности t – . В данном случае решение уравнения (4.3)

имеет вид

(, ) ( ) exp[ ( )].tt At 

Для проектирования структурных схем СУ удобно применять также

аппарат теории систем массового обслуживания. Системы массового об-

служивания (СМО) – системы, назначением которых является обслуживание

поступающих в систему заявок.

В СМО различают: статические объекты – обслуживающие аппараты

(ресурсы или каналы), которые моделируют средства обработки информа-

ции, например, ЭВМ, аппаратура передачи данных, аппаратные и программ-

ные средства; динамические объекты – транзакты или заявки, которые моде-

лируют решаемые в сист

еме задачи. Если с помощью СМО моделируются

производственные линии, то технологическое оборудование отображается в

виде обслуживающего аппарата (ОА), а обрабатываемые детали отображают-

ся в виде заявок.

Схема простейшей СМО приведена на рис. 4.5

[6], где ГЗ – генератор

заявок, О – очередь, ОА – обслуживающий аппарат.

Задача анализа СМО формируется как определение выходных парамет-

ров системы при заданных внутренних (ОА) и внешних (заявок) параметрах.

Выходными параметрами системы могут быть производительность, быстро-

действие, среднее и максимальное время обслуживания заявок и т. д.

Основные типы СМО:



в зависимости от числа ОА параллельно обрабатывающих входной

поток заявок: одноканальные, многоканальные;



от числа последовательно включенных ОА: однофазные, многофаз-

ные;

Рис. 4.5

О ОАГЗ

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

 замкнутая СМО – с циркуляцией постоянного числа заявок внутри

системы;



сеть СМО – структуры из ОА, соединенные произвольным образом.

Состояние СМО характеризуется вектором фазовых переменных её

элементов. Функционирование СМО представляется как процесс прохожде-

ния заявок через систему. При этом заявка может войти в некоторый ОА для

обслуживания. Состояние ОА представлено двоичной величиной W = {«сво-

боден», «занят»} и r – длиной очереди заявки на входе ОА (множ

ество целых

чисел). Состояние ОА характеризуется множеством U = {«обслуживание»,

«ожидание»}

Правило, по которому заявки поступают из очереди на обслуживание,

называется дисциплиной обслуживания. Приоритет – величина, выражающая

преимущественное право на обслуживание. Если все заявки имеют равные

приоритеты, то дисциплина обслуживания бесприоритетная. Часто исполь-

зуют бесприоритетную дисциплину обслуживания FIFO – «первым пришел –

первым обслужен». Применя

ется также дисциплина LIFO, по которой заявки

выбираются из конца очереди. Возможны дисциплины со случайным выбо-

ром заявок из очереди.

На входе ОА для каждого приоритета своя очередь. Заявки из одной

очереди обслуживаются по FIFO. Заявки из более приоритетной очереди об-

служиваются раньше заявок с низким приоритетом.

Различают приоритеты: абсолютный – поступая на вход занятого ОА

прерывает обслуживание заявк

и с более низким приоритетом; относитель-

ный – прерывание начатого обслуживания не происходит; динамический –

может меняться в процессе обработки заявки в системе.

В общем случае обслуживание заявки ОА характеризуется промежут-

ком времени, необходимым для обслуживания, и является случайной вели-

чиной с некоторым законом распределения. Чаще всего используются экспо-

ненциальное и нормальное распределения. Мат

ематическое ожидание этого

закона – среднее время обслуживания заявки.

Для получения математических моделей объектов в виде моделей СМО

нет формализованных методов. Разработанная проектировщиком модель, как

правило, описывается на языке моделирования, который имеет ту или иную

специализацию и отражает определенные концепции моделирования.

Существуют два типа моделей СМО: аналитические модели СМО,

имитационные модели СМО.

Аналитич

еские модели СМО – совокупность явных зависимостей Y от

X и Q. Вектор X составляют параметры ОА. Вектор Q – параметры входных

потоков заявок. Допускают, что время обслуживания заявок и интервал

времени между соседними заявками распределены по экспоненциальному

закону



FY e dx e





 





ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Большинство практических задач не удается решать в должном объеме

на основе аналитических моделей.

Имитационные модели СМО – воспроизводят обслуживание в системе

множества заявок при заданных статистических сведениях о входных пото-

ках и ресурсах СМО. Имитационная модель СМО состоит из моделей

элементов, в качестве которых фигурируют: источники входного потока зая-

вок – алгоритм, по которому вычисляются момен

ты поступления заявок; уст-

ройства – алгоритм выработки значений интервалов обслуживания; память –

алгоритм определения объема памяти, требующегося для обслуживания за-

явки; узел – отображает маршрут движения заявки, связи между элементами

модели. Следовательно, имитационная модель СМО представляет собой ал-

горитм, состоящий из упорядоченных обращений к моделям элементов (ис-

точников, устройств, памятей, узлов).

Таки

м образом, в зависимости от целей функционального проектиро-

вания при рассмотрении СУ на самом верхнем уровне абстракции (первом)

возможны различные описания систем управления и их структурных схем

в соответствии с выбранным математическим аппаратом.

С повышением степени детализации описания СУ переходят на сле-

дующий уровень абстрагирования (второй), являющийся более низким по

отношению к предыдущему – уровень устройств (средств) СУ.

Как и на первом уровне ММ устройств, СУ может быть представлена

в виде структурной схемы. Например, одним из часто встречающихся уст-

ройств в составе СУ является электронный усилитель, ММ которого приве-

дена на рис. 4.6

Электронный усилитель работает в малосигнальном режиме и состоит

из двух каскадов и цепи обратной связи, имеющих передаточные функции

W1(p), W2(p) и W3(p) соответственно. Математическая модель может быть

получена непосредственно по схеме рис. 4.6





)()()()(

ВЫХ3ВХВЫХ

pUpWpUKpU





,

Рис.8.3

(p)

(p)W

(p)

Uвх(p) Uвых(p)

Рис. 4.6

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

т. е. передаточная функция усилителя

)(1)(

)(

3ВХ

ВЫХ

pKW





,

(4.7)

где K= W1(p) W2(p).

Математическое описание многих устройств СУ, а также объектов

управления, в общем случае есть система обыкновенных дифференциальных

уравнений, записанная на общепринятом математическом языке, безотноси-

тельно к методу численного решения. Применительно к системам нелиней-

ных ОДУ различают две формы представления:

общая – система ОДУ представлена в неявном виде



0),,( tV

,

(4.8)

где V – вектор фазовых переменных, F – вектор-функция;

нормальная – система уравнений представлена в явном виде, разре-

шенном относительно вектора производных

(,).

FV t





(4.9)

Нормальная форма представления удобна для использования ряда методов

анализа технических систем.

Параметрами ММ устройств СУ будем считать составляющие коэффи-

циентов дифференциальных уравнений, которые несут определенный физи-

ческий смысл (например, моменты инерции, коэффициенты усиления, посто-

янные времени).

Линеаризованная форма представления – представление уравнений мо-

дели в линейном виде. Линеаризацию выполняют с помощью разложения не-

линейных элементо

в вектора F в ряд Тейлора с сохранением в разложении

только линейных членов. После линеаризации систему (4.9)

представляют

в форме

, 1,...., ,

, 1,...., .

ij j ik k

li i

av bu i n

ycvl s





 









(4.10)

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

В этой модели имеется n взаимосвязанных дифференциальных уравне-

ний 1-го порядка, в правую часть которых входят m различных внешних воз-

действий U

, а также s алгебраических соотношений, связывающих s выход-

ных (управляемых) процессов y

с переменными состояния v

, число которых

(n) совпадает с числом уравнений. Коэффициенты a

, b

, c

– параметры мо-

дели.

Уравнения (4.10)

удобно представить в матричной форме

= AV + BU,

Y=CV



(4.11)

где V = (V

, V

, …, V

) – вектор переменных состояния, U = (U

, U

, …, U

) –

вектор внешних воздействий, Y = (Y

, Y

,..., Y

) – вектор выходов, A = {a

, i =

1, 2,..., n; j = 1, 2,..., n}, B = {b

, i = 1, 2,..., n; k = 1, 2,..., m}, C = {c

, l = 1, 2,...,

s; i = 1, 2,..., n} – матрицы параметров. Вся информация о свойствах проек-

тируемой технической системы содержится в числовых таблицах – матрицах

параметров. При анализе системы и синтезе законов управления можно будет

опираться на стандартные процедуры преобразования этих таблиц.

Ряд форм представления модели СУ получается при преобразовании ёе

уравнений на основе формул и требований выбранного численного метода

решения.

Алгебраизованная форма представления – ре

зультат представления

дифференциальных уравнений в полученных после дискретизации точках

в алгебраизированном виде с помощью формул численного интегрирования.

ММ есть система алгебраических уравнений вида

= B

где значения переменных соответствуют значениям в момент времени t

. Вид

матрицы Якоби Я

и вектора правых частей В

определяется выбранным ме-

тодом алгебраизации. Для получения ММ системы в алгебраизованной фор-

ме реализуют одну из неявных разностных формул численного интегрирова-

ния в общем виде:

nnn

μVη















,

(4.12)

где V

– значение векторов в момент времени t

, n – номер шага интегрирова-

ния,



– коэффициент зависящий от выбранного метода интегрирования и

значения шага,



– вектор зависящий от значения векторов V на предыду-

щих шагах.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Алгебраизация и линеаризация могут осуществляться по отношению ко

всем или только избранным переменным, уравнениям или их частям, что

увеличивает разнообразие возможных форм представления моделей.

Формы (4.8)

, (4.9) являются достаточно общими для отображения раз-

личных устройств СУ. ММ непрерывных процессов в СУ и их устройствах

описываются уравнениями (4.8)

, (4.9) без каких-либо изменений. ММ дис-

кретных устройств СУ получаются из уравнений (4.8)

, (4.9) как частный слу-

чай, когда функции в них определены только при t

= nT, где Т – такт дис-

кретности по времени, а n = 0, 1, 2, …

В отличие от непрерывных моделей ММ дискретной модели устанав-

ливают соотношения между решетчатыми функциями

Y(nT) = Φ[X(nT)],

значения которых могут быть определены не в любой момент времени. Для

решетчатых функций вводятся понятия квантования по времени (T) и кван-

тования по уровню (Δ). ММ дискретных устройств пред

ставляют в форме

разностных уравнений. Переход от исходных дифференциальных уравнений

к эквивалентным разностным можно сделать по-разному. В частности, пола-

гая в (4.9)

t = nT,

nTV

tdV )()( 

 , получим обобщенные разностные уравне-

ния в векторной форме [4

, 13]:

V[(n+1)T] = V(nT)+TF(V(nT), nT)

В общем случае разностное уравнение n-го порядка записывается при Т = 1

в виде

F(n, V(n), ΔV(n), …, Δ

V(n)) = 0, (4.13)

Где под конечной разностью ΔV(n) понимается выражение

ΔV(n) = V(n+1) – V(n),

И далее

V(n) = V(n+1) – ΔV(n),

………………………………..

V(n) = Δ

k-1

V(n+1) – Δ

k-1

V(n).

Раскрывая эти выражения, получим

V(n) = V(n+2) – 2V(n+1) + V(n),

(4.14)

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

V(n) = V(n+3) – 3V(n+2) +3V(n+1) + V(n),)

……………………………………….













ikk

inV

)1)((

)1(!

)(Δ



После подстановки (4.14)

в (4.13) приходим к разностному уравнению k-го

порядка в форме

F(n, V(n), V(n+1), V(n+2),…,V(n+k)) = 0. (4.15)

Если это уравнение удается представить в виде

V(n+k) = F

(n, V(n), V(n+1),…,V(n+k –1)) = 0, (4.16)

то очевидно, задав начальные значения при n = 0, V(0), V(1),…,V(k – 1), по-

лучим V

и вообще V

при любом целом n.

Уравнение (4.16)

представляет собой разностный аналог нормальной

формы (4.9)

и позволяет рекуррентно вычислить все интересующие значения

V(n).

Формы представления моделей устройств СУ определяются также ис-

пользуемыми языковыми средствами. Наряду с традиционным математиче-

ским языком используются алгоритмические языки, а также те или иные

графические изображения, облегчающие восприятие модели устройств СУ и

приводящие к представлению моделей в схемной форме.

К схемной форме представления мат

ематических моделей относится

представление моделей в виде эквивалентных схем и в виде графов. Такое

представление модели отличается высокой наглядностью, позволяет сосре-

доточить внимание на наиболее существенных связях и находить оптималь-

ное решение задач проектирования ССУ.

Использование аппарата теории графов при разработке алгоритмов

проектирования даёт удобную систему терминов и операций для описания и

решения многих задач. Графы используются при решении задач синтеза,

особенно в конструкторском проектировании, при решении задач анали

за.

Рассмотрим только те понятия и термины теории графов, которые необходи-

мы для решения задач моделирования.

Граф – объект, состоящий из двух множеств (множество узлов и мно-

жество ребер), которые находятся между собой в некотором соотношении

]. Если рёбра графа имеют определённое направление, то такой граф назы-

вают ориентированным (орграф). Рёбра орграфа называются дугами. Под-

графом является часть графа, образованная некоторым подмножеством ребер

графа и всеми инцидентными им вершинами. Если в подграф входят все