Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Подождите немного. Документ загружается.
Вопрос 1
1. По определению, функцией z=f(x,y) от двух
переменных х и у называется соответствие f,
которое каждой паре чисел (х, у) € D
сопоставляет одно и только одно число z € R.
2. По определению, функцией z=f(x,y,z) от трёх
переменных х и у и z называется соответствие
f, которое каждой тройке чисел (х, у, z) € D
сопоставляет одно и только одно число k € R.
3. поверхностью уровня называется поверхность,
для которой выполняется условие f(x, у, z)=
=const.
4. Областью изменения функции f(х , у) двух
переменных х и у называется множество
значений, принимаемых в области
определения. ( E(f) или Е ).
5. линией уровня называется линия для кот-ой
выполняется условие f(x,y)=const
6. функция от двух переменных заданная неявно,
определяется уравнением f(x,y)=0
7. графиком ф-ии двух переменных является
поверхность
8. D-область опр-я ф-ии трёх переменных, если
каждой упорядоченной тройке чисел (x, y. z) из
области D соответствует определенное число k
K R
9. D-область опр-я ф-ии двух переменных, если
каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из
области D соответствует определенное число z
Z R
( D(x, y) - некоторое множество
точек плоскости Oxy)
10. ф-я одной переменной , заданная неявно имеет
вид f(x)=0
вопрос 2
1. по определению, последовательность точек Рn
на плоскости сходится к точке Ро, если Хn-
>Xo, Y->Yo
2. множество точек P
0
(x
0
,y
0
)€R
2
называется
открытым шаром радиуса r с центром в точке
Р
0
(x
0
,y
0
,z
0
) , если для справедливо √((x-x
0
)
2
+(y-
y
0
)
2
+(z-z
0
)
2
)<r
3. множ-во наз-ся открытым, если оно состоит из
одних внутренних точек
4. окрестностью точки P
0
(x
0
,y
0
)€R
2
называется
совокупность всех точек (x,y) ,
удовлетворяющих нер-ву √((x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
)<r
5. множество точек P(x,y)€R
2
называется
открытым прямоугольником, если для a
1
<b
1
и
для a
2
<b
2
справедливо : a
1
<x<b
1
и a
2
<x<b
2
6. множество Е ограничено, если сущ. Число с>0
такое что для любой точки P(x,y)€E
выполняется неравенство x
2
+y
2
<c
7. Множество точек P(x,y) принадлежит R
2
называется кругом радиуса r с центром в точке
P
0
(x
0
,y
0
) если для d=√(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
справедливо
d<r
8. Множество точек P(x,y) принадлежит R
2
называется замкнутым прямоугольником если
для a
1
<b
1
, a
2
<b
2
справедливо a
1
=<x=<b
1
,
a
2
=<y=<b
2
9. По определению, точка P
0
(x
0
,y
0
) называется
внутренней точкой множества Е если она
входит в это множество с какой то
окрестностью.
10. Множество точек P(x,y) принадлежит R
2
называется кругом радиуса r с центром в точке
P
0
(x
0
,y
0
) если для d=√(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
справедливо
d=<r
Вопрос 3
1. по определению ф-я f(x,y) непрерывна в точке
P
0
если lim
x->xo,y->yo
f(x,y)=f(x
0
,y
0
)
для z=f(x,y) , δ
2
f(x,y)/δx
2
=∂/∂x(∂f/∂x)
2. если lim
x->xo,y->yo
f(x,y)=A, lim
x->xo,y->yo
п(x,y)=В, то
lim (f(x,y)*g(x,y))= A*B
3. по определению (на языке ξ-δ) функция f(x,y)
непрерывна в точке P
0
(x
0
,y
0
) , если для любого
ξ>0 сущ.δ :|MM
0
| <δ ,то |f(M
0
)-f(M)|<ξ
4. по определению (на языке окресностей)
функция u=f(x,y,z) имеет предел в точке
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
), равный числу А если для любого
ξ>0 существует σ т.ч. как только точка Р
попадает в окрестность т.Р
0
, то сразу
f(P)падает в ξ - окрестность т. А
5. если lim
x->xo,y->yo
f(x,y)=A, c=const, то lim cf(x,y)=
cA
6. По определению (на языке ξ-δ) функция
f(x,y,z) имеет предел в точке M(x
0
,y
0
,z
0
) равный
числу А если для любого ξ>0 существует δ: как
только т.М поподает в окестность т.М
0
то f(M)
сразуже попадает в ξ окрестность т.А.
7. Если limf(x,y)=A, limg(x,y)=B, B неравно нулю
то limf(x,y)/limg(x,y) равно А/В
8. По определению (на языке ξ-δ) предел
limf(x,y)=∞ если для любого N>0 существует
δ(N)>0:|MM0|<δ=>|f(M)|>N.
9. Если lim f(x,y)=A, lim g(x,y)=B то lim(f(x,y)
+g(x,y)) равен А+В
10. По определению (на языке прирощения
функция f(x,y) непрерывна в точке P
0
(x
0
,y
0
)
если безконечномалым прирощением
аргументов соответствует безконечномалые
прирощения функции.
Вопрос 4
1. если u=f(x,y,z) дифференцируемая функция
переменных x,y,z, причем z=φ(x,y),
дифференцируемая функция независимых
переменных x и у, то частная производная ∂u/
∂y вычисляется по формуле ∂u/∂y =∂f/∂y+∂f/
∂z*∂z/∂y
2. выражение lim
∆x->0
(f(x
0
+∆x,y
0
)-f(x
0
,y
0
))/∆x
называется частной производной по x.
3. разность f(x
0
+∆x,y
0
+∆x)-f(x
0
,y
0
) называется
полным приращением ф-ии z=f(x,y)
4. выражение lim
dy->0
(f(x
0
,y
0
+dy)-f(x
0
,y
0
))/dy
называется частной производной по у
5. разность f(x
0
+dx,y
0
)-f(x
0
,y
0
) называется
частным приращением по переменной x=d
x
f
6. Прирощение ∆
x
Z по переменной функции
z=f(x,y) вычисляется по формуле ∆
x
Z =
(x+∆x,y)-f(x,y).
7. Частной производной по y функции z=f(x,y) в
точке P
0
(x
0
,y
0
) называется
δZ/δy=lim
∆y->0
f(x,y+∆y)-f(x,y)/∆y=f ’
y
8. Прирощение ∆
y
Z по переменной функции
z=f(x,y) вычисляется по формуле ∆
y
Z =
(x,y+∆y)-f(x,y).
9. Частной производной по x функции z=f(x,y) в
точке P
0
(x
0
,y
0
) называется
δZ/δx=lim
∆x->0
(x+∆x,y)-f(x,y)/∆x=f ’
x
10. Полное приращение z=(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).
Вопрос 5
1. необходимыми усл-ми диф-ти ф-ии z=f(x,y)
производных
2. если ф-я ∂f(x,y)/∂x имеет частную
производную по y, то эта производная наз-ся
смешанной производной и обозначается
∂
2
f(x,y)/∂x∂у
3. для z=f(x,y) ∂
2
f/∂y
2
, по определению, есть
частная производная от ее частной
производной первого порядка
4. если ф-я δf(x,y)/δx имеет частную
производную по х, то эта производная наз-ся
частной производной второго порядка и
обозначается δ
2
f(x,y)/δx
2
5. для дважды дифференцируемой ф-ии z=f(x,y)
вторая частная производная δ
2
f/(δxδy), по
определению есть смешанная производная
6. Если приращение функции u=f(x,y,z)
представимо в виде ∆u=f’
x
∆x+f’
y
∆y+f’
z
∆z+
+o(√((∆x)
2
+(∆y)
2
+(∆z)
2
) то f(x,y,z) называется
дифференцируемой в точке P(x,y,z).
7. Если функция δf(x,y)/δy имеет частную
производную по x то эта производная
называется смешанной и обозначается
δf(x,y)/δyδx= f ’’
yx
(x,y)
8. Если приращение функции u=f(x,y)
представимо в виде ∆u=f’
x
∆x+f’
y
∆y+
+o(√((∆x)
2
+(∆y)
2
то f(x,y) называется
дифференцируемой в точке P(x,y).
9. Для дважды дифференцируемой функции
z=f(x,y) вторая частная производная δ
2
f/δyδx по
определению есть смешанная производная 2го
порядка.
10. Если функция δf(x,y)/δy имеет частную
производную по y то эта производная
называется частной производной второго
порядка и обозначается δ
2
f(x,y)/δy
2
Вопрос 6
1. если f’
x
(x
0
,y
0
)=f’
y
(x
0
,y
0
)=0 b A=f’’
xx
(x
0
,y
0
);
B=f’’
yy
(x
0
,y
0
); C=f’’
xy
(x
0
,y
0
) то точка P
0
(x
0
,y
0
)
есть точка максимума при АВ-С
2
>0 и A<0
2. по определению частным дифференциалом d
x
z
по х ф-ии z=f(x,y) наз-ся d
x
z=∂z/∂x dx
3. если w=f(u,v,z), причем u=φ(x,y),
v=ψ(x,y),z=g(x,y), то ∂z/∂y= δw/δu*δu/δy+δw/
δv*δv/δy+δw/δg*δg/δy
4. если даны: z=f(x,y); u=φ(x,y);v=ψ(x,y) то
частная производная δz/δy=δz/δu*δu/
y+δz/δv*δv/δy
5. если w=f(u,v,z) дифференцируемая функция
переменных u,v,z, причем v=Ψ(x,y), z=g(x,y)
дифференцируемые функции независимых
переменных x и у, то частная производная δw/
δx вычисляется по формулеδw/δx=δw/δu*δu/
δx+δw/δv*δv/δx+δw/δg*δg/δx
6. Если z=f(x,y) дифференцируемая функция
переменных x и y причем y=β(x)
дифференцируемая сложная функция
независимой переменной Х то производная
сложной функции z=f(x,β(x)) считается по
формуле δz/δx=δzδx+δz/δy*dy/dx
7. Если z=f(x,y) дифференцируемая функция
переменных x и y причем x=γ(t), y=β(t)
дифференцируемые функции независимой
переменной t то производная сложной
функции z=(γ(t) β(t)) вычисляется по формуле
δz/δt=δz/δγ*δγ/δt+δz/δβ*δβ/δt
8. Если z=f(x,y) дифференцируемая функция
переменных x и y причем x=γ(t),
дифференцируемые функции независимой
переменной y то производная сложной
функции z=(γ(t) β(t)) вычисляется по формуле
δz/δy=δzδγ+δz/δy*δβ/δy
9. Если u=f(x,y,z) дифференцируемая функция
переменных x и y причем y=γ(t), z=β(t)
дифференцируемые функции независимой
переменной x то производная сложной
функции u=(x, γ(t), β(t)) вычисляется по
формуле δu/δx=δu/δx+δu/δy*dy/dx+δu/δz*dz/dx
10. z=f(u,v), u=γ(x,y), v=β(x,y)
δz/δx=δz/δu*δu/δx+δz/δv*δv/δx
Вопрос 7
1. Ур-е (x-x
0
)/F’
x
(x
0
,y
0
,z
0
)= (y-y
0
)/F’
y
(x
0
,y
0
,z
0
)= (z-
z
0
)/F’
z
(x
0
,y
0
,z
0
) является Ур-ем нормали для
пов-ти S заданной Ур-ем F(x,y,z)=0
2. если f’
x
(P
0
)=f’
y
(P
0
)=0 , то точка P
0
(x
0
,y
0
) есть
точка экстремума при условии, что P
0
(x
0
,y
0
)-
критическая точка
3. если ф-я y=y(x) неявно задана Ур-ем f(x,y)=0,
то dy/dx=-f’
x
(x,y)/f’
y
(x,y)
4. по теореме о смешанных производных
равенство f’’
yх
(x
0
,y
0
)=f’’
xy
(x
0
,y
0
) верно, если ф-я
z=f(x,y) и её частные производные f'
x
,f’
y
, f’’
yх
,
f’’
xy
определены в точке M(x
0
,y
0
) и в некоторой
её окрестности
5. если функция z=z(x,y) неявно задана
уравнением F(x,y,z)=0 , то δz/δy=-F’
y
/F’
z
6. По определению полным дифференциалом
функции u=f(x,y) называется
dz=δz/δx*dx+δz/δy*dy
7. По опред. диф. второго пор. функции z=f(x.y)
называется диф. от ее деф. первого порядка
d2z=d(dz)=δ
2
z/δx
2
dx
2
+2δ
2
z/δxδy+δ
2
z/δy
2
dy
2
8. По определению частным диф. d
y
z по у ф-ии
z=(x,y) называется d
y
z=δf/δy*dy
9. Если функция z=z(x,y) неявно заданна
уравнением F(x,y,z)=0 то частная производная
δz/δy=-F’
y
/F’
z
10. Если функция z=f(xy) дважды деф. то для ее
смешанных соотношений верно соотношение
δ
2
z./δxδy=δ
2
z/δyδx
Вопрос 8
1. производная ∂f/∂l(P
0
) в направлении l ,
касательной к поверхности уровня ф-ии f
вточке P
0
, равна 0
2. координато вектора нормали касательной
плоскости r пов-ти S:F(x,y,z)=0 в точке Р
0
равны {δF/δx|
po
;δF/δy|
po
; δF/δz|
po
}
3. ф-я u-f(x,y,z) имеет максимум в точке Р
0
, если
сущю такая окр-ть точки Р
0
, что для любых
точек Р, пренадл-их этой окр-ти выполн-ся
нер-во f(x,y,z)<f(x
0
,y
0
,z
0
)
4. по определению экстремумами ф-ии u=f(x,y,z)
мазываются максимум и минимум ф-ии
5. если f’
x
(x
0
,y
0
)=f’
y
(x
0
,y
0
)=0 b A=f’’
xx
(x
0
,y
0
);
B=f’’
yy
(x
0
,y
0
); C=f’’
xy
(x
0
,y
0
) то точка P
0
(x
0
,y
0
)
есть точка минимума при АВ-С
2
>0 и A>0
6. Если P0 точка минимума то для du
справедливо du=0
7. Если u(x,y,z) достигает экстримума в точке
p0(x0y0z0) то необходимое условие
существования эстр. все частные производные
равны нулю.
8. Если f’
x
(x0,y0)=f’
y
(x0,y0)=0 & A=f’’xx(x0,y0),
B=f’’yy(x0,y0), C=f’’
xy
(x0,y0) то точка P
0
(x0,y0)
не является точкой экстримума если AB-C
2
<0
9. Нормаль к поверхности x-x
0
/f’x(x
0
,y
0
)=y-y
0
/
f’y(x
0
,y
0
)=z-z
0
/-1
10. Минимум в точке Po(x
0
,y
0
,z
0
) для любой точки
P(x,y,z) выполняется неравенство f(x
0
,y
0
,z
0
)基
Вопрос9
11. Нормаль к поверхности S: f(x,y,)=z в точке Ро
задаётся уравнением X-Xo/f’x (Xo,Yo)=Y-Yo/
f’y (Xo,Yo)=Z-Zo/ -1
12. Координаты вектора нормали к поверхности S
в точке Ро равны (F’x, F’y, F’z)
13. Касательная плоскость к поверхности S: z=f(x,
y) в точке Ро (Xо,Yо,Zо) задаётся уравнением
Z-Zo=f’x(X-Xo)+f’y(Y-Yo)
14. Нормаль к поверхности S: F(x,y,z)=0 в точке Ро
задаётся уравнением X-Xo/F’x (Xo,Yo,Zo)=Y-
Yo/ F’y (Xo,Yo,Zo)=Z-Zo/ F’z (Xo,Yo,Zo)
15. нормаль к кривой Г: f(x,y)=0 в точке P
0
(x
0
,y
0
)
задается уравнением
(x-x
0
)/f’
x
(x
0,
y
0
)=(y-y
0
)/f’
y
(x
0
,y
0
)
16. координаты вектора нормали касательной
плоскости к пов-ти S:z=f(x,y) в точке Р
0
равны
{δf/δx|
po
;δf/δy|
po
;-1}
17. Ур-е f’
x
(x
0
,y
0
)(x-x
0
)+ f’
y
(x
0
,y
0
)(x-x
0
)=0 явл-ся Ур-
ем касательной плоскости для этой кривой,
зад-ой Ур-ем f(x,y)=0
18. координаты вектора нормали касательной
плоскости к пов-ти S: 0=F(x,y,z) в точке Р
0
равны {δf/δx|
po
;δf/δy|
po
δf/δz|
po
;}
19. Касательная к кривой f
x
’(p
0
)(x-x
0
)+f
y
’(p
0
)(y-
y
0
)=0
20. Уравнение X-Xo/F’x (Xo,Yo,Zo)=Y-Yo/ F’y
(Xo,Yo,Zo)=Z-Zo/ F’z (Xo,Yo,Zo) – Нормаль к
поверхности S: F(x,y,z)=0 в точке Ро задаётся
уравнением
Вопрос 10
1. областью опр-я ф-ии f(x,y) двух переменных
x,y наз-ся совок-ть пар (x,y) значений х и у ,
при которых определяется ф-я f(x,y)
2. если ф-я u=f(x,y,z) с Ур-ем связи φ(x,y,z)=0
имеет в т.Р
0
условный максимум , то ф-я
Лагранжа удовлетворяет системе :∂F/∂x|
Po
=0 и
∂F/∂y|
Po
=0
3. значение производной δf/δn(P
0
) достигается в
направлении n , состовляющим с grad f(P
0
)
угол 0
0
4. для функции z=f(x,y) с уравнением связи
φ(x,y)=0 функция Лагранжа павна F(x,y)=f(x,y)
+λφ(x,y)
5. Производная u=f(x,y,z) в точке p(x0,y0,z0) в
направлении вектора n(cosλ, cosβ, cosγ)
вычисляется по формуле δu/δn=δu/δx
0
cosλ+δu/
δy
0
cosβ+δu/δz
0
cosγ
6. Имеет условные максимум ЕСЛИ существует
такая окресность тР0 для всех точек Р которой
(РнеравноР0) удволетворяющих уравнению
связи γ(x,y)=0выполняется неравенство
f(P0)>f(P)
7. grad=δu/δx i + δu/δy j + δu/δz k
8. Имеет условные минимум ЕСЛИ существует
такая окресность тР0 для всех точек Р которой
(РнеравноР0) удволетворяющих уравнению
связи γ(x,y)=0выполняется неравенство
f(P0)<f(P)
9. Если вектор n образует угол Q с grad f(p0) то
производная по направлению δf/δn(Po) равна
δf/δn(p0)=пр
n
gradK=δf/δxcosλ+δf/δycosβ+δf/δzc
osγ где Q=n^gradK
10. градиент grad f(P
0
) обр-ет с вектором нормали
n к поверхности уровня ф-ии f угол 0
0