Charan Langton. Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Подождите немного. Документ загружается.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с

Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Автор: Charan Langton

Интуитивное руководство по принципам связи

Перевод: Бабуров Антон, Едренкин Виталий

Оригинал текста на www.complextoreal.com

Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)

Модуляция – представление информации посредством изменения фазы, частоты,

амплитуды несущей или их комбинации.

Мультиплексирование - способ передачи нескольких потоков (каналов) данных по

одному каналу.

Метод OFDM является сочетанием модуляции и мультиплексирования. Обычно,

мультиплексирование относится к независимым сигналам, произошедшим от разных

источников. Поэтому возникает вопрос о том, как разделить спектр частот между этими

сигналами. В OFDM задача мультиплексирования применяется для отдельных сигналов, но

эти отдельные сигналы являются подмножеством одного основного сигнала. В OFDM сам

сигнал сначала разбивается на отдельные каналы, они модулируются данными, а затем

повторно мультиплексируется для создания OFDM несущей.

OFDM является частным случаем мультиплексной передачи с частотным разделением

(уплотнением) каналов (Frequency Division Multiplex - FDM). В качестве аналогии, FDM

канал можно представить как поток воды, вытекающий из крана, в то время как OFDM

сигнал можно представить в виде душа. Из крана вся вода поступает одним большим

потоком и не может быть разделена. А OFDM душ состоит из большого числа маленьких

потоков.

Рис. 1 - (а) Regular-FDM – большое количество воды, поступающей одной

струей. (b) Orthogonal-FDM - такое же количество воды, поступающей

посредством множества мелких струек.

Подумайте о том, какое может быть преимущество одного над другим? Очевидным является

то, что если я положу большой палец на отверстие крана, то я могу остановить поток воды,

но не смогу сделать то же самое с душем. Таким образом, не смотря на то, что кран и душ

делают одно и тоже, они по-разному реагируют на помехи.

Рис. 2 - Весь груз на одном грузовике и груз разбит на несколько грузовиков.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Еще одним способом понять это интуитивно является использование аналогии

грузоперевозки посредством грузовиков. У нас есть два варианта, арендовать один большой

грузовик или несколько маленьких. Оба метода позволяют перенести абсолютно одинаковый

объем данных. Но в случае аварии при «OFDM грузоперевозке» пострадает только 1 / 4 часть

данных. Эти четыре маленьких грузовичка, когда рассматриваются как сигналы, называются

поднесущими OFDM системы, и они должны быть ортогональны, чтобы вся эта идея

работала. Отдельные подканалы могут быть мультиплексированы с помощью частотного

уплотнения (FDM), называемого передачей на нескольких несущих (multi-carrier

transmission) или это может быть основано на мультиплексной передаче с кодовым

разделением каналов (кодовое уплотнение (CDM)), в таком случае это называется

многокодовой (multi-code) передачей.

В этом учебном пособии мы будем говорить лишь о FDM на нескольких несущих

(multi-carrier FDM) или OFDM.

Рис. 3 - FDM с несколькими несущими и мультиплексирование с многокодовым

разделением

Важность ортогональности

Основная концепция OFDM - это ортогональность поднесущих. Так как носителями

являются волны вида синус / косинус, мы знаем, что площадь под одним периодом волны

синуса или косинуса равна нулю. Это легко показать.

Рис. 4 - площадь под волной синуса и косинуса за один период всегда равна нулю.

Давайте возьмем синусоидальную волну частоты m и умножим ее на синусоиду (синус или

косинус) частоты n, где m и n - целые числа. Интеграл или площадь под полученной кривой

определяется формулой:

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Рисунок 5 - площадь под синусоидальной волной, умноженная на ее собственную

гармонику всегда равна нулю.

Путем простого тригонометрического соотношения можно показать, что это равно сумме

двух синусоид с частотами (n - m) и (n + m)

Каждое из этих двух слагаемых является синусоидой, поэтому интеграл за период равен

нулю.

Мы делаем вывод, что, когда мы перемножаем синусоиду частоты n с синусоидой частоты

m/n, площадь под их произведением равна нулю. В общем то все sinmx, cosmx, cosnx, sinnx

ортогональны друг другу при любых целых n и m. Эти частоты называются гармониками.

Эта идея является ключом к пониманию OFDM. Ортогональность позволяет осуществить

одновременную передачу на большом количестве поднесущих в ограниченной полосе частот

без их взаимного влияния друг на друга. В сущности, это подобно CDMA, где с помощью

кодов последовательность данных разделяется (также ортогонально), что позволяет многим

независимым пользователям успешно пересылать данные в одном и том же пространстве.

OFDM является частным случаем FDM (о чем и говорит его название,

FDM)

Давайте сначала посмотрим, что же такое частотное уплотнение (Frequency Division

Multiplexing - FDM). Если у меня есть полоса, которая начинается с частоты a и

заканчивается частотой b, я могу разделить ее на четыре одинаковых интервала. В частотном

пространстве модулированные несущие будут выглядеть следующим образом.

Рис. 6 - FDM несущие размещены рядом друг с другом.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Частоты а и b могут быть какие угодно, целые или не целые, так как никакой взаимосвязи

между а и b не подразумевается. То же самое верно и для центральных частот несущих,

которые основаны на частотах, которые не взаимосвязаны друг с другом.

Но что, если бы частоты с

и с

были такими, что для любого целого n верно следующее.

Так, что

Каждая из этих трех частот является гармоникой с

. В этом случае, поскольку эти несущие

ортогональны, они не мешают друг другу, когда складываются вместе. Поскольку в FDM мы

обычно не имеем частот, которые подчиняются указанному выше отношению, мы получаем

помехи от соседних несущих. Для обеспечения защиты от взаимодействия смежных каналов,

сигналы разносятся дальше друг от друга.

Символьная скорость, которая может быть получена с использование PSK (фазовой

манипуляции - ФМ), в полосе пропускания b, определяется как:

где B

– полоса пропускания нижних частот (lowpass bandwidth) и В

- полоса пропускания

(passband bandwidth). Это соотношение допускает применение идеального фильтра

Найквиста со спадом частотной характеристики = 0.0. Так как это невозможно, мы

используем фильтрацию типа корня из приподнятого косинуса (root raised cosine - RRC),

которая для спада α дает следующее соотношение.

Таким образом, если нам требуются три несущие, каждая со скоростью передачи данных =

20 Мбит / с, то мы могли бы представить наши BPSK несущие, как показано ниже. Пусть R

= 20, B = 20 * 1.25 = 25 МГц. Каждая несущая может отстоять от другой на (25 + 2,5) 27,5

МГц, для обеспечения 10% защитной полосы. Частоты не будут ортогональны, но в FDM

нам это и не важно. Защитная полоса позволяет избежать взаимного влияния частот.

Пример OFDM, использующего 4 несущие

В OFDM мы имеем N несущих, N может быть любое от 16 до 1024 в данной технологии и

зависит от окружающей среды, в которой система будет использоваться.

Давайте рассмотрим следующую последовательность битов, которую мы хотим передать и

покажем создание OFDM сигнала с использованием 4 несущих. Сигнал имеет символьную

скорость равную 1 и частоту дискретизации равную 1 выборке на символ, так что каждый

переход соответствует биту.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Рис. 7 - битовый поток, который будет промодулирован с помощью 4 несущих OFDM.

Первые несколько бит 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, ...

Давайте теперь запишем эти биты в ряды по четыре, поскольку этот пример будет

использовать только четыре поднесущие. Фактически, мы сделали преобразование из

последовательного представления в параллельное.

Таблица I – Последовательно-параллельное преобразование бит данных

c1 c2 c3 c4

1 1 -1 -1

1 1 1 -1

1 -1 -1 -1

-1 1 -1 -1

-1 1 1 -1

-1 -1 1 1

Каждый столбец представляет биты, которые будут переноситься одной поднесущей.

Давайте начнем с первой несущей, с1. Какой должна быть ее частота? Из теоремы отсчетов

Найквиста (критерий Найквиста) мы знаем, что наименьшая частота, способная передавать

информацию, должна быть в два раза больше скорости передачи информации. В этом случае

скорость передачи информации одной несущей будет равна 1/4 или 1 символ в секунду для

всех 4 несущих. Таким образом, наименьшая частота, которая может передать битрейт

(скорость потока битов) равный 1/4 равна 1/2 Гц. Но мы выбрали 1 Гц для удобства. Если бы

для моей начальной частоты я взял 1/2 Гц, то мои гармоники были бы 1, 3/2 и 2 Гц. Я мог бы

выбрать 7/8 Гц для начала, тогда гармоники будут 7/4, 7/2, 21/2 Гц.

Для этого примера, в качестве нашей модуляции, мы выбрали BPSK. (Для QPSK,

представьте себе то же самое идущее на Q канал, а затем удвойте битрейт, сохраняя ту же

самую символьную скорость.) Обратите внимание, что я могу выбрать любой другой метод

модуляции QPSK, 8PSK, 32-QAM или любой другой. Здесь нет ограничений на то, какую

модуляцию использовать. Я даже могу использовать TCM (модуляция решетчатым кодом),

которая обеспечивает кодирование в дополнение к модуляции.

Несущая 1 - Нам необходимо передать 1, 1, 1 -1, -1, -1, которые показаны ниже наложенными

на BPSK несущую с частотой 1 Гц (рис.8). Первые три бита равны 1, а последние три равны -

1. Если бы я показал Q канал этой несущей (которая была бы косинусом), то это была бы

QPSK модуляция.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Рис. 8 - поднесущая 1 и модулирующие биты (первый столбец Таблицы I)

Несущая 2 – следующая несущая с частотой 2 Гц. Это ближайшая ортогональ/гармоника к

первой несущей с частотой 1 Гц. Теперь возьмем биты во второй колонке, отмеченной с2, 1,

1, -1, 1, 1, -1 и промодулируем данную несущую этими битами, как показано на рис.9

Рис. 9 - поднесущая 2 и модулирующие биты (2-й столбец Таблицы I)

Несущая 3 – Частота несущей 3 равна 3 Гц, а четвертая несущая имеет частоту 4 Гц. Третья

несущая промодулирована последовательностью -1, 1, 1, -1, -1, 1, а четвертая -

последовательностью -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1 из Таблицы I.

Рис. 10 - поднесущие 3 и 4 и биты, модулирующие их (3-й и 4-й столбцы Таблицы I)

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Теперь мы промодулировали все биты, используя четыре независимые несущие с

ортогональными частотами от 1 до 4 Гц. Все, что мы сделали, так это взяли битовый поток,

распределили биты, так чтобы в каждый момент времени было по одному биту на четырех

поднесущих, как показано на рисунке ниже.

Рис. 11 - OFDM сигнал во временной и частотной области.

Теперь сложим все четыре модулированные несущие для создания OFDM сигнала, часто

получаемого при помощи блока, называемого IFFT (обратное быстрое преобразование Фурье

(ОБПФ)).

Рис. 12 - Функциональная схема создания OFDM сигнала. Обведенная область – то, что

обычно называют IFFT блок.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Рис. 13 - созданный OFDM сигнала. Обратите внимание, как сильно он изменяется, по

сравнению с лежащими в основе поднесущими с постоянной амплитудой.

Кратко мы можем записать процесс выше следующим образом

Уравнение 4, по существу является уравнением обратного БПФ.

Использование обратного БПФ для создания символа OFDM

Уравнение 4 – это обратное БПФ. ОБПФ блок в цепи OFDM смущает. Так что давайте

вкратце рассмотрим, что делает БПФ / ОБПФ.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

Рис. 14 - два вида сигнала

Прямое БПФ берет случайный сигнал, умножает его последовательно на комплексные

экспоненциальные функции во всем диапазоне частот, суммирует каждый результат и

выдает общий результат как коэффициент этой частоты. Коэффициенты называются

спектром и показывают «сколько» этой частоты присутствует во входном сигнале.

Результаты БПФ в общем понимании это сигнал в частотной области.

Мы можем записать БПФ через синусоиды, как

Здесь х(n) - коэффициенты синусов и косинусов частоты 2πk/N, где k – это индекс частоты

среди множества N частот, а n является временным индексом. х(k) - значение спектра для k-й

частоты, а х(n) - значение сигнала в момент времени n. На рис. 14(b), x(k = 1) = 1.0 является

одним из таких значений.

Обратное БПФ берет этот спектр и преобразовывает все обратно к сигналу во временной

области, посредством последовательного умножения на ряд синусоид.

Уравнение для ОБПФ имеет вид

Разница между уравнениями 5 и 6 заключается в типе коэффициентов синусоид и знаке

минус, и все. Коэффициенты, по обычаю, определены как отсчеты (выборки) временной

области x(k) для БПФ и X(n) значения бинов частоты (элементов разрешений по частоте) для

ОБПФ.

Эти два процесса являются линейной парой. Последовательное использование обоих

преобразований вернет начальный результат.

Учебное пособие по методу Мультиплексирования с Ортогональным Частотным Разделением сигналов (OFDM)

(a) на выходе БПФ и ОБПФ сигнал из временной области предстает в виде спектра. Оба

блока делают одно и то же.

(b) на выходе ОБПФ сигнал из частотной области предстает в виде сигнала во временной

области.

(d) пара блоков возвращает первоначальный сигнал независимо от того, какой он был.

(e) блоки в паре взаимозаменяемы, поэтому их можно поменять местами и все равно

получить на выходе тот же сигнал, что и на входе

Рис 15 - БПФ и ОБПФ являются согласованной линейной парой.