Буткевич Г.В., Дегтярев В.Г., Сливинская А.Т. Электрические аппараты

Подождите немного. Документ загружается.

Эта сила равномерно распределена по дуге окружности витка. Сила же стремящаяся

разорвать виток, F=F

/(2π) = 1750 Η. Сила, сжимающая проводник в направлении его

радиуса, определится из формулы (2.8) g=r;

Эта сила равномерно распределена по всей поверхности витка.

О т в е т : F= 1750 Η; F

= 157000 Η.

2.2.3. Определить усилие, стремящееся разорвать круговой виток радиусом R=1 м,

если по нему протекает ток I=40 кА

Диаметр поперечного сечения витка d=10 мм.

2.2.4. Определить усилие, действующее между двумя круговыми витка ми 1, 2 (рис.

2.10), если по виткам протекают токи i

= 10 кА, i

=15 кА. Радиусы витков R

= 0,5 м, R

м диаметры проводников, из которы изготовлены витки, d

= 20 ММ. Расстояние

между витками, находящимися в воздухе, h = 0,5 м. Вычислит усилия, разрывающие

витки, и давления, сжимающие проводники, а также определить направления усилий.

Р е ш е н и е . Если h≈R, тο для двух витков взаимная индуктивность из табл. П. 19

Рис. 2.10. Эскиз расположения витков

Тогда вертикальная составляющая усилия между битками в соответствии с (2.8)

Знак минус свидетельствует о том, что с уменьшением расстояния взаимная

индуктивность увеличивается.

Радиальные составляющие усилий

Знак минус свидетельствует о том, что данная сила сжимает виток 2.

Усилия, обусловленные собственными индуктивностями контуров, определим по

формуле (2.10)

Тогда результирующие усилия, разрывающие витки, F

=F'

+F"

= 232+330=562 Η;

= F'

+ F"

= -94,3+840=745,7 H. Эти усилия равномерно распределены по дугам

окружностей соответствующих витков.

Усилия, стремящиеся разорвать витки,

Для определения усилий, сжимающих витки, необходимо вычислить

Эти усилия распределены равномерно по боковым поверхностям витков. Здесь знаки

минус свидетельствуют о том, что происходит сжатие проводников. Следовательно,

давления, действующие на боковые поверхности проводников,

2.2.5. Вычислить электродинамическое усилие, с которым притягиваются друг к

другу два круглых диаметром d = 5 мм

соседних витка цилиндрического реактора, имеющего средний радиус витков R = 0,5 м,

если по реактору протекает ток I = 35 кА. Шаг витков реактора h=10 мм.

2.2.6. Определить усилия, разрывающие витки реактора, а также усилия, сжимающие

проводники витков, для условий задачи 2.2.5 с той лишь разницей, что ток к.з. I=40 кА.

Остальные данные без изменения. Вычислить также величины коэффициентов контуров

электродинамических усилий в этих условиях.

2.2.7. Вычислить электродинамическое усилие, с которым взаимодействуют два

круговых витка радиусом R = 0,8 м, лежащих в параллельных плоскостях на расстоянии

20 мм друг от друга и имеющих общую ось, если по одному из витков протекает ток I

10 кА, а по другому I

=30 кА. Определить также величину коэффициента контура

электродинамических усилий.

2.2.8. Для условий задачи 2.2.7 определить усилия, с которыми разрываются витки.

Удовлетворяют ли они условиям прочности, если диаметры проводников d

= 10 мм и d

30 мм, а сами проводники изготовлены из меди, для которой допустимое напряжение на

разрыв σ= 10

Н/см

. Вычислить также усилия, сжимающие проводники витков.

2.2.9. Определить усилие, действующее между двумя витками 1 и 2, радиусы которых

=0,25 м и R

=0,4 м (см. рис. 2.10). Витки изготовлены из медных проводников круглого

поперечного сечения диаметром d=10 мм и по ним протекают в одном направлении токи

I1=I2=I=25 кА. Шаг витков h=0,25 м. Проверить, удовлетворяют ли условиям прочности

поперечные сечения проводников; если не удовлетворяют, то подобрать ближайшие

стандартные сечения, вычислить также давления, сжимающие проводники витков.

2.2.10. Для условий задачи 2.2.9 вычислить коэффициенты контуров

электродинамических усилий между витками, разрывающих витки и сжимающих

проводники витков.

2.2.11. Определить усилие, разрывающее виток прямоугольного сечения, размер

которого a×b = 10×20 мм, средний радиус витка (R= 1,0 м. По витку протекает ток I=20

кА. Вычислить также давления, с которым сжимаются горизонтальные и вертикальные

грани поперечного сечения.

Р е ш е н и е . Индуктивность витка радиуса R с прямоугольным поперечным

сечением (см. табл. П.19). Тогда усилие, разрывающее виток,

определим из формулы (2.10) с учетом зависимостей задачи 2.2.1

Давление, действующее на грани шириной а,

Давление, действующее на грань шириной b,

О т в е т : F=244 Η; ρ

= 6,68·10

Н/м

; ρ

= 3,33·10

Н/м

2.2.12. Определить усилие, действующее на виток в направлении изменения его

радиуса, если по витку протекает ток I = 15 кА, виток имеет прямоугольное поперечное

сечение с размерами a×b=5×10 мм, а его средний радиус R=0,5 м.

Рис. 2.11. Эскиз однослойной катушки индуктивности

2.2.13. Для условий задачи 2.2.12 вычислить давления, действующие на грани

проводника, а также коэффициенты контуров электродинамических усилий, если

поперечное сечение проводника выполнить квадратным с той же площадью.

2.2.14. Определить усилие, сжимающее витки однослойной катушки индуктивности,

имеющей Ν=20 витков, размеры которой r=100 мм, D=500 мм (рис. 2.11), если по катушке

протекает ток I=1,0 кА. Вычислить также усилие, стремящееся разорвать катушку.

Р е ш е н и е . Индуктивность однослойной катушки из табл. П. 19

Тогда усилие, сжимающее витки катушки на основе формулы (2.10), равно

Это усилие равномерно распределено по дугам окружностей, ограничивающих витки

катушки.

Усилие, разрывающее катушку, на основе формулы (2.10) равно

Это усилие распределено по окружности радиуса D/2.

О т в е т : F=6120 Η; F

=440 H.

2.2.15. Вычислить усилие, стремящееся сжать витки однослойной катушки

индуктивности, имеющей 30 витков прямоугольного провода (см. рис. 2.11). По катушке

протекает ток I=500 А, а ее размеры r=50 мм, D=300 мм.

2.2.16. Вычислить усилие, стремящееся разорвать однослойную катушку дискового

реактора. Катушка состоит из 10 витков и по ней протекает ток I = 800 А, ее внутренний

диаметр D

вн

= 320 мм, наружный D

нар

=480 мм. Определить также усилие, сжимающее

витки катушки.

Рис. 2.12. Эскиз расположения плоских катушек

2.2.17. Определить усилие, с которым две одинаковые плоские катушки (рис. 2.12)

притягиваются друг к другу, если по ним протекают токи I

=I=100 A. Расстояние между

катушками x =15 см, размеры катушек r = 10 см, D = 50 см, каждая катушка имеет по N =

20 витков провода.

Р е ш е н и е . Взаимная индуктивность двух плоских катушек из табл. П.19:

Тогда усилие, действующее между катушками, на основе формулы (2.10)

О т в е т : F

= 66,2 H.

2.2.18. Определить усилие, с которым отталкиваются Друг от друга два дисковых

реактора, если по ним протекают токи I

=80 кА, I

=120 кА, расстояние между реакторами

х=20 см (см. рис. 2.12), размеры реакторов одинаковы: r=15 см, D = 80 см. Реакторы

выполнены из проводников прямоугольного поперечного сечения, имеют по 25 витков,

высота поперечного сечения проводов намного меньше, чем расстояние между

реакторами.

2.2.19. Для условий задачи 2.2.18 вычислить усилия, сжимающие проводники

отдельных реакторов, и усилия, стремящиеся разорвать реакторы, а также определить

коэффициенты контуров электродинамических усилий.

2.2.20. Определить усилие, с которым круглый проводник длиной l= 1 м и с током I =

1500 А притягивается к ферромагнитной стенке, если он находится от нее на удалении

a=20 см. Ферромагнитная стенка имеет бесконечную магнитную проницаемость. Диаметр

проводника 2r=10 мм. Вычислить также усилие, сжимающее проводник.

Р е ш е н и е . Если проводники расположены вдоль ферромагнитной стенки, то при

расчете можно воспользоваться методом зеркальных отображений. Следовательно,

индуктивность провода, расположенного вдоль ферромагнитной стенки на расстоянии а,

равна индуктивности однофазной линии с проводами, расположенными на расстоянии b =

2а, т.е. для 1 м длины провода [10]

Тогда усилие, действующее на проводник, определится из формулы (2.10):

Усилие, сжимающее проводник,

О т в е т : F

= 1,12 H; F

= - 45 Η.

2.2.21. Определить значение электродинамического усилия, действующего на 1 м

круглого проводника, расположенного вдоль ферромагнитной стенки на расстоянии 10 см

от нее, если по проводнику протекает ток I=10 кА.

2.2.22. Вычислить усилие, действующее на проводник с током, находящийся в

прямоугольном пазу ферромагнитной стенки, если по проводнику протекает ток I = 2,0

кА, магнитная проницаемость ферромагнитного материала μ = ∞, длина паза l = 100 мм,

ширина δ = 10 мм.

2.2.23. Определить значение электродинамического усилия, которое возникает и

стремится разомкнуть два круглых медных стержня диаметром d=10 мм. Торцы стержней

обработаны под сферу радиуса r=40 мм, стержни стянуты силой F=98 H и по ним

протекает ток короткого замыкания I=10 кА.

Р е ш е н и е . Так как здесь имеет место пластическая деформация (читатель это

может проверить), то радиус площадки касания

где σ

см

=39300 Н/м

- напряжение смятия для меди (см. табл. П.16). По формуле Двайта

(2.11) электродинамическое усилие

О т в е т : F

=28,7 Η.

2.2.24. Определить усилие, разрывающее проводник с током I=100 кА в месте, где

проводник изменяет свое поперечное сечение от D=50 мм до d=20 мм.

Р е ш е н и е . Для нахождения усилия, разрывающего проводник, воспользуемся

формулой Двайта (2.11)

О т в е т : F

= 720 Η.

2.2.25. Электрический контакт образован путем сжатия двух круглых медных

стержней силой F=400 H. Определить, с каким усилием эти стержни стремятся

оттолкнуться друг от друга, если по ним протекает ток I=10 кА, диаметр стержней,

изготовленных из твердой меди, d=20 мм, торцовые поверхности имеют радиус

закругления r=10 мм.

2.2.26. Шина прямоугольного сечения 25×3 мм плавно переходит в шину размерами

поперечного сечения 10×3 мм. Определить усилие, стремящееся разорвать шину, если по

ней протекает ток I= 10,0 кА.

2.3. Расчет электродинамических усилий при переменном токе

В данном параграфе приведены задачи на расчет электродинамических усилий, когда

по проводникам протекает переменный ток. Так как усилия, действующие на проводники

при переменном токе, изменяются во времени,

то возникает необходимость в определении и правильном выборе собственной частоты

колебаний элементов электрических аппаратов, подвергающихся воздействию этих

усилий. Необходимо правильно рассчитать значения максимальных усилий, которые

зависят от вида и места к.з. в системе. При этом используются следующие расчетные

формулы и соотношения.

Электродинамическое усилие между двумя проводниками в однофазной системе

где μ

=4π10

-7

Гн/м - магнитная проницаемость вакуума: I

- максимальное значение тока

при синусоидальном законе его изменения, Α; ω = 2πf - круговая частота тока c

-1

; f -

частота тока, Гц; k

1/2

- коэффициент контура электродинамических усилий.

Закон изменения тока при однофазном коротком замыкании

где а - постоянная затухания апериодической составляющей тока, с

-1

Значение ударного тока короткого замыкания

где I - действующее значение установившегося тока короткого замыкания. Значение

максимального отталкивающего усилия, действующего на крайние проводники в

трехфазной системе при расположении проводников в одной плоскости на одинаковом

расстоянии друг от друга,

Значение максимального отталкивающего и притягивающего усилий, действующих

на средний проводник в трехфазной системе при расположении проводников в одной

плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга

Значение максимального притягивающего усилия, действующего на крайние

проводники в трехфазной системе при расположении проводников в одной плоскости на

одинаковом расстоянии друг от друга,

Рис. 2.13. Эскиз рубильника

2.3.1. Определить характер изменения во времени и значение электродинамического

усилия, действующего на ножи рубильника (рис. 2.13), по которым протекает однофазный

ток к.з. Установившееся значение тока I

уст

= 800 А, частота f=50 Гц. Известно, что

короткое замыкание произошло в удаленных от генератора точках сети. Размеры

рубильника: l=80 мм, h = 70 мм.

Р е ш е н и е . Поскольку короткое замыкание произошло в удаленных от генератора

точках сети, влиянием апериодической составляющей на электродинамическое усилие

можно пренебречь [9], т.е. ток к.з. i = √2I

ycт

sin ωt.

Тогда усилие взаимодействия между ножами рубильника в соответствии с формулой

(2.7)

- коэффициент контура электродинамических усилий, определяемый по табл. П. 18; ω =

2π50=314 с

-1

- круговая частота тока. Тогда F = [4π10

-7

/(4π)]2·800

·1,04 sin

ωt = 0,134 sin

ωt.

Разложив sin

ωt = (1 - cos

(ωt)/2, получаем F=0,067- 0,067 cos 628t. Очевидно, что

максимальное значение усилия F

макс

= 0,134 Н; среднее значение за период F

ср

= 0,067 Н;

минимальное F

мин

= 0.

О т в е т : F

макс

=0,134 Н; F

ср

= 0,067 Н; F

мин

=0.

2.3.2. Для задачи 2.3.1 проверить, удовлетворяют ли условиям прочности и жесткости

ножи рубильника, которые изготовлены из меди, поперечное сечение их имеет

прямоугольную форму с размерами а×b = 3×15 мм. Ножи расположены широкими

сторонами друг к другу.

Р е ш е н и е . Нож рубильника можно рассчитать как балку на двух опорах, т.е.

из

=M/W

из

≤σ

доп

, где M=F

макс

l/8=0,134·80·10

-3

/8=0,134·10

-2

Н·м - максимальное значение

изгибающего момента; W

из

=ba

/6=15·10

-3

·3

·10

-6

/6=22,5·10

-9

- момент сопротивления;

доп

=137·10

Па - допустимое напряжение на изгиб для меди. Тогда

Следовательно, ножи рубильника удовлетворяют условиям прочности. Во избежание

появления механического резонанса необходимо, чтобы частота собственных колебаний

механической системы не была равна частоте возбуждающей силы, т.е. в нашем случае

100 Гц.