Булашев С.В. Статистика для трейдеров

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных

мер риска

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

241

законов распределения, которые описаны в главе 2. Тем са-

мым будет найдена формула для плотности распределения

)(xp . Для заданной доверительной вероятности

величи-

ны VAR и SAR могут быть найдены из уравнений

∫

−

∞−

=−

VAR

dxxpP )(1

∫

−

∞−

⋅=

VAR

dxxpxSAR )(

Решение этих уравнений проводится как правило численно,

методика приведена в главе 2.

3) Путем многократного моделирования методом Монте-

Карло

Как и в предыдущем случае, по эмпирической выборке }{

необходимо найти аналитическую формулу для плотности

распределения

)(xp . Далее, используя генератор псевдо-

случайных чисел, нужно провести многократное моделиро-

вание случайной величины

(методика подробно изложена

в главе 2). После этого величины VAR и SAR определяются

уже по смоделированной выборке.

ПРИМЕЧАНИЕ. Таким образом мы нашли однодневные VAR и

SAR. Если необходимо вычислить например пятидневные зна-

чения этих величин, то вместо дневных баров цен используются

недельные бары и т.д.

После того как известно, каким образом можно найти зна-

чения VAR и SAR для отдельного актива, можно описать проце-

дуру поиска этих величин для портфеля.

Проще всего VAR и SAR для портфеля можно найти, если на

интервале времени

max

,...,0 t рассмотреть поведение виртуаль-

ного портфеля, сформированного в момент

t из интере-

сующих нас активов, каждый из которых входит в портфель с

заданным весом. Если считать, что

Рrice - это стоимость вир-

туального портфеля в момент времени t , то вся процедура по-

иска VAR и SAR для него уже описана выше. Такой подход об-

ладает следующими достоинствами:

- отсутствует необходимость учета корреляции между входя-

щими в портфель активами (это происходит автоматически),

Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных

мер риска

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

242

- отсутствует необходимость учета законов распределения

входящих в портфель активов, так как нас интересует только

закон распределения результирующего виртуального порт-

феля, а его можно определить по выборке

}{

Рrice .

Существенным недостатком такого подхода является то, что те-

кущие веса активов в портфеле равны заданному набору весов

}{

w только в начальный момент времени 0

t . Это происхо-

дит потому, что динамика цен входящих в виртуальный порт-

фель активов различна для разных активов, результатом чего

является постоянное изменение соотношения текущих весов ак-

тивов в виртуальном портфеле в различные моменты времени

(каждый актив учитывается по его текущей рыночной цене).

Действительно, если считать, что в момент

t стоимость

виртуального портфеля

Рrice , то в последующие моменты

времени его стоимость выражается формулой:

∑

Рrice

wРrice

max

,...,1

где

Рrice

- это цена n -го актива в момент времени t .

Из этой ситуации может быть два выхода. Во-первых, можно

пренебречь изменением соотношения весов. Во-вторых, после

каждого торгового дня приводить текущие веса активов в соот-

ветствие с заданным набором

}{

w . В этом случае стоимость

виртуального портфеля в произвольный момент времени будет

равна:

max

,...,1

Рrice

wРrice

Рrice













∏

∑

−

Более удобно использовать рекуррентную формулу

∑

−

⋅=

ntt

Рrice

wРriceРrice

В некоторых частных случаях VAR портфеля можно найти ана-

литически, если известен набор

}{

VAR входящих в портфель

Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных

мер риска

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

243

активов и коэффициенты корреляции между активами. Это

следующие случаи:

1) Если доходы всех активов распределены нормально, то их

сумма (доход портфеля), также распределен нормально, то

есть не происходит деформации закона распределения при

суммировании.

2) Если при не обязательно нормальном распределении

доходов активов выбран уровень доверительной

вероятности

95.0=P . Дело в том, что для большого числа

наиболее употребительных законов распределения 5%-ная

квантиль распределения выражается через математическое

ожидание и с.к.о. по единой формуле

6.1

05.0

−

≈

x .

В обоих случаях VAR портфеля вычисляется по формуле,

аналогичной формуле для дисперсии портфеля:

∑∑∑

=+==

⋅⋅+⋅=

kiikki

kky

VARVARwwVARwVAR

111

222

16.4. Оптимизация портфеля с учетом Value-at-risk и Short-

fall-at-risk.

Алгоритм численного решения задачи оптимизации порт-

феля по соотношению математического ожидания дохода и

среднеквадратичного отклонения дохода приведен в главе 15

параграфе 15.7 этой книги. Введение в рассмотрение мер риска

портфеля VAR и SAR лишь дополняет этот алгоритм. Выбор

конкретного решения из множества решений задачи оптимиза-

ции портфеля (то есть оптимальное соотношение величин

VAR и

SAR ), каждый портфельный менеджер осуществ-

ляет с учетом своих инвестиционных предпочтений.

Рекомендуемая литература

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

244

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Курс теории вероятностей, "Наука", 1971.

2. Крамер Г., Математические методы статистики, "Мир",

1975.

3. Новицкий П.В., Зограф И.А., Оценка погрешностей резуль-

татов измерений, "Энергоатомиздат", 1985.

4. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных

работников и инженеров, "Наука", 1984.

5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и

ряды, "Наука", 1981.