Буланов В.А., Юденко М.А. Решение кристаллографических задач с помощью стереографических проекций

Подождите немного. Документ загружается.

РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Рис. 2.19. Представители 32 видов симметрии

Таблица 2.3

Сравнительная характеристика сингоний

РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

2.4. Морфология кристаллов

Кристаллография как точная наука родилась при изучении

внешней формы кристаллов. Наблюдение внешней формы – пло-

ских граней, углов между ними и изучение обнаруживающихся

при этом закономерностей привели к однозначному заключению о

правильности внутренней структуры кристаллов. Свободно раз-

вивающиеся кристаллы обычно образуют многогранники с раз-

личным количеством граней. По характеру внешней огранки все

кристаллы можно разбить на две группы. К первой группе отно-

сятся кристаллы, состоящие из одинаковых и симметрично распо-

ложенных граней. Это кристаллы в виде куба, октаэдра, дипира-

миды и др. Ко второй группе относятся идеальные кристаллы, об-

ладающие различными по величине и очертаниям граням,

например спичечный коробок, имеющий грани трёх

сортов в виде

парных прямоугольников большого, среднего и малого размеров.

Многогранники первой группы представляют собой простые

формы, а многогранника второй группы – комбинации нескольких

простых форм.

Простой формой называется совокупность граней, связан-

ных между собой элементами симметрии. Так, грани гексагональ-

ной пирамиды (рис. 2.20,

д) представляют одну простую форму.

Все они могут быть выведены из одной исходной грани путём её

поворотов вокруг оси 6-го порядка на 60

, 120

, 180

, 240

и 300

. В

идеально развитых кристаллических многогранниках все грани

одной простой формы должны быть одинаковыми как по величи-

не, так и по контурам, так как оси выводятся друг их друга с по-

мощью элементов симметрии.

Комбинацией простых форм называется совокупность двух

или нескольких простых форм. Грани отдельных простых форм в

комбинациях не связаны друг с другом элементами симметрии и

поэтому могут быть различными по очертаниям, величине и дру-

гим свойствам.

Различные по очертаниям и величине грани всегда принад-

лежат простым различным формам. Грани одинаковые по очерта-

ниям и

величине, в большинстве случаев, относятся к одной про-

стой форме. Простых форм в комбинациях столько, сколько на

них обнаруживается различных граней.

Если совокупность плоскостей простой формы не замыкает

пространство, то такая простая форма называется открытой. От-

крытые формы характерны для кристаллов низших сингоний и

возможны во всех сингониях, кроме кубической. Если простран-

ство замыкается, то образуется выпуклый многогранник, пред-

ставляющий собой закрытую форму. Открытые формы могут

встречаться только в комбинациях, а закрытые

как в виде само-

стоятельных многогранников, так и в комбинациях.

Названия простых форм происходят от греческих названий

чисел и слов «эдр» – гранник или «гон» – угольник. Для более

лёгкого усвоения названий простых форм приведём список грече-

ских слов, положенных в основу:

Моно – один

Ди – два

Три – три

Эдра – грань

Гониа – угол

Клино – наклоняю

Тетра – четыре

Пента – пять

Гекса – шесть

Голо – полный

Геми – половина

Тетарто – четверть

Окта – восемь

Дека – десять

Додека – двенадцать

Скалено – косой

Пинако – доска

Трапеца –

четырёхугольник

В низших сингониях возможны открытые формы – моноэдр

(рис. 2.20,

а), пинакоид (рис. 2.20, б) – в триклинной сингонии,

диэдры (рис. 2.20,

в, г), а также моноэдры и пинакоиды – в моно-

клинной сингонии. В ромбических группах добавляются ромби-

ческие призмы, тетраэдры, ромбическая пирамида и ромбическая

дипирамида (рис. 2.20,

д–з).

Для средних сингоний, кроме моноэдров и пинакоидов, ха-

рактерны тетраэдры (рис. 2.21,

в), призмы, пирамиды, дипирами-

ды (рис. 2.23), ромбоэдры (рис. 2.21,

а, б), трапецоэдры (рис.

2.22), скаленоэдры (рис. 2.21,

г, д).

РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Рис. 2.20. Простые формы низшей категории: а – моноэдр; б – пинакоид;

в – диэдр с плоскостью; г – диэдр с осью; д – ромбическая призма;

е – ромбический тераэдр; ж – ромбическая пирамида;

з – ромбическая дипирамида

Рис. 2.21. Ромбоэдры (а, б); тетрагональный тетраэдр (в); скаленоэдры:

тетрагональный (г) и дитригональный (д)

а б в

а б в г д

Рис. 2.22. Трапецоэдры: а – тригональные; б – тетрагональные;

в – гексагональные

Наличие четырёх осей третьего порядка во всех видах сим-

метрии кубической сингонии создаёт условия для образования

простых форм, резко отличающихся от простых форм других син-

гоний. Ни одна из ранее разобранных форм сюда не переходит. Из

старых названий встречается лишь тетраэдр. Никаких пинакои-

дов, призм, пирамид, дипирамид и т. д.

здесь быть не может. В

кубических группах все простые формы закрытые (рис. 2.24). В

основу номенклатуры простых форм кубической сингонии поло-

жены, с одной стороны, число граней, а с другой – несколько ос-

новных форм. К таким исходным (простейшим) формам относят-

ся: тетраэдр кубический (рис. 2.24,

а) – четыре грани в виде пра-

вильных треугольников; гексаэдр (куб) (рис. 2.24,

н) – шесть

граней в форме квадратов; октаэдр (рис. 2.24,

ж) – восемь граней

в виде правильных треугольников. Они являются усложнением

форм тетраэдра (рис. 2.24,

а–е), октаэдра (рис. 2.24, ж–м), куба

(рис. 2.24,

н–с).

Всего имеется 47 геометрически различных простых форм

(см. рис. 2.20–2.24).

Вывод простых форм. Полный вывод кристаллографиче-

ских простых форм осуществляется на основе 32 видов симмет-

рии. Сущность вывода состоит в том, что для каждого вида сим-

метрии рассматриваются все возможные случаи расположения

граней относительно элементов симметрии. При этом для каждого

случая указывается число граней, выводящихся с помощью эле-

ментов симметрии. Для иллюстрации сказанного воспользуемся

примерами

, приведёнными Поповым и Шафрановским (1972).

а б в

РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Рис. 2.23. Призмы, пирамиды и дипирамиды средней категории (верхний

ряд их сечения): а – тригональные; б – дитригональные; в – тетрагональ-

ные; г – дитригональные; д – гексагональные; е – дигексагональные

а б в г д

а б в г д е

Рис. 2.24. Простые формы кубической сингонии: а – тетраэдр;

б – тригонтритетраэдр; в – тетрагонтритетраэдр; г, д, – положительный и

отрицательный пентагонтритетраэдры; е – гексатетраэдр; ж – октаэдр;

з – тригонтриоктаэдр; и – тетрагонтриоктаэдр; к, л – правый и левый

пентагонтриоктаэдры; м – гексоктаэдр; н – куб (гексаэдр);

о – тетрагексаэдр; (пирамидальный куб); п – ромбододекаэдр;

р – пентагондодекаэдр; е – дидодекаэдр

а б в

г д

з и

к л м

н о п

РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

В аксиальном виде моноклинной сингонии содержится лишь

одна ось N = 2. Относительно этой единственной оси грани могут

располагаться либо косо (

а), либо перпендикулярно (б), либо па-

раллельно (

в) (рис. 2.25). Никаких иных ориентировок предста-

вить нельзя.

Рис. 2.25. Возможные положения граней относительно оси 2

Грань, заданная косо по отношению к оси 2, после поворо-

та вокруг оси на 180

даёт вторую такую же грань. В результате

получим простую форму, состоящую из двух плоскостей, лежа-

щих под углом друг к другу, и связанных двойной осью (так на-

зываемый осевой диэдр).

2. Задав грань перпендикулярно оси 2, ничего нового из неё

не выведем, так, вращаясь вокруг двойной оси, она совмещается

сама с собой

. В этом случае получим простую форму, состоящую

из одной грани (моноэдр).

3. Взяв грань параллельно оси 2, выведем из неё при поворо-

те на 180

вторую равную ей грань, также параллельную оси. По-

лучаем третью простую форму, состоящую из двух взаимно па-

раллельных граней (пинакоид).

Следовательно, в аксиальном виде моноклинной сингонии

возможны простые формы трёх типов: диэдры, моноэдры и пина-

коиды.

Аналогично по-разному ориентируя грани относительно эле-

ментов симметрии во всех 32 видах, выводим все

простые формы

кристаллов.

В каждом виде симметрии возможен определённый набор

простых форм. Распределение простых форм по видам симметрии

дан в табл. 2.4 – 2.7.

Таблица 2.4

Распределение простых форм низших сингоний по видам симметрии

Трик-

линная

Моноклинная Ромбическая

Вид симметрии

Название простой формы

2 m 2/m 222 mm2 mmm

Моноэдр (1) * + + +

Пинакоид (2) * + + ++ + + +

Диэдр (2) * * +

Ромбическая пирамида (4) *

Ромбическая призма (4) * +

Ромбический тетраэдр (4) *

Ромбическая дипирамида (4) *

Примечание: Число стоящее рядом с названием простой формы

указывает количество её граней; знак + наличие той или иной простой

формы в данном классе; ++ наличие двух разных по симметрии граней

простых форм; * общая для данного вида симметрии простая форма.

Таблица 2.5

Распределение простых форм тетрагональной сингонии

по видам симметрии

Вид симметрии

Название простой формы

4/m 422 4mm

4/mmm

Моноэдр + +

Пинакоид + + + + +

Тетрагональная пирамида (4) *

Тетрагональная призма (4) + + + + + ++ +

Тетрагональный тетраэдр (4) * +

Дитетрагональная пирамида (8) *

Тетрагональная дипирамида (8) * + + +

Дитетрагональная призма (8) + + + +

Тетрагональный скаленоэдр (8) *

Тетрагональный трапецоэдр (8) *

Дитетрагональная дипирамида (16) *

Примечание: Число, стоящее рядом с названием простой формы,

указывает количество её граней; знак + наличие той или иной простой

формы в данном классе; ++ наличие двух разных по симметрии граней

простых форм; * общая для данного вида симметрии простая форма.