Брюшикин В.Н. Логика
Подождите немного. Документ загружается.
131
4. Выписываем суждения степени 1. Это и
q
и
r
.
5. Выписываем их истинностные значения:
p
q
r
q
r
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
6. Выписываем суждения степени 2. Это – p
q
.
7. Выписываем его истинностное значение:
p
q
r
q
r
p
q
И
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
8. Выписываем суждения степени 1. Это и есть наше исходное суждение.
9. Выписываем его истинностное значение:
p
q
r
q
r
p
q
(p
q
)
r
132
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
И
И
И
Такова наша итоговая таблица. Обратите внимание, что при вычислении значения
последней импликации первым следует учитывать значения третьего столбца выхода,
поскольку это значения антецедента (основания) импликации, а вторым – второго
столбца выхода, поскольку это значение консеквента (следствия) импликации.
Мы видим, что наше суждение истинно в пяти случаях и ложно в трех. И, что
главное, мы теперь знаем, каким должен быть мир, чтобы наше суждение было
истинным или, наоборот, ложным.
Пример 2. Рассмотрим следующее сложное суждение:
(((p q) p) q)
Наш алгоритм построения таблицы осуществим в уме, а я выпишу только
результат:
p
q
p q
(p q) p
(((p q) p) q)
И
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Как мы видим, результат получился удивительным: все значения оказались И. Это
означает, что это суждение истинно при всех значениях, входящих в него простых
суждений.
Пример 3. Рассмотрим следующее сложное суждение:
pq)(p
133
p
q
p q
(p q) p
pq)(p
И
И
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
Результат получился не менее удивительным – во всех строках наше суждение
приняло значение «ложь»!
Наш опыт построения таблиц показывает, что вообще могут быть суждения трех
типов:
Сложные суждения, которые во всех строках таблицы принимают значение
«истина», назовем л о г и ч е с к и и с т и н н ы м и .
Сложные суждения, которые во всех строках таблицы принимают значение
«ложь», назовем л о г и ч е с к и л о ж н ы м и .
Сложные суждения, среди истинностных значений которщх встречаются и
истина, и ложь, назовем ф а к т и ч е с к и м и
1
.
Особенность первых двух видов суждений заключается в том, что их истинность
или ложность не зависит от истинности или ложности простых суждений, которые их
составляют. Они истинны или ложны просто в силу определенных соединений
составляющих их суждений при помощи логических союзов. Каков бы ни был мир, т.е.
какие бы простые суждения ни были в нем истинны, эти суждения всегда будут
истинными или всегда ложными.
Другое дело суждения, которые мы с вами назвали фактическими. Они иногда
истинны, а иногда ложны. И зависит это от состояния, в котором находится внешний
мир, от того, какие простые суждения в этом мире истинны, а какие ложны. Если,
например, p – Л, q – Л, r – И, то сложное суждение (p
q
)
r
является ложным, а если
все три простые суждения ложны, то это суждение истинно.
Таблицы истинности подсказывают нам некоторые простые отношения между
нашими сложными суждениями и миром.
Комбинацию значений, которую простые суждения принимают в какой-либо
строке на входе таблицы, назовем с о с т о я н и е м м и р а .
Если сложное суждение C принимает значение «истина» в данной строке, то
будем говорить, что оно подтверждается данным состоянием мира.
1
Отметим, что все простые суждения являются фактическими.
134
Если сложное суждение C принимает значение «ложь» в данной строке, то будем
говорить, что С опровергается данным состоянием мира.
Теперь мы можем ввести важные понятия подтверждаемости и опровержимости
суждений.
Суждение C назовем п о д т в е р ж д а е м ы м , если оно подтверддается хотя бы
одним состоянием мира.
Суждение C назовем о п р о в е р ж и м ы м , если оно опровергается хотя бы одним
состоянием мира.
Таким образом, суждение из нашего первого примера одновременно
подтверждаемо и опровержимо, суждение из второго примера – подтверждаемо, но не
опровержимо, суждение из третьего примера – опровержимо, но не подтверждаемо.
Теперь мы можем высказать несколько важных соображений о науке с точки
зрения тех знаний, которые мы приобрели при построении таблиц истинности. Логика
интересуетсэ логически истинными и логически ложными суждениями. Это – область
ее исследования. А в область исследования каких наук попадают суждения, которые не
являются ни логически ложными, ни логически истинными? Ответ нам подсказывает
само их название «фактические». Это означает, что они попадают в область наук,
которые занимаются открытием и обобщением фактов, т.е. тех наук, которые, в отличие
от логики и математики, называются эмпирическими: физики, биологии, химии,
географии, истории и т.п.
Но какие же суждения ценятся более всего в эмпирических науках? Как ни
странно, но наши таблицы могут подсказать нам ответ на этот вопрос.
Введем понятие вероятности суждения.
Вероятность суждения C, обозначим ее p(C), определяется отношением
состояний мира, подтверждающих это суждение, к общему числу состояний мира в
таблице для этого суждения.
Иначе говоря, p(C)=
k
n
, где k – число состояний мира, подтверждающих это
суждение, n – общее число состояний мира для данного суждения.
Нетрудно убедиться, что 0 p(C) 1.
Наши таблицы сразу подсказывают нам, какое суждение больше сообщает нам о
мире. Эту характеристику суждений обычно называют информацией.
Основатели логической теории информации Р. Карнап и И. Бар-Хиллел
предложили следующее уточнение нашего интуитивного представления об
информативности наших суждений:
Через И(C) обозначим количество информации, сообщаемое суждением C. Тогда:
И(C) = 1 – p(C)
135
Отсюда следует, что чем больше вероятность суждения, рем меньше
сообщаемая им информация, и наоборот.
Суждение из примера 1 будет иметь вероятность 5/8, а информация,
следовательно, 3/8.
Суждение из примера 2 будет иметь вероятность 1, а информацию 0.
Суждение из примера 3 будет иметь вероятность 0, а информацию 1.
Цель эмпирических наук может быть описана при помощи комбинации идей
истины и информации. Наука, безусловно, стремится к истине. Но если ограничиваться
только этой идеей, то получится, что самые лучшие суждения для науки – логически
истинные. Но мы теперь знаем: хотя эти суждения очень надежные, они, тем не менее,
не сообщают нам о мире никакой информации. Поэтому в цель науки следует ввести
также и идею информации. Наука стремится к истинным информативным суждениям,
т.е. суждениям одновременно истинным и обладающим как можно большей
информацией. Но мы уже видели, что идеи истинности и информативности в
определенной мере исключают друг друга, так как чем информативнее суждение, тем
меньше вероятность, чтм оно истинно. Это эвристическое противоречие между идеями,
составляющими цель науки, дает науке один из источников ее развития.
§ 4. Запись категорических суждений и силлогизмов при помощи языка логики
предикатов
В языке логики суждений (ЯЛС), который мы рассматривали в § 3 главы 8
суждения рассматриваются как неделимые целые, их внутренняя структура не
подвергается анализу. Этот язык достаточен для формализации умозаключений логики
суждений, поскольку там не надо вникать во внутреннюю структуру суждений. Однако
умозаключения, основанные на внутренней структуре суждений, не могут быть
формализованы в этом языке.
Если мы хотим записывать в нашем языке единичные, частные и
общиесуждения, которые необходимы нам для обсуждения умозаключений,
основывающихся на внутренней структуре высказываний, то мы должны несколько
расширить наш язык и превратить его из языка логики суждений в так называемый
язык логики предикатов. Язык логики предикатов был изобретен для формализации
дедуктивных умозаключений. В частности, при его помощи можно выразить
логические формы силлогизмов, т. е умозаключений, которые основываются на
внутренней структуре суждений. Кроме того, язык логики предикатов позволяет
формализовать большой класс рассуждений, которые выходят за пределы
силлогистики, но широко применимы как в математических доказательствах
1
, так и в
обычной жизни. Мы не будем строить этот язык формально, для наших целей
достаточно только показать способ записи единичных, частных и общих суждений на
этом языке.
1
Язык логики предикатов был разработан уже знакомым нам Готтлобом Фреге с целью формализации
математических рассуждений. Однако затем выяснилось, что оно пригоден и для более широких целей.
136
В § 3 главы 1 мы уже описывали возможность записи единичных суждений при
помощи обозначений индивидуальных предметов: a, b, c, d, a
1
, b
1
, c
1
..., и знаков
для свойств и отношений этих предметов, которые мы впредь бсдем называть
предикатами этих предметов: M, P, Q, R, S, и т.п. Сейчас я введу этот язык более
систематически. На языке логики предикатов (ЯЛП) можно записывать наши суждения
об объектах, выявляя при этом внутреннюю структуру суждений. Такое более глубокое,
чем это делает ЯЛС, проникновение в суждения, позволяет создавать модели тех
рассуждений, которые не могли быть построены на языке логики суждений. Для начала
рассмотрим несколько суждений и их возможные способы записи на ЯЛПе.
П р и м е р . Рассмотрим суждение "Этот лебедь белый". Если обозначить "этот
лебедь" при помощи символа а, а признак "быть белым" при помощи символа Р, то
единичное суждение "Этот лебедь белый" будет выглядеть так:
Р(а)
Эту запись можно прочесть так: «Признак Р принадлежит предмету а",
―Предикат Р принадлежит предмету‖ а или "а есть Р", или, если вспомнить
обозначение функций в математике, «Р от а»
Чтобы говорить о более, чем одном предмете, при помощи частных и общих
суждений, нам нужно ввести в язык знаки, которые могут обозначать сразу много
предметов.
В языке логики предикатов это делается при помощи предметных переменных,
т.е. знаков, которые обозначают не отдельный предмет, а могут обозначать любой
предмет из некоторого множества. В качестве множества, из которого заимствуются
значения таких знаков, может быть выбрано любое множество: стульев, людей,
баянистов, лягушек, сонат, русалок, всех предметов. В логике иногда говорят, что
предметная переменная "пробегает" по этому множеству. В качестве нредметных
переменных мы будем использовать маленькие буквы из конца латинского алфавита:
x, y, z, x
1
, y
2
, z
1
, ... , набранные курсивом. В дальнейшем мы будем говорить, что
эти предметные переменные могут обозначать любой предмет из нашего универсума
рассуждения, если, конечно, не оговорено какое-нибудь специальное условие,
например, что в данном суждении или рассуждении они будут обозначать только
натуральные числа, людей и т.п.
Теперь нам осталось только ввести специальные обозначения, позволяющие
записывать на нашем языке количество суждений: т.е. указывать частное это
суждение или общее. В качестве таких обозначений мы будем использовать
специальные знаки для слова "существует"
1
, и для слова "все"
2
. Знак " ",
соответствующий слову «существует», мы будем называть квантор существования, а
знак " ", соответствующий слову «все», – квантор общности. При помощи знака " "
мы будем записывать частные суждения, а при помощи знака " " – общие.
1
«Существует» в ЯЛПе означает то же самое, что «по крайней мере один» или «некоторые».
2
Или «каждый».
137
Запись " хР(х)" будет означать, что «существует предмет, назовем его х,
который имеет признак Р», или «по крайней мере один х имеет признак Р», или
«некоторые х имеют признак Р».
Запись " хР(х)" будет означать, что для всякого предмета х верно, что этот
предмет имеет признак Р, или «каждому х присуще свойство Р» и т. п.
Запись " х y R(х,у)" означает, что для всякого предмета х существует такой у,
что между х и у имеется отношение R.
Нетрудно заметить, что наши знаки P, Q, R, S могут применяться к разному числу
предметов. Это зависит от того, какие свойства или отношения обозначаются при
помощи данных знаков.
П р и м е р . Пусть х, у – предметные переменные, "пробегающие" по множеству
натуральных чисел. Тогда запись х у(х у) будет означать "существует наибольшее
натуральное число". (Буквальное прочтение: «существует такое натуральное число
х, что для всякого натурального числа у число х больше или равно y.)
После этих предварительных соображений можно ввести алфавит языка логики
предикатов:
a, b, c, d, a
1
b1, c1, d1, a2, ... — предметные константы, служащие именами для
конкретных предметов.
x, y, z, x
1
, y
1
, z
1
, x
2
, ... – предметные переменные, о которых речь шла раньше.
M, P, Q, R, S, M
1
, P
1
, Q
1
, R
1
, S
1
, P
2
, …- знаки предикатов (признаков).
,
- знаки для кванторов общности и существования.
Для предметных констант и предметных переменных мы введем общее имя –
терм и будем обозначать их t
1
, t
2
, t
3
и т п.
Чтобы научиться строить выражения языка логики предикатов и записывать
суждения при помощи ЯЛП надо построить определение суждения в языке логики
предикатов подобное тому, которое мы построили для ЯЛС в § 3 главы 6.
Пусть Р обозначает произвольный предикат (т. е. знаки из п. 3 нашего алфавита).
Тогда
Если P есть n-местный предикатный знак, а t
1
,t
2
,…,t
n
– термы, то P(t
1
,t
2
,…,t
n
) –
суждение логики предикатов.
Если А и В есть суждения логики предикатов, то (А В), (A B), (A B), (A B),
(A B), (
A
) – суждения логики предикатов
1
.
Если А есть суждение логики предикатов, то хА и хА – суждения логики
предикатов.
Ничто иное не является суждением логики предикатов.
Несложно заметить, что ЯЛП является расширением ЯЛСа, т. е. все суждения,
которые можно записать в ЯЛСе, можно записать и в ЯЛПе, но не наоборот.
1
При помощи этого пункта определяются сложные суждения.
138
П р и м е р . В соответствии с этим определением, если P – двухместный
предикатный знак, а
1
– предметная константа, а х
1
– предметная переменная, то P(a
1
, x
1
)
– суждение логики предикатов.
П р и м е р . P(a
1
) Q(x
2
, x
4
) – суждение логики предикатов.
П р и м е р . х
2
х
4
(P(a
1
) Q(x
2
, x
4
)) – суждение логики предикатов
1
.
П р и м е р . х
1
P(x
1
) y
2
Q(y
2
) – суждение логики предикатов
2
.
С помощью языка логики предикатов легко записывать суждения, в которых
определено их количество.
П р и м е р . «Каждый юноша любит какую-нибудь девушку» – это суждение
можно перевести на язык логики предикатов следующим образом:
Обозначим предикат «быть юношей» через Р, предикат «быть девушкой» – через
Q, предикат «любить» через R, выберем две предметные переменные х и у с областью
изменения D = {люди}. Тогда наще суждение можно записать следующим образом:
х y((P(x) Q(y)→R(x, y))
Заметим, что мы интерпретируем «какую-нибудь» в смысле «существует». Если
бы мы проинтепретировали «какую-нибудь» при помощи квантора общности, то
получилось бы следующее суждение:
х y((P(x) Q(y)→R(x, y)),
которое можно было бы перевести на русский язык как ―Все юноши любят всех
девушек‖ или «Каждый юноша любит каждую девушку», что было бы некоторым
преувеличением.
Этот пример наводит нас на мысль, что ЯЛПе можно записать и наши
категорические суждения, которые мы описывали в § 2 главы 8 и использовали в
силлогизмах.
Общеутвердительное суждение А: Все S есть P.
Мы помним, что для истинности этого суждения достаточно, чтобы его термины
вступали в следующее отношение:
Рис. 1
1
Читается «Для всякого х
2
существует х
4
P от а
1
и Q от х
2
, х
4
».
2
Читается «Если для всякого х
1
Р от х
1
, то существует у
2
Q от у
2
».
S
P
139
В таком случае мы можем выразить это соотношение терминов
общеутвердительного суждения следующим образом: Для всякого предмета если мн
есть S, то он есть P. Правильность такого истолкования видна непосредственно из
рисунка. Эту фразу уже легко выразить при помощи ЯЛП:
))()(( xPxSx
Это выражение ЯЛП мы будем считать переводом общеутвердительного
суждения
1
.
Общеотрицательное суждение Е: Ни один S не есть P.
Мы помним, что для истинности этого суждения достаточно, чтобы его термины
вступали в следующее отношение:
Рис. 2
В таком случае мы можем выразить это соотношение терминов
общеотрицательного суждения следующим образом: Для всякого предмета если он
есть S, то он есть не-P. Правильность такого истолкования видна непосредственно из
рисунка. Эту фразу уже легко выразить при помощи ЯЛП:
))()(( xPxSх
Частноутвердительное суждение I: Некоторые S есть P.
Мы помним, что для истинности этого суждения достаточно, чтобы его термины
вступали в следующее отношение:
Рис. 3
1
Обратите внимание, что простое суждение при таком переводе стало сложным суждением, поскольку
использовалась связка «→». Это вызвано различиями в способе членения выражений в силлогистике и
логике предикатов
S
P
S
P
140
В таком случае мы можем выразить это соотношение терминов
частноутвердительнмго суждения следующим образом: Существует по крайней мере
один такой предмет, что он есть S и он есть P. Правильность такого истолкования
видна непосредственно из рисунка. Эту фразу уже легко выразить при помощи ЯЛП:
x (S(x)∧P(x))
Частноотрицательное суждение О: Некоторые S не есть P.
Здесь даже не прибегая к схемам можно сказать, что это суждение
переформулируется следующим образом: Существует по крайней мере один S,
который есть не-P. А суждение в такой форме уже легко записать на ЯЛПе:
))()(( xPxSx
Мы получили запись на языке логики предикатов наших категорических
суждений. Это довольно интересный способ записи, поскольку он вообще
иллюстрирует характер перевода с одного языка на другой. В данном случае мы имеем
дело с двумя логическими языками. Язык силлогистики и категорических суждений
основан на следующей схеме анализа выражений:
(СП) субъект – связка – предикат.
Язык логики предикатов основан на другой схеме анализа выражений:
(ФА) функтор – аргумент,
где функтор есть знак функции. Функтор вместе с аргументом обозначает
функцию. Это – не только два языка, но в каком-то смысле две концептуальные
системы, т. е. системы понятий, основывающиеся на разных предпосылках о структуре
мира. Поэтому и получается, что простое суждение с точки зрения силлогистики
превращается в сложное суждение с точки зрения логики предикатов. При этом
приходится явно вводить логические связки логики суждений (импликация,
конъюнкция), которые обозначают связи между суждениями. При таком переводе
изменяется логическая форма высказывания, а это влияет и на его смысл. Перевод
категорических суждений на ЯЛП иллюстрирует тот общий лингвистический факт, что
при переводе с одного языка на другой наши суждения изменяются. Перевод всегда
творческое дело.
При помощи ЯЛСа мы не могли записать наши силлогизмы, потому что
последние основываются на анализе внутренней структуры высказываний, тогда как
ЯЛС не принимает ее во внимание. ЯЛП позволяет записать силлогистические
умозаключения.