Брюшикин В.Н. Логика
Подождите немного. Документ загружается.
121
мы рассмотрим язык, специально предназначенный для следования за логической
формой сложных суждений.
Любой язык начинается с алфавита.
Алфавит ЯЛС
1. p, q, r, s, p
1
, q
1
, r
1
, s
1
, p
2,
q
2
, ...,
2. , , , , , –,
3. (,).
Все это – знаки ЯЛС.
Задав алфавит, можно приступать к способу построения выражений (слов) в
языке ЛС. Однако, чтобы говорить (или писать) нечто о выражениях ЯЛС, нам также
нужен язык. Поэтому нам нридется ввести еще одно различение.
Метаязык — это язык, на котором говорят о другом языке.
Возьмите в руки учебник английского языка для русских. В нем представлены два
языка: язык, который служит предметом рассмотрения, – английский, и язык, на
котором описывают другой язык, – русский. Русский играет здесь роль метаязыка.
Язык, описание которого происходит при помощи метаязыка, называется
о б ъ е к т н ы м языком, или я з ы к о м -о б ъ е к т о м .
В нашем примере объектным языком является английский. Если взять учебник
русского языка для англичан, то отношение будет обратное: русский будет объектным
языком, а английский метаязыком.
В нашем случае мы будем использовать в качестве знаков метаязыка большие
буквы из начала латинского алфавита
1
: A, B, C, D, A
1
и т.п. Они будут означать
произвольные выражения нашего объектного языка.
Теперь мы в состоянии дать индуктивное определение ЯЛС:
1. p, q, r, s, p
1
, q
1
, r
1
, s
1
, p
2
, ... – суждения
2
.
2. Если A и B есть суждения, то (А В), (A B), (A B), (A B), (A B), (
A
) –
суждения
3
.
3. Ничто иное не является суждением.
Каким же образом строятся выражения нашего языка – сложные суждения?
По пункту 1 p и q есть суждения. Следовательно, по пункту 2 (p q) также есть
суждение, а равно (p q), (p q) также есть суждения. Но поскольку (p q) и (p q) –
суждения, то (если за А взять (p q), а за В – (p q)) получится, что ((p q) (p q)) –
1
В отличие от понятий и их объемов, которые мы обозначали теми же буквами, но набранными курсивом
– A, B, C, D, при обозначении суждений в метаязыке мы будем писать прямые буквы – A, B, C, D.
2
То, что определено в этом пункте, с точки зрения нашего предшествующего изложения называется
простые утвердительные суждения. В этом и последующем параграфах мы не будем рассматривать
простые отрицательные суждения.
3
При помощи этого пункта определяются сложные суждения.
122
также суждение по пункту 2. Таким образом, можно построить бесконечно много
сложных суждений или, точнее говоря, все возможные формы сложных суждений.
Л о г и ч е с к о й ф о р м о й сложного сужения будем называть его запись на языке
логики суждений, в которой простые суждения заменены на буквы p, q, r, s, p
1
, q
1
и т.
п.
П р и м е р . Рассмотрим суждение: «Если я пойду на лекцию по лмгике, то я поеду
с тобой на море». Заменим простые суждения в этом сложном суждении на
переменные нашего языка. Суждение «Я пойду на лекцию по логике» – на p, а суждение
«Я поеду с тобой на море» – на q. Учитывая, что связь между этими суждениями –
импликация, то мы запишем это суждение на ЯЛС следующим образом:
(p q)
и тем самым выявим его логическую форму. В дальнейшем мы будем опускать
скобки, если это не вызывает недоразумений. В этом случае рассматриваемое суждение
будет выглядеть следующим образом:
p q
П р и м е р . «Вы получите удовлетворительную оценку по логике тогда и только
тогда, когда вы решите все предлагаемые вам задачи и не будете шуметь на лекциях».
Обозначим простые суждения при помощи знаков языка ЯЛС.
«Вы получите удовлетворительную оценку по логике» – p.
«Вы решите все предлагаемые вам задачи» – q.
«Вы будете шуметь на лекциях» – r.
Связку «тогда и только тогда, когда» – эквивалентность – « ».
Связку «не» – отрицание – « ».
Следовательно, получится:
p (q
r
).
Таким образом можно выявить логическую форму любого сложного суждения.
Теперь у нас все готово, чтобы приступить к способам определения истинности
или ложности сложных суждений.
Мы будем отвечать на следующий вопрос, который будем называть главным
вопросом: каким образом истинность или ложность сложных суждений зависит от
истинности или ложности простых суждений?
Истинность и ложность простых суждений находится вне власти логики. Логика
может только определить общее понятие истинности (см. § 1 этой главы) и специальные
условия истинности для некоторых видов суждений (таких, как категорические – см. § 2
этой главы), но истинность и ложность каждого конкретного суждения – дело не
логики, а конкретного исследования состояния мира, внелогической реальности.
Поэтому мы будем считать, что значения истинности (истина или ложь) даны нам
извне, и мы будем оперировать с ними как с данными.
123
Поскольку сложные суждения получаются из простых при помощи логических
союзов, то чтобы ответить на поставленный вопрос, нам надо выяснить смысл
логических союзов, или, говоря на логическом языке, построить для них семантику.
Строить ее мы будем при помощи так называемых таблиц истинности. Эти таблицы
были придуманы австрийским логиком и философом Людвигом Витгенштейном еще во
время Первой мировой войны. Они окажут нам неоценимую помощь, несмотря на свой
почтенный возраст.
Строятся эти таблицы следующим образом:
1. Каждая таблица имеет вход и выход.
2. На входе выписываются все возможные комбинации истинностных значений
суждений, из которых составлено рассматриваемое сложное суждение.
3. На выходе выписывается значение сложного суждения.
Рассмотрим суждения p q, p q, p q, p q, p≡q,
p
. Первые пять сложных
суждений составлены из двух простых. Поэтому построим таблицу, у которой на входе
будет два суждения, а на выходе – интересующее нас сложное суждение.
1. Соединительное суждение – конъюнкция – p q.
Чтобы вести разговор о произвольных сложных соединительных или
конъюнктивных суждениях, следует вместо знаков нашего ЯЛС использовать
метазнаки. Тогда наше суждение примет вид:
A B
Чтобы понять смысл союза «и», рассмотрим следующую ситуацию. Допустим, что
вы обещаете своему другу: «Завтра я пойду на лекцию по логике и поеду с тобой на
море». В каких случаях вы сдержите свое обещание, а в каких – нет? В первых случаях
естественно предполагать, что наше суждение с союзом «и» истинно, а во вторых –
ложно.
Обозначим для общности суждение «Я пойду на лекцию по логике» через A, а
суждение «Я поеду с тобой на море» – через B
1
.
Рассмотрим четыре комбинации значений наших составляющих суждений:
а) Вы пошли на лекцию по логике, и поехали с другом на море. Таким образом и
суждение А, и суждение B – истинны. В этом случае Вы, безусловно, сдержали
обещание, значит, наше сложное суждение должно быть истинным. Мы получили
первую строчку в таблице:
A
B
A B
И
И
И
1
Мы имеем на это право, поскольку метазнаки обозначают произвольные последовательности знаков
объектного языка, в том числе и простые суждения
124
б) Вы пошли на лекцию по логике, т.е. A – истинно, но не поехали с другом на море,
т.е. B – ложно. В таком случае Вы явно не сдержали свое обещание, следовательно,
наше сложное суждение ложно. Мы получили вторую строчку в таблице:
A
B
A B
И
Л
Л
в) Вы не пошли на лекцию по логике, но поехали с другом на море. В этом случае
Вы также не сдержали обещание. Наше суждение таиже ложно.
A
B
A B
Л
И
Л
г) Вы не пошли на лекцию по логике и не поехали с другом на море. Ни о каком
выполнении Вашего обещания не может быть и речи.
A
B
A B
Л
Л
Л
Таким образом, мы определили истинностные значения суждения A B для всех
возможных комбинаций значений его составляющих.
В итоге получается следующая таблица:
A
B
A B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Такова истинностная таблица для соединительного союза «и», или конъюнкции.
125
2. Разделительное суждение – дизъюнкция – p q.
Предположим, Вы обещаете своему другу: «Я завтра пойду на лекцию по логике
или поеду с тобой на море».
а) Вы пошли на лекцию по логике и поехали с другом на море. Это означает, что Вы
сдержали обещание, даже с перевыполнением. Одновременно это означает, что мы с
вами рассматриваем неисключающее «или», союз, который допускает одновременнуь
реализацию обеих перечисляемых альтернатив. Поэтому в данном случае наше сложное
суждение истинно.
Получается следующая строка:
A
B
A B
И
И
И
б) Вы пошли на лекцию по логике, но не поехали с другом на море. Поскольку Вы
ему обещали сделать, по крайней мере, одно из двух, то Вы свое обещание сдержали, а
это означает, что наше сложное суждение истинно.
A
B
A B
И
Л
И
в) Вы не пошли на лекцию по логике, что заслуживает всяческого осуждения, но
поехали с другом на море. Хотя вы вели себя с точки зрения Автора явно неправильно,
тем не менее Вы сдержали свое обещание, а следовательно, наше суждение истинно.
A
B
A B
Л
И
И
г) Вы не пошли на лекцию по логике и не поехали на море. Это означает, что Вы не
сдержали своего обещания, а значит, наше суждение ложно.
A
B
A B
Л
Л
Л
126
Собираем строки таблицы вместе:
A
B
A B
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
3. «Либо..., либо...» – строго разделительное суждение, строгая дизъюнкция.
Строгая дизъюнкция отличается от обычной тем, что в ней утверждается
несовместимость составляющих суждений. Поэтому строгая дизъюнкция будет
отличаться от обычной только первой строкой:
A
B
A B
И
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
4. «Если..., то...» — условное суждение, или импликация.
Введем некоторую терминологию. В условном суждении
А→В
Суждение слева от стрелки будем называть основанием, а суждение справа от
стрелки – следствием.
Предположим, что Вы даете следующее обещание: «Если я пойду на лекцию по
логике, то поеду с тобой на море».
а) Вы пошли на лекцию по логике и поехали на море. Это означает, что вы
сдержали свое обещание, а, следовательно, наше суждение истинно.
Строка:
A
B
A B
И
И
И
127
Вы пошли на лекцию по логике, но не поехали на море. Это означает, что Вы явно
не сдержали своего обещания, а следовательно, наше суждение ложно.
Строка:
A
B
A B
И
Л
Л
в, г) Вы не пошли на лекцию по логике. Хотя я не могу приветствовать такое
поведение, но, тем не менее, получается, что поскольку условие Вашего обещания
отсутствует, то Вы как бы от него свободны. Поедете Вы на море со своим другом или
нет, все равно Вы уже не сможете нарушить свое обещание, а значит, Вы его
выполнили.
Строки:
A
B
A B
Л
И
И
Л
Л
И
В итоге получается следующая таблица:
A
B
A B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
5. «... тогда и только тогда, когда...» — эквивалентность — суждение
эквивалентности.
Вы дали обещание: «Я пойду на лекцию по логике тогда и только тогда, когда
поеду с тобой на море».
Отсюда получается следующая таблица:
128
A
B
A B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
6. «Не...», «неверно, что...» — отрицание — отрицательные суждения.
Отрицание действует только на одно суждение, Поэтому таблица будет выглядеть
следующим образом:
A
A
И
Л
Л
И
Мы выяснили смысл всех союзов, которые нас с вами интересовали, и поэтому
можем вернуться к задаче, которую наши персонажи обсуждали в начале этого
параграфа.
Ав: Как, теперь вам стал понятен смысл союза «или»?
Сс: Да, теперь можно решить задачу.
Ст: Каким образом?
Сс: Смотри. Начнем как всегда. Предположим, что X – лжец. Тогда все его суждение:
«Я лжец, или Y – рыцарь» – ложно. Но теперь мы знаем, что разделительное суждение
ложно только в том случае, когда оба составляющие его суждения ложны.
Ст: Как это ложны? Первое составляющее суждения «Я – лжец», раз мы
предположили, что он лжец, должно быть истинным.
Сс: Вот, правильно! Ты мне подсказал, что делать дальше. Я пока доказал, что в
предположении, что X – лжец, получается, что оба суждения, составляющие
высказываемое им сложное суждение, ложны. Но поскольку он лжец, то первое из них,
а именно «Я – лжец», должно быть в то же время истинным. Это означает, что мы
встретили противоречие. Одно и то же суждение должно быть одновременно
истинным и ложным. Так не бывает, по крайней мере, в логике. Значит, наше
предположение неверно, X является рыцарем.
Ст: Здорово!
Сс: Дальше уже просто. Поскольку X – рыцарь, то все его суждение истинно. Но
поскольку X – рыцарь, то первая составляющая этого сложного суждения – суждение
«Я лжец» будет ложным. А из таблицы истинности мы знаем, что для того, чтобы
суждение с «или» было истинным, необходимо, чтобы, по крайней мере, одно из
составляющих его суждений было истинно. Поскольку же первое суждение ложно, то
второму не остается ничего иного, как быть истинным. Значит, Y – рыцарь и оба они
рыцари!
129
Ав: Поздравляю. Вы замечательно справились с задачей. А почему Вы с ней смогли
справиться?
Сс: Потому что, благодаря таблице, я точно знал, что означает союз «или», и при
решении задачи пользовался этим смыслом, зафиксированным в таблице.
Ав: Да, видите, получается, что мы не вполне понимали точный смысл обычных слов,
и это мешало нам рассуждать. Теперь же, когда мы понимаем точный смысл этих слов,
препятствия устранены, и мы можем рассуждать свободно и, что еще более важно,
правильно.
Однако выяснение смысла логических союзов – не единственное, в чем могут
быть полезны таблицы истинности. Мы еще должны ответить на главный вопрос: каким
образом истинность или ложность сложных суждений зависит от истинности или
ложности входящих в них суждений? Для этого нам нужно научиться строить таблицы
истинности для произвольных сложных суждений.
Введем необходимые вспомогательные понятия.
В суждении
A
будем считать, что A является областью действия отрицания.
В суждениях А В, А В, А В, А В, А В будем считать суждения A и B
областью действия соответствующего логического союза.
Простые утвердительные суждения, обозначаемые при помощи переменных ЯЛС,
назовем суждениями степени 0 (ноль).
Если суждение C имеет вид
A
или А В, А В, А В, А В, А В, и если
суждение A является суждением степени n, или если максимальная степень суждений
А, B есть n, то суждение C является суждением степени n+1.
При м е р . Суждение (
p
r) s имеет степень 3, потому что суждение
p
имеет
степень 1, суждение
p
r имеет степень 2, а все суждение, следовательно, будет иметь
срепень 3.
Пусть суждение C, истинность или ложность которого мы хотим установить,
имеет степень m.
Тогда таблица строится следующим образом:
1. На входе выписываем все простые суждения (т.е. суждения степени 0), которые
входят в суждение C, пусть их число будет n.
2. Высчитываем число k строк в таблице по формуле k = 2
n
.
3. В столбцах входа таблицы выписываем все возможные комбинации
истинностных значений простых суждений в следующем порядке: в самом правом
столбце чередуем И и Л, во втором справа столбце чередуем два значения И и два
значения Л, в третьем – четыре значения И подряд с четырьмя значениями Л подряд, в
четвертом – восемь значений И подряд и восемь значений Л подряд, ... в l-м столбце –
справа – 2
l
-1
значений И подряд с 2
l
-1
значений Л подряд.
130
4. На выходе таблицы по порядку слева направо выписываем все суждения
степени 1.
5. Для каждого суждения степени 1 при помощи таблиц для логических союзов и
значений, которые принимают входэщие в него простые суждения в данной строке,
выписываем истинностное значение этого суждения в виде столбца под этим
суждением.
6. Выписываем все суждения степени 2 по порядку слева направо.
7. Для каждого суждения степени 2 при помощи таблиц для логических союзов и
истинностных значений простых суждений и суждений степени 1 выписываем его
столбец истинностных значений и т.п. вплоть до степени m, которую имеет наше
исходное суждение.
8, 9 и далее. Выписываем суждения степени 3, 4 и т.д. до степени m и выписщваем
столбцы их значений. Последний столбец даст нам истинностные значения суждения C.
Пример 1. Рассмотрим сложное суждение «Если бы Иван IV был бы зол по
природе или не заботился об интересах государства, то он не отменил бы опричнины».
Выявим его логическую форму. Для этого суждение «Иван IV был зол по природе»
обозначим через p, суждение «Иван IV заботился об интересах государства» – через q,
суждение «Иван IV отменил бы опричнину» – через r.
Тогда запись нашего суждения в ЯЛС будет выглядеть так:
(p
q
)
r
Построим истинностную таблицу для этого суждения:
1—3. Простые суждения, входящие в наше сложное суждение, – p, q, r. Поэтому
вход таблицы будет выглядеть следующим образом:
p
q
r
И
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Всего в таблице получилось 2
3
= 8 строк.