Бойко В.В. та iн. Фізика. Модулі 1, 2, 3: 1 Механіка, 2 Молекулярна фізика та термодинаміка, 3 Електрика

Виходячи з формули (1), можна довести, що для будь-якого цілого

числа n має місце співвідношення

(

)

()

Tnn

nTtA

tA

βδ

==

+

ln (3)

Порядок виконання роботи

1. За допомогою установочних гвинтів встановлюють підставку

маятника горизонтально.

2. За відсутності поновлюючих пружин відхиляють маятник на

невеликий кут (

≤ 10°), відраховують по шкалі кількість поділок A

0

(тут

A

0

=A(0)) і відпускають маятник. Потім відраховують n=10

повних коливань і знову вимірюють амплітуду. Результат позначають

через

A

n

(тут A

n

A(nT)).

≡

3. Встановлюють те ж саме значення A

0

і повторюють вимі-

рювання (див. п.2) для n = 20, ЗО, 40, 50, 60, 70. Результати заносять у

табл.1.

4. Вимірювання (див. п.п.2,3) повторюють за наявності понов-

люючих пружин. Результати заносять у табл.2.

5. Обчислюють значення

A

n

0

та

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

A

n

0

ln і заносять їх у

відповідні таблиці.

6. Для маятника з пружинами і без них будують на одному і

тому ж самому графіку за даними таблиці І та 2 залежності

відношення амплітуд

A

n

0

від кількості коливань n . Одержані

криві порівнюють між собою.

7. Для маятника з пружинами будують графік, відкладаючи по

осі абсцис кількість коливань n , а по осі ординат – значення

=y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

A

n

0

ln . Логарифмічний декремент загасання визначають,

знаходячи нахил одержаної прямої лінії (див. рис.2, де хрестиком

позначено експериментальні точки):

nn

y

12

−

=

δ

.

8. Аналогічно обчислюють логарифмічний декремент загасання

δ

0

для маятника без пружин.

9. За допомогою секундоміра визначають періоди Т і Т

о

коли-

вань маятника з пружинами і без них, вимірюючи проміжки часу t

81

50 повних коливань:

50

〉

〈

=

t

T

;

50

0

〉

〈

=

t

T

.

Розраховують коефіцієнт загасання

T

δ

β

= ,

T

0

δ

β

=

маятника з пружинами і без них та відповідний час релаксації

β

τ

1

=

,

β

τ

0

1

=

.

Розрахунки заносять у табл.3.

1. Результати розрахунків для маятника без пружин; А

0

=…

N A

n

A

n

/A

0

ln(A

0

/A

n

)

δ

0

10

20

…

70

2. Результати розрахунків для маятника з пружинами; А

0

=…

n A

n

A

n

/A

0

ln(A

0

/A

n

)

δ

10

20

…

70

3.

Результати

непрямих

вимірювань

Результати непрямих вимірювань

№

п/п

t

0

, c t, c T

0

, c β

0

, c

-1

τ

0

, c

T, c β, c

-1

τ, c

Запитання та вправи для самоконтролю

1. Складіть диференціальне рівняння власних незагасаючих

коливань і залишіть його розв'язок.

82

2. Складіть диференціальне рівняння власних коливань з

урахуванням сил тертя; запишіть його розв'язок і зробіть аналіз.

3. Як залежить амплітуда загасаючих коливань від часу? Запишіть

вираз і проілюструйте графіком.

4. Що таке коефіцієнт загасання? Який його фізичний зміст?

5. Дайте визначення логарифмічного декременту загасання;

покажіть, як він зв'язаний з коефіцієнтом загасання і розкрийте його

фізичний зміст.

83

2. МОДУЛЬ 2 „МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА ТА

ТЕРМОДИНАМІКА”

2.1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ

Кількість речовини однорідного газу (в молях):

A

N

v =

чи

M

m

v =

,

де

N –число молекул газу;

A

N –стала Авогадро; m –маса газу; М–

молярна маса (маса одного, 1моль) газу.

Якщо система являє суміш декількох газів, то кількість речовини

системи визначається як:

A

n

AA

n

N

vvvv +++=+++= KK

21

або

n

M

m

M

m

M

m

v +++= K

2

1

,

де

iiii

MmN ,,,

ν

–відповідно кількість речовини, число молекул,

маса, молярна маса

і–го компонента суміші.

Рівняння Менделєєва – Клапейрона (рівняння стану ідеального

газу):

vRTRT

M

m

pV ==

,

де р, V,T– параметри стану; m–маса газу; M–молярна маса газу;

ν =m/ M–кількість речовини; R = 8,31 Дж/моль·К – універсальна

газова стала; T–термодинамічна температура.

Дослідні (експериментальні) газові закони, які є частковим

випадком рівняння Менделєєва – Клапейрона для ізопроцесів:

а) закон Бойля

–Маріотта (ізотермічний процес T = const, m = const):

const=pV

, чи для двох станів газу:

2211

VpVp

=

;

б) закон Гей – Люсака (ізобарний процес –

p=const, m=const ) :

const=

T

V

, чи для двох станів:

2

1

T

V

T

V

=

;

в) закон Шарля (ізохорний процес –

V=const, m=const ):

84

const=

T

p

, чи для двох станів:

2

1

T

p

T

p

=

;

г) об’єднаний газовий закон (

m=const ):

const=

T

pV

, або

2

22

1

11

T

V

p

T

V

p

=

,

де

–тиск, об’єм та температура газу в початковому стані;

111

,, TVp

–те ж саме, в кінцевому стані.

222

,, TVp

Закон Дальтона, який визначає тиск суміші газів:

n

pppp

+

= K

21

,

де

–парціальні тиски компонентів суміші; n–число компонентів

суміші.

1

p

Парціальний тиск є тиск газу, який створював би цей газ, якби він

один знаходився в ємності, яку займає суміш.

Молярна маса суміші газів:

n

vvv

mmm

M

+++

+

=

K

21

,

де

–маса i-го компонента суміші;

i

m

i

M

m

=

ν

– кількість речовини

i-го компонента суміші; n–число компонентів суміші.

Масова доля

i

ω

i-го компонента суміші газу (в долях одиниці чи

відсотках):

m

i

=

ω

,

де

m–маса суміші.

Концентрація молекул:

M

N

V

N

n

A

ρ

==

,

де

N –число молекул, які містить дана система;

ρ

–густина речовини;

V–об’єм системи. Формула дійсна не тільки для газів, але і для будь -

якого агрегатного стану речовини.

85

Основне рівняння молекулярно – кінетичної теорії ідеальних газів

Тиск ідеального газу р прямо пропорційний концентрації n

молекул газу і середній кінетичній енергії поступального руху <

n

ε

>

молекули газу:

><=

n

np

ε

3

2

(1)

Відповідно до експериментальних газових законів і висновків

молекулярно-кінетичної теорії газів встановлено, що

kT

п

2

3

>=<

ε

, (2)

де k = 1,38·10

-23

Дж/К–стала Больцмана, Т–термодинамічна

температура.

Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді залежності тиску

газу від концентрації молекул та температури:

р = nkT . (3)

Середня повна кінетична енергія молекули:

kT

i

2

>=<

ε

, де i–число ступенів свободи молекули, що

дорівнює 3, 5 та 6 для одно -, двоатомного та три чи більш атомного

газу.

Швидкість молекул :

M

RT

m

kT

V

KB

33

1

=>=<

(середня квадратична);

M

RT

m

kT

V

ππ

88

1

=>=<

(середня арифметична);

M

RT

m

kT

V

ім

22

1

==

(найбільш ймовірна),

де

–маса однієї молекули.

1

m

Відносна швидкість молекули:

ім

V

u =

,

де

V–швидкість даної молекули.

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу

записується ще й так:

86

кв

Vnmp

2

1

3

1

=

.

Перший закон термодинаміки

Важливою характеристикою термодинамічної системи є її

внутрішня енергія U. Внутрішня енергія – це сума енергій

хаотичного (теплового) руху мікрочастинок системи (молекул, атомів,

електронів, ядер тощо) та енергії взаємодії цих частинок. Внутрішня

енергія – однозначна функція термодинамічного стану системи.

Внутрішня енергія ідеального газу визначається за формулою:

,

2

RT

i

M

m

U =

(1)

де і – число ступенів свободи молекули

Перший закон термодинаміки є законом збереження і

перетворення енергії стосовно до теплових процесів. В неізольованих

термодинамічних системах цей закон формулюється як закон рівності

між прибуттям і витратою енергії в системі.

Математичний запис цього закону:

Q = ΔU+ A, (2)

тобто: кількість теплоти Q, що передана системі, витрачається на

збільшення її внутрішньої енергії ΔU і виконання роботи А проти

зовнішніх сил.

У диференціальній формі цей закон запишеться у вигляді:

δQ = dU + δA, (3)

де dU–нескінченно мала зміна внутрішньої енергії, δA–елементарна

робота; δQ–нескінченно мала кількість теплоти.

У СІ кількість теплоти виражається в тих же одиницях, що

робота і енергія, тобто в джоулях (Дж).

Питома теплоємність газу при сталому об’ємі ( ) та при сталому

тиску ( ):

V

c

р

с

M

Ri

c

V

2

=

;

M

Ri

c

p

2

+

=

.

Зв’язок між питомою с та молярною С теплоємностями:

M

C

c =

або

cMC

=

.

Рівняння Майєра:

87

RСС

Vp

=

−

.

Внутрішня енергія ідеального газу:

TC

M

m

RT

i

M

m

U

V

==

2

.

Робота розширення газу:

∫

=

2

1

V

pdVA

( у загальному випадку);

)(

12

VVpA

−

= ( при ізобарному процесі);

1

2

ln

V

RT

M

m

A =

( при ізотермічному процесі);

TC

M

m

UA

V

Δ−=Δ−=

чи

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

− 1

2

11

1

γ

V

M

m

RT

A

(при

адіабатичному процесі), де

V

p

c

с

=

γ

– показник адіабати.

Рівняння Пуассона, яке зв’язує параметри ідеального газу при

адіабатичному процесі:

const=

γ

pV

,

1

2

1

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

γ

V

T

,

ν

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

1

2

V

p

,

γ

1

2

1

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

p

T

.

Другий закон термодинаміки

Коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини дорівнює:

1

21

Q

QQ

−

=

η

,

де

–т еплота, яка отримана робочим тілом від нагрівача; –

теплота, яка передана робочим тілом холодильнику.

1

Q

2

Q

Термічний коефіцієнт корисної дії циклу Карно:

1

21

1

21

Q

QQ

T

−

=

−

=

η

,

88

де – відповідно термодинамічна температура нагрівача та

холодильника.

21

TіT

Нагрівач

Холодильник

При T

1

віддає Q

1

При T

2

отримує Q

2

A=Q

1

- Q

2

Ідеальний газ

Другий закон термодинаміки визначає напрямок протікання

термодинамічних процесів, визначає які процеси в природі можливі, а

які неможливі. Існує кілька еквівалентних формулювань закону.

Наведемо деякі з них.

Рис. 14

1. Неможливий періодично діючий механізм, який всю

одержану від нагрівача кількість теплоти повністю переводив би в

1

Q

роботу

A

; частина цієї кількості теплоти повинна бути віддана

2

Q

холодильнику (формулювання Кельвіна).

Використовуючи поняття ентропії S – характеристики стану

термодинамічної системи, другий закон формулюється як закон

зростання ентропії ізольованої системи (Клаузіус).

2. В ізольованих системах здійснюються лише такі процеси, при

яких ентропія системи зростає, якщо здійснюються необоротні

процеси (наприклад, вирівнювання температур, тисків, концентрації

різних речовин, електричних потенціалів у різних частинах системи),

або залишається сталою якщо процеси оборотні.

За Клаузіусом ентропія–це фізична величина, зміна якої в

системі при елементарному оборотному процесі дорівнює

відношенню кількості теплоти δQ до температури Т цього процесу.

T

Q

dS

δ

=

.

Фізичний зміст ентропії відкривається в статистичній фізиці. За

Больцманом ентропія зв’язується з термодинамічною ймовірністю Ω

стану системи. Термодинамічна ймовірність – це число способів,

якими може бути реалізований даний стан макросистеми. За

визначенням Ω ≥ 1, тобто термодинамічна ймовірність не є

89

ймовірністю в математичному розумінні. Згідно з теорією Больцмана,

ентропія системи і термодинамічна ймовірність зв’язані між собою

співвідношенням:

S = k lnΩ.

Формула Больцмана дозволяє дати ентропії такий статистичний

зміст: ентропія є мірою неупорядкованості системи.

Оскільки реальні процеси необоротні, то на основі другого

закону термодинаміки можна стверджувати, що всі процеси в

ізольованій системі ведуть до збільшення її ентропії. В стані

термодинамічної рівноваги системи ентропія досягає максимального

значення.

Коефіцієнт поверхневого натягу:

l

F

=

α

чи

S

E

Δ

=

α

,

де

F–сила поверхневого натягу, яка діє на контур l , що обмежує

поверхню рідини;

E–зміна вільної енергії поверхневої плівки рідини,

яка зв’язана зі зміною площі

ΔS поверхні цієї плівки.

Формула Лапласа, що виражає тиск, створений сферичною

поверхнею рідини:

R

p

α

2

=

,

де

R–радіус сферичної поверхні.

Висота підйому рідини в капілярній трубці:

gR

h

ρ

θ

α

cos2

=

,

де

θ

–крайовий кут (0=

θ

при повному змочуванні стінок трубки

рідиною;

π

θ

= при повному незмочуванні); R–радіус каналу трубки;

ρ

–густина рідини: g–прискорення вільного падіння.

Висота підйому рідини між двома близькими та паралельними одна

до одної площинами:

gd

h

ρ

θ

α

cos2

=

,

де

d–відстань між площинами.

90

Бойко В.В. та iн. Фізика. Модулі 1, 2, 3: 1 Механіка, 2 Молекулярна фізика та термодинаміка, 3 Електрика

Подождите немного. Документ загружается.