Бояркин Г.Н., Шевелева О.Г. Теория систем и системный анализ
Подождите немного. Документ загружается.
– генерирование альтернатив;
– реализация выбора и принятия решений;
– внедрение результатов анализа;
Пример:
Экономические критерии – прибыль, рентабельность, себестоимость.
Технико-экономические – производительность, надежность, долговечность.
Технологические – выход продукта, качество продукта и т. д.
4. МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В СИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ
4.1. Основные понятия
Одним из основных методов научного познания является эксперимент, а
самой распространенной его разновидностью – метод моделирования систем.
Существуют системы, на которых просто невозможно ставить эксперименты
с познавательной целью. К таким системам относится экономика.
Под моделью принято понимать систему, способную замещать оригинал так,
что ее изучение дает новую информацию об оригинале.
Модель должна частично или полностью воспроизводить структуру
моделируемой системы, ее функции.
Под моделированием понимается процесс построения и исследования
модели, способной заменить реальную систему и дать о ней новую
информацию.
Процесс моделирования включает в себя следующие основные этапы:
а) постановка проблемы (задачи), выработка цели исследования и исходных
предпосылок;
б) переход от оригинала к модели, т. е. построение модели;
в) экспериментальное исследование модели;
г) перенесение результатов, полученных при исследовании модели на
моделируемую систему (оригинал).
Процесс моделирования обладает цикличностью.
Пример: самолет.
Возможность переноса различных свойств модели на оригинал обоснована
сходством (аналогией) оригинала и модели. Что же касается вида и полноты
сходства оригинала и модели, то этот вопрос решается в зависимости от
особенностей различных типов моделей.
Модели условно делятся на 2 типа: физические и символические.
В свою очередь физические модели делятся на модели геометрического
подобия и аналоговые модели.
Символические модели описывают структуру и функции оригинала с
помощью символов и соотношений между ними, выражающих определенные
зависимости, присущие оригиналу.
Большое место среди символических моделей занимают математические
модели (уравнения неравенства, функции, алгоритмы и т. д.), отражающие
математические и логические зависимости.
1
Математическая модель представляет собой систему математических и
логических соотношений, описывающих структуру и функции реальной системы.
– отличается по своей физической природе от оригинала;
– часто является универсальной, т. е. используется для исследования
различных систем;
– позволяет использовать средства вычислительной техники.
Среди математических моделей важное место занимают экономико-
математические модели.
4.2. Экономико-математические модели
Большинство экономико-математических моделей включают в себя систему
уравнений и неравенств, состоящих из набора переменных и параметров.
Переменные величины характеризуют, например, объем производимой
продукции, капитальных вложений, перевозок и т. п., а параметры – нормы
расхода сырья, материалов, времени на производство определенной продукции.
Практически в каждой модели можно выделить две группы переменных:
1) внешние переменные – их значения определяются вне данной модели и
считаются заданными; 2) внутренние переменные, значения которых
определяются в результате исследования модели.
Различают структурные и функциональные экономико-математические
модели.
Структурные модели исследуют состав системы, взаимосвязи ее элементов.
Функциональные модели позволяют оптимизировать поведение системы в
различных ситуациях безотносительно к ее внутренней структуре.
Экономико-математические модели используются преимущественно для
планирования или прогнозирования системы на будущее (как будет
протекать экономический процесс, если в его основу положить определенную
систему экономических предпосылок).
Экономико-математические модели делятся также на описательные и
оптимизационные.
Описательные модели экономических систем представляют собой
формализованную с помощью математического аппарата экономическую
задачу и используются для более глубокого изучения состояния системы и
взаимосвязи ее элементов.
Пример: матричные модели межотраслевого баланса, производственная
функция.
Оптимизационные модели обладают условием нахождения оптимального
решения (критерий оптимальности), который записывается в виде
функционала.
Пример: модели оптимального производства, программы оптимального
раскроя, оптимального размещения предприятий, транспортная задача и т.п.
Делятся также на линейные и нелинейные.
Пример: увеличение выпуска продукции – затраты производства.
И на динамические и статические.
1
5. ТИПИЧНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Накопленный опыт в решении практических задач системного анализа
позволяет выделить по содержательной постановке следующие типичные
задачи.
5.1. Задачи управления запасами
С увеличением запасов увеличиваются расходы на их хранение, но
уменьшаются потери из-за возможной их нехватки. Следовательно, одна из
задач управления запасами заключается в определении такого уровня запасов,
который минимизирует следующий критерий: сумму ожидаемых затрат по
хранению запасов, а также потерь из-за дефицита.
Суммарные Затраты на Затраты на Затраты на Потери от
затраты = приобретение + оформление + хранение + дефицита
заказа заказа .
5.1.1. Однопродуктовая модель простейшего типа
Характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением
запаса и отсутствием дефицита.
Пример: осветительные лампы в здании, использование канцелярских
товаров крупной фирмой, пром. изд. (болты, гайки), поступление продуктов
питания (хлеб, молоко).
Потери,
связанные со
штрафами
Суммарные
годовые
затраты
Минимальные
затраты
Затраты на
оформление
заказа
Закупочная
цена
Уровень
запаса
Оптимальный
уровень
1
Графически данную модель можно изобразить следующей диаграммой:
Пусть
– интенсивность спроса (в ед. времени). Уровень запаса достигает
нуля спустя
y
единиц времени после получения заказа размером
y
.
Пусть
– затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при
его размещении и предположении, что затраты на хранение в ед. времени
равны
h
.
Тогда суммарные затраты в ед. времени
)(yU
[затраты на оформление заказа в ед. времени]+[затраты на хранение
запасов в ед. времени].
2
)(
y
h
y
yU
Отсюда
h
y
h
y
dy
ydU
2
0
2
)(
*
2
h
y
2
*
– оптимальное значение размера заказа (формула Вильсона)
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ
*
y
ед. продукции
через каждые
*
*
0
yt
ед. времени.
Оптимальные затраты:
*
2
h
U(y ) 2 h ;
h
2
2
h
hyU
2)(
*
Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок
выполнения заказа (временное запаздывание)
L
от момента размещения до его
действительной поставки. Стратегия размещения заказов должна определить
точку возобновления заказа.
На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до
момента достижения им очередной точки возобновления заказа.
0
t
время
Средний уровень
запаса
Возобновление
запаса
Момент
поставки
Уровень
запаса
1
0 0*
з
0 0
t ,t L
U
(L t ) ,t L.
5.1.2. Модели с равномерным наполнением запаса
Диаграмма данного процесса выглядит следующим образом:
Очевидно максимальный уровень запаса в любой момент времени равен:
y
yy
, тогда
h
U(y) (1 )y;
y 2
*
2
y .
h(1 )
5.2. Задачи упорядочения
Характеризуются следующими особенностями. Например, имеется
множество различных деталей с определенными технологическими
маршрутами, а также несколько единиц оборудования (фрезерный, токарный,
шлифовальный станки), на которых эти детали обрабатываются, т. к.
одновременно обрабатывать более одной детали невозможно, у некоторых
станков может образоваться очередь, т. е. деталей, ждущих обработки. Время
обработки каждой детали известно. Требуется определить такую очередность
обработки деталей на каждом станке, при котором минимизируется некоторый
критерий оптимальности, например, суммарная продолжительность завершения
комплекса работ. Такая задача называется задачей календарного планирования
или составления расписания, а выбор очередности запуска деталей в обработку
– упорядочением.
1
t
d
y
t
1
1
t
0
t
0
t
1
t
y
y
1
t
1
t
y
В качестве примера рассмотрим упрощенный вариант этой задачи, для
которой разработан алгоритм ее решения.
Пусть имеется несколько изделий, каждая из которых должна быть
обработана на 2-х машинах (станках). Известны время обработки и
последовательность обработки каждого изделия на каждой машине. Требуется
выбрать такой порядок обработки изделий, при котором суммарное время
обработки будет минимальным.
Основные ограничения:
а) время перехода от одной машины к другой незначительно и им можно
пренебречь;
б) каждое изделие обрабатывается в определенном технологическом порядке;
в) каждое обслуживание должно быть завершено прежде, чем начнется
следующее.
Обозначим
j
t
1
– время обработки j-го изделия на 1-й машине,
j
t
2
– на 2-й
машине.
Пример:
t
11
t
12
t
13
t
14
t
15
t
16
Время обработки
1-й машины
t
21
t
22
t
23
t
24
t
25
t
26
Время обработки
2-й машины
t
п1
t
п2
t
п3
t
п4
Время простоя
2-й машины
Номер изделия j 1 2 3 4 5 6
Время обработки на
1-й машине
t
1j
6 4 6 5 7 4
Время обработки на
2-й машине
t
2j
5 2 3 6 6 7
Построение модели.
Пусть
Пj
t
– время простоя 2-й машины между концом выполнения работы по
обработке
)1( j
-го изделия на 2-й машине и началом обработки
j
-го изделия
на той же самой машине. Тогда суммарное время обработки изделий составит:
m
j
m
j
Пjj
ttT
1
1
2
411229
1
Так как сумма
m
j
j
t
1
2
известна, то надлежит минимизировать
m
j
Пj
t
1
(в нашем
случае
6
Пj
j 1
t 12
.
Построение алгоритма.
Для нахождения оптимальной последовательности порядка обслуживания
«m» требований на 2-х пунктах обслуживания наибольшую известность
получил «алгоритм Джонсона». Включает следующие этапы:
а) поиск наименьшего элемента:
Рассмотрим все
1 j
t
и
2 j
t
и среди них выберем минимальное, т.е.
1j 2 j
min t ,t
.
В нашем случае это
2
2
j
t
.
б) перестановка изделий:
Если выбранная величина находится в 1-й строке (относится к 1-й машине),
то соответствующее изделие помещается на обслуживание в первую
возможную очередь. Если – во 2-й строке (относится ко 2-й машине) – то в
последнюю очередь.
в) исключение из рассмотрения выбранного изделия:
Выбранному изделию присваивается новый номер в очереди, который в
дальнейшем считается занятым. Из последующего рассмотрения оно
исключается.
Далее осуществляется переход к этапу а).
После определения оптимального порядка обработки изделий на машинах
графически определяется время простоя и работы 2-й машины, которое
является минимальным из всех возможных.
Номер изделия
j
1 2 3 4 5 6
Время обработки на
1-й машине
j
t
1
6 4 6 5 7 4
Время обработки на
2-й машине
j
t
2
5
(4)
2
(6)
3
(5)
6
(2)
6
(3)
7
(1)
Номер изделия 4 1 2 4 5 3
Номер изделия
j
6 4 5 1 3 2
Время обработки на
1-й машине
j
t
1
4 5 7 6 6 4
Время обработки на
2-й машине
j
t
2
7 6 6 5 3 2
t
16
=4 t
14
t
15
t
11
t
13
t
12
1
Время обработки
на 1-й машине
t
26=7
t
24
t
25
t
21
t
23
Время обработки
на 2-й машине
Время простоя
на 2-й машине
t
n1
=4 t
n2
=1
Т
min
=23+4+1=34
5.3. Сетевые модели
5.3.1. Основные положения
Чтобы завершить создание продукции или строительство объекта к
определенному сроку, необходимо увязать выполнение работ всеми
исполнителями во времени, по стоимости, ресурсам и другим технико-
экономическим показателям.
Пример: ленточный график, циклограммы и т. д.
Система СПУ – комплекс графических и расчетных методов,
организационных мероприятий с целью моделирования, анализа и оптимизации
плана работ по проектированию или изготовлению некоторого изделия.
Основным плановым документом в системе СПУ является сетевой график –
(сетевая модель, сеть) – безмасштабное графическое изображение
планируемого процесса и отражающее взаимосвязь и последовательность
входящих в него работ.
Объект управления в СПУ – коллектив исполнителей, располагающий
определенными материальными и денежными ресурсами и выполняющий
комплекс работ, направленных на достижение конечного результата в
установленные сроки.
Система СПУ охватывает следующие основные этапы планирования и
управления комплексом работ:
1) выявление работ, которые необходимо произвести в процессе
проектирования или изготовления некоторого изделия и связей между ними;
2) построение сетевого графика процесса на основе 1);
3) определение установления количественных оценок по каждой работе
(время, стоимость, ресурсы);
4) расчет параметров сетевого графика вручную или с помощью ЭВМ;
5) анализ и оптимизация сетевого графика (вручную или с помощью ЭВМ) с
целью получения определенных оптимальных показателей (минимальное время
выполнения работ, минимальная стоимость, минимальная экономия ресурсов;
6) использование сетевого графика как основного элемента инструмента
управления ходом работ.
1
5.3.2. Теоретические основы СПУ
В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого
комплекса работ в виде графа (блок-схемы, структурных соединений).
Граф – это схема, состоящая из заданных точек – вершин, соединенных
определенной системой линий, которые называются ребрами или дугами
графа.
Ребра могут быть ориентированными (снабжены стрелками – дуги) и
неориентированными.
Имеется несколько типов графов:
а) обыкновенный граф (без дуг, петель и кратных ребер);
б) мультиграф (имеются кратные ребра);
в) ориентированный (обыкновенный с ориентированными ребрами);
г) смешанный (схема движения по улице).
а) б) в)
Графы бывают также конечные и бесконечные, пространственные и
плоские.
Основатель теории графов – Л. Эйлер, рассмотревший в 1736 г. задачу о
«кенигбергских мостах».
В основе сетевого графика лежит ориентированный граф. Одной из основных
конструкций графа является путь.
Путь – это последовательность дуг, позволяющих пройти из одной вершины
в другую и каждая дуга которой встречается один раз.
Замкнутый путь называется контуром.
5.3.3. Основные элементы сетевого графика
Сетевой график – это конечный плоский ориентированный граф без
контуров, дуги которого имеют одну или несколько числовых характеристик.
В сетевом графике имеются два основных элемента – работа и событие.
Работами называются любые процессы, действия, приводящие к
достижению определенных результатов (событий).
Продолжительность измеряется в ед. времени (часы, сутки, недели и т. п.).
Количественные показатели: трудоемкость, стоимость, материальные
ресурсы для выполнения.
Различают: действительная работа, ожидание, фиктивная работа.
Действительная работа – работа, требующая затрат времени и ресурсов.
1
Ожидание – работа, требующая затрат времени, но не ресурсов (твердение
бетона, сушка, созревание).
Фиктивная работа – отражает логическую связь между работами и не
требует времени и ресурсов (передача чертежей, программы и т. п.).
Событием называется результат произведенной работы (работ).
Изображается
возведение
стен
А – фундамент залит, В – стены возведены.
А – исходное событие, В – завершающее событие.
5.3.4. Порядок и правила построения сетевых графиков
1) Сеть строится слева направо, от исходного события к завершающему.
2) Длина и наклон стрелок значения не имеют. Однако все они направлены
слева направо.
3) В сети не должно быть контуров (т. е. замкнутых путей).
4) Сетевой график – это плоский график, поэтому стрелки в нем не должны
пересекаться.
5) Пара событий может быть соединена только одной работой (т. е. сетевой
график не может быть мультиграфом). Для устранения этой ситуации вводится
дополнительное событие и фиктивная работа.
: или
6) В сети не должно быть (кроме исходного) хвостовых событий, т. е.
событий, в которые не входит ни одна работа.
7) В сети не должно быть (кроме завершающего) тупиковых событий, т. е.
событий, из которых не выходит ни одна работа.
Нумерация (упорядочение сетевого графика) производится по методу
ранжирования.
2
А В
А В