Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет

им. С. Торайгырова

В.А. Бороденко

ИССЛЕДОВАНИЕ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В СРЕДЕ MATLAB

Павлодар

2011

УДК 681.5(075)

ББК 32.965.4я73

Б83

Рекомендовано к изданию Ученым советом

Павлодарского государственного университета

им. С. Торайгырова

Рецензенты:

В. Ф. Хацевский – доктор технических наук, профессор, зав.

кафедрой АиУ ПГУ им. С. Торайгырова

Е. В. Иванова – доктор технических наук, профессор, зав.

кафедрой электроэнергетики ИнЕУ

П. И. Сагитов – доктор технических наук, профессор, зав.

кафедрой ЭАПУ АУЭС

Б83 Бороденко В. А.

Исследование систем управления в среде MATLAB :

Монография. – Павлодар : Кереку, 2011. – 318 с., ил.

ISBN 978-601-238-158-0

В монографии рассматриваются вопросы компьютерного моде-

лирования линейных систем автоматического управления в среде

MATLAB, в том числе недостаточно описанные или отсутствующие в

справочной и учебной литературе. Она предназначена для студентов,

магистрантов и докторантов специальности «Автоматизация и управ-

ление», а также может быть полезна инженерам, студентам и магист-

рантам других технических специальностей при изучении основ тео-

рии автоматического управления.

УДК 681.5(075)

ББК 32.965.4я73

ISBN 978-601-238-158-0

За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки

ответственность несут авторы и составители

Введение

Для компьютерного моделирования систем регулирования и

управления широко используется программный продукт MATLAB®

фирмы Math Works, Inc., который де-факто стал стандартом в проект-

ных, исследовательских, научных и учебных организациях. Книга со-

держит минимальный объем сведений, достаточный для начала рабо-

ты в среде MATLAB. Описание базируется на версиях MATLAB 7.01,

как базовой, и 7.11 (R2010b) – последней на момент создания книги.

При изложении материала предполагается, что читатель знаком

с курсом теории линейных систем автоматического регулирования

(управления) настолько, что может ставить задачи из этой области и

правильно интерпретировать получаемые результаты. Для тех, у кого

отсутствуют такие знания или в них имеются пробелы, предназначен

первый раздел, который опытным читателям можно пропустить.

Данная книга не является справочником по среде MATLAB, ее

пакеты расширений рассматриваются лишь в той мере и постольку,

поскольку это необходимо для исследования той или иной стороны

функционирования систем автоматического управления (САУ). По-

этому, как правило, описание функций привязано к определенному

моменту анализа или синтеза системы управления. Рассматриваются

элементы классической теории автоматического управления (ТАУ) и

практически не затрагиваются новые направления развития ТАУ.

В книге исследуются вопросы компьютерного моделирования

линейных САУ, недостаточно описанные или отсутствующие в спра-

вочной и учебной литературе. Работниками высшей школы постсо-

ветского пространства обычно решается задача приспособления своих

учебников к реалиям MATLAB. Целью данной монографии является,

скорее, противоположная задача – рассмотреть, насколько программа

MATLAB подходит для сопровождения стандартного курса ТАУ, чи-

таемого на основе учебной литературы СНГ, какие проблемы нужно

решить для ее полнокровного применения.

Книга создавалась, в первую очередь, как подспорье процессу

обучения, в силу чего большее внимание уделяется не числовым зна-

чениям показателей, а процессу их вычисления, особенно, если изуче-

ние таких характеристик предусмотрено в учебных программах, но их

получение не заложено в MATLAB. В качестве примера можно ука-

зать критерии Гурвица, Рауса, Михайлова, метод D-разбиения и т. п. В

работе специально обращается внимание на особенности работы

MATLAB, не отвечающие традиционному подходу специалистов СНГ

к исследованию систем управления.

1 Основы теории автоматического управления

1.1 Классификация систем управления

Кибернетика – наука об управлении. Управление – это органи-

зация некоторого процесса для достижения поставленной цели с по-

мощью специально выбранных воздействий. Управление называется:

оптимальным, если в условиях имеющихся ограничений осуществля-

ется в известном смысле наилучшим образом, и терминальным (ко-

нечным), если его цель – достичь заданной точки в пространстве.

На общей схеме управления (рисунок 1.1) показаны [1]:

Рисунок 1.1

ОУ – объект управления, УУ – управ-

ляющее устройство (регулятор), f(t) –

возмущающее воздействие (возмуще-

ние, помеха), y(t) – выходная или

управляемая величина (отклик, реак-

ция), u(t) – управляющее воздействие

(управление), r(t) – задающее воздей-

ствие (цель, задание, программа).

Все, что не относится к объекту

управления и управляющему устрой-

ству, считается окружающей средой.

Объект управления характеризуется функцией преобразования

(передачи) – законом, по которому входные величины f(t) и u(t) пре-

образуются им в выходную y(t).

В соответствии с желаемым результатом процесса, формируе-

мым с помощью задания r(t), УУ вырабатывает управляющее воздей-

ствие u(t) на ОУ. Возмущения – это факторы, которые нарушают нор-

мальную работу системы и влияние которых необходимо устранить.

Неизмеряемое возмущение называется помехой, возмущение, обу-

словленное технологическим процессом – нагрузкой.

Система без связей a и b называется разомкнутой, только с пря-

мой связью a – системой с управлением по возмущению, с обратной

связью b – системой с управлением по отклонению управляемой ве-

личины от задания, при наличии обеих связей – комбинированной

системой управления. Системы, сравнивающие результат управления

с заданием по цепи b, относятся к системам с обратной связью (по-

английски Feedback Control System) или замкнутым.

Управление называют: автоматическим, если основной техноло-

гический процесс осуществляется полностью без участия человека, и

автоматизированным, если функции управления поделены определен-

ным образом между человеком и ЭВМ.

Совокупность объекта управления и управляющего устройства

образует систему управления (СУ). К автоматическим СУ относятся

САУ – система автоматического управления, САР – система автома-

тического регулирования, САК – система автоматического контроля;

к автоматизированным АСУ – автоматизированная система управле-

ния, АСУП – АСУ производством, АСУТП – АСУ технологическим

процессом, САПР или, по-английски, CAD – система автоматизиро-

ванного проектирования.

Обычно, если не требуется специально разграничить эти систе-

мы, под САУ и САР подразумевают одно и то же. Регулированием на-

зывается частная задача управления, состоящая в отработке задающе-

го воздействия без выбора его характера.

Теория автоматического управления является частью киберне-

тики и теоретической базой автоматизации в любых отраслях науки и

техники. Она изучает принципы построения САУ независимо от их

назначения, конструкции, физической природы. Основным методом

исследования в ТАУ является математическое моделирование – физи-

ческую систему заменяют ее математической моделью, результаты

эксперимента с которой переносят на реальный объект.

Задачи ТАУ: оценка устойчивости и качества регулирования,

исследование чувствительности к изменению внешних и внутренних

параметров систем, синтез оптимальных по структуре или характери-

стикам регуляторов (управляющих устройств), коррекция свойств

систем управления, выбор законов регулирования и методов построе-

ния моделей [1, 6-16].

Не рассматривая возможное деление систем регулирования по

области применения (авиация, энергетика…), стоимости, массе, габа-

ритам и прочим характеристикам, уделим внимание лишь классифи-

кации по особенностям процесса регулирования.

Циклические (детерминированные, безрефлексные, с жестким

управлением) системы выполняют свои функции по заранее заданной

программе независимо от фактического протекания процесса. Они ли-

бо вообще не используют текущую (рабочую) информацию, либо она

имеет чисто вспомогательное значение. Для таких систем требуется

большой объем заранее собранной (априорной) информации об объ-

екте регулирования, так как отсутствует возможность последующей

корректировки поведения.

Ациклические (рефлексные) системы действуют в зависимости

от фактического протекания процесса, на основе непрерывно полу-

чаемой рабочей информации. Они требуют меньшего объема априор-

ной информации и обладают некоторой свободой поведения.

Обычно первые – разомкнутые, не охваченные главной обрат-

ной связью (ОС), вторые – замкнутые отрицательной ОС.

У стабилизирующих систем задающее воздействие постоянно во

времени, регулируемый параметр в пределах допустимой погрешно-

сти поддерживается постоянным при любых возмущениях. В систе-

мах программного управления задающее воздействие изменяется во

времени по заранее выбранному закону (программе). Система называ-

ется следящей, если характер изменения задающего воздействия зара-

нее неизвестен и оно является произвольной функцией времени, не

зависящей от САР. В обоих этих случаях регулируемый параметр в

пределах допустимой погрешности воспроизводит изменения задаю-

щего воздействия.

Системы с управлением по отклонению регулируемой величины

от заданного значения формируют управляющее воздействие в зави-

симости от величины и знака рассогласования r(t) – y(t) (принцип

Ползунова). Системы такого рода реагируют на любые возмущения,

не измеряя их, поэтому их точность выше, а структура обычно проще.

Однако их быстродействие ниже, поскольку они срабатывают уже по-

сле появления реакции объекта на возмущение. Принципиальный не-

достаток – обязательно должно наступить ухудшение в работе объек-

та, чтобы его можно было исправить. Это замкнутые системы с глав-

ной ОС, наличие обратной связи может в некоторых случаях приво-

дить к нарушению устойчивости.

Система с управлением по возмущению (рисунок 1.2, а) реаги-

рует только на появление выбранного возмущающего воздействия, не

универсальна и действует по принципу компенсации возмущения

(принцип Понселе).

а б

Рисунок 1.2

Для таких САР необходимо, чтобы выбранное возмущение x

было основным по влиянию на объект ОУ, поддавалось измерению, а

характеристики возмущений М и объекта были точно известны. Эти

системы имеют высокое быстродействие и позволяют получить нуле-

вую ошибку в процессе управления за счет того, что управление фор-

мируется устройством управления УУ сразу же с появлением возму-

щения (если оно превышает уставку x

) и производится с упреждени-

ем ухудшения состояния объекта. Однако их точность хуже, так как

контролируется лишь часть возможных возмущений, они требуют

тщательного изучения объекта и не обеспечивают контроль правиль-

ности действий.

Комбинированные системы сочетают достоинства обоих рас-

смотренных принципов управления (рисунок 1.2, б). В установивших-

ся режимах или режимах с малыми отклонениями у них превалирует

подсистема регулирования УР, осуществляющая управление по от-

клонению, а в переходных режимах с резкими большими возмуще-

ниями подключается часть УУ с управлением по возмущению.

У статических систем всегда имеется ошибка регулирования в

установившемся режиме, существует точное соответствие между зна-

чениями регулируемой и управляющей величин, между величиной

возмущения и значением рассогласования (ошибки). Статическая ха-

рактеристика отражает зависимость установившейся ошибки от вели-

чины входного воздействия и коэффициента передачи ошибки.

В астатических системах ошибка регулирования остается нуле-

вой при разной величине возмущений благодаря тому, что управляю-

щее воздействие непрерывно возрастает по модулю до тех пор, пока

контролируемое рассогласование не исчезнет. Эти системы точнее, но

требуют времени на устранение ошибки. В момент полной компенса-

ции рассогласования величина управляющего воздействия может

быть произвольной в рамках возможного диапазона.

Непрерывные (аналоговые) системы воздействуют на объект в

течение всего времени работы, используют монотонно изменяющиеся

или непрерывные периодические сигналы. Работа дискретных систем

основана на кусочном изменении (квантовании, дискретизации) сиг-

нала. В импульсных системах осуществляется квантование по време-

ни (управляющее воздействие формируется в течение коротких ин-

тервалов времени, разделенных паузами), в релейных – квантование

по уровню (позиции), в цифровых используются оба способа.

Обычно в составе дискретных линейных систем имеется эле-

мент преобразования непрерывных величин в дискретные при суще-

ственном преобладании линейной части системы.

1.2 Основные математические модели

1.2.1 Дифференциальное уравнение системы

Предметом изучения являются линейные, непрерывные, ста-

ционарные, одномерные системы с сосредоточенными параметрами.

У непрерывных элементов выходная величина изменяется плав-

но при плавном изменении входной величины. Система линейна, если

к ней применим принцип суперпозиции. Он заключается в том, что

реакция системы на любое сочетание воздействий равна сумме реак-

ций на каждое из этих воздействий в отдельности, а изменению вход-

ного сигнала соответствует пропорциональное изменение выходного.

Математический аппарат, используемый для описания линейных

систем, проще, чем для нелинейных. Реально существующие нели-

нейные системы для изучения предварительно линеаризируют. Ли-

неаризацией называется такое упрощение математического описания

объекта, при котором его параметры становятся постоянными величи-

нами или отображаются линейными зависимостями.

У стационарных систем коэффициенты и параметры – это по-

стоянные величины, не являющиеся функциями времени. Характери-

стики любых систем со временем меняются, однако, поскольку мы

проводим анализ в течение короткого отрезка времени, возможные

изменения параметров за этот период считаются несущественными.

Одномерные системы и объекты описываются по методу «один

вход – один выход» посредством передаточной функции (ПФ). Для

многомерных объектов и систем управления с несколькими входами

или выходами обычно используется векторно-матричное описание в

пространстве состояний. Системы, у которых выходные величины за-

висят друг от друга, называются многосвязными.

Наконец, элементы систем (емкость, сопротивление) будем ус-

ловно считать сосредоточенными в одной точке, хотя реально это и не

всегда так. Например, для протяженных линий электропередачи или

водопроводов необходимо учитывать распределение параметров по

длине объекта – это системы с распределенными параметрами.

Поведение линейных, непрерывных, стационарных систем с со-

средоточенными параметрами описывается во времени обыкновен-

ным дифференциальным уравнением (ОДУ) с постоянными коэффи-

циентами a

, b

)(...

)()(

)(...

)()(

txb

txd

btya

tyd





где слева – выходная функция y(t) и ее производные (результат), спра-

ва – входная функция x(t) и ее производные. В этом смысле запись со-

ответствует расположению результата и действий при программиро-

вании, или записи подстрочных индексов передаточной функции.

Данное уравнение можно записать в алгебраизированном виде,

используя оператор (символ) дифференцирования p ≡ d/dt, что позво-

ляет производить с дифференциальным уравнением алгебраические

операции – выносить члены за скобки, складывать, умножать и т. п.

+ a

n-1

+ ... + a

) y(t) = (b

+ b

m-1

+ ... + b

) x(t).

Здесь слева в скобках – собственный оператор объекта, справа –

оператор входа (воздействия). При этом в алгебраизированном урав-

нении используются, как правило, не сами величины x и y, а их абсо-

лютные ∆y/∆x или относительные ∆y/y

, ∆x/x

отклонения от рабочей

точки c координатами (x

, y

Оператор D(p) = a

+ a

n-1

+ ... + a

называется также ха-

рактеристическим, так как характеризует собственные свойства сис-

темы (объекта), а уравнение D(p) = a

+ a

n-1

+ ... + a

= 0 – харак-

теристическим уравнением системы.

Удобным способом записи дифференциального уравнения явля-

ется операторная передаточная функция

apapa

bpbpb







...

)( .

Она отображает действия, которые необходимо произвести с

входной величиной данного объекта, чтобы получить выходную вели-

чину. При этом следует иметь в виду, что оператор p ≡ d/dt лишь об-

легчает запись дифференциальных уравнений, но не дает способа их

решения – y(t) и x(t) остаются функциями времени. Он не обладает

свойством коммуникативности: можно записать p∙y(t), но нельзя y(t)∙p.

1.2.2 Преобразование Лапласа

В ТАУ основным инженерным методом решения дифференци-

альных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени,

является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в

том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменя-

ет более простыми алгебраическими операциями умножения и деле-

ния. Из-за необходимости вычислять корни характеристического

уравнения преобразование Лапласа целесообразно использовать лишь

для систем до четвертого порядка, ОДУ более высокого порядка ре-

шают численными методами на ЭВМ.

Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с

помощью преобразования Лапласа. На первом этапе производят пря-

мое преобразование X(s) = L{x(t)} – от функции времени переходят к

функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ. Здесь

ω = 2πf – это известная из электротехники круговая частота, рад/с.

Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят

собственные значения системы, т. е. корни характеристического урав-

нения D(s) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты

числителей простых дробей, на которые в соответствии с собствен-

ными значениями разлагается реакция. В конце вычислений выпол-

няют обратное преобразование Лапласа x(t) = L

-1

{X(s)} – от функции

переменной s возвращаются к функции переменной времени t.

Общее обозначение описанных операций x(t)÷X(s), где слева

строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа,

прописной буквой – функция комплексного переменного (изображе-

ние), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не

равенства, что будет являться грубой ошибкой!). Практически все

функции электротехники и ТАУ соответствуют требованиям к ориги-

налу (функция кусочно-непрерывна на участке исследования, равна

нулю при t < 0 и ограничена функцией



, где σ

– абсцисса абсо-

лютной сходимости).

Иногда для обозначения оператора дифференцирования p ≡ d/dt

и комплексной переменной s = σ + jω = α + jβ используют один и тот

же символ p, что может приводить к недоразумениям или неверным

результатам. Мы будем далее использовать отдельные обозначения.

Свойства преобразования Лапласа.

- Линейность x(t) + y(t) ÷ X(s) + Y(s).

- Однородность kx(t) ÷ kX(s).

- Подобие



















tx )( .

- Дифференцирование оригинала

)()()()(

)( )()(













0x0xssXstx

0xsXstx





При нулевых начальных условиях (значениях переменных в мо-

мент t = 0

–

, уже существующих в системе) запись упрощается

)()(

)(

sXstx

 .

Дифференцированию оригинала соответствует умножение его

изображения на s в степени, равной порядку дифференцирования

(производной).

- Интегрирование оригинала

Полином, отражающий

начальные условия

}

Принцип суперпозиции