Баженов А.В. Цифровые методы реализации пространственно-временной обработки сигналов в авиационных радиоэлектронных комплексах . Монография
Подождите немного. Документ загружается.
21
Поэтому в отличие от предыдущего примера спектр последова-
тельности (рисунок 1.4, в) связан со спектром исходного сигнала зна-
чительно более сложным образом. Причина заключается в том, что
частота дискретизации Tf
д
/1
=
была выбрана недостаточно большой
и высокочастотные составляющие спектра
)(
Ω
jX
H
попали в область
более низких частот в спектре
)(
Tj
eX
ω
. Такое смещение спектраль-
ных составляющих из одного диапазона частот в другой называют
наложением спектров, а последовательность, соответствующую спек-
тру на рисунке 1.4, в, – представлением сигнала
)
(
t
x
с наложением.
Таким образом, согласно теореме Котельникова аналоговый
сигнал с ограниченным спектром может быть точно (без потери ин-
формации) преобразован в дискретный сигнал и затем точно восста-
новлен по отсчетам этого дискретного сигнала при выполнении усло-
вия (1.7) . Практически любой аналоговый сигнал имеет ограничен-
ный спектр и поэтому может быть заменен при правильно выбранной
частоте дискретизации соответствующим дискретным сигналом.
1.1.3 Связь между дискретными и цифровыми сигналами
Операция квантования и кодирования (аналого-цифрового пре-
образования) состоит в том, что по заданному дискретному сигналу
)
(
nT
x
строится цифровой кодированный сигнал
)(nTx
ц
,
)
(
nT
x
→
)(nTx
ц
так, что
)(nTx
ц
≈
)
(
nT
x
, п = 0,1,… .
Операция цифроаналогового преобразования состоит в том, что
по заданному цифровому кодированному сигналу
)(nTx
ц
строят дис-
кретный сигнал
)
(
nT
x
,
)(nTx
ц
→
)
(
nT
x
так, что
)
(
nT
x
=
)(nTx
ц
.
Операции квантования, кодирования и цифроаналогового пре-
образования не являются точно взаимно обратными, поскольку кван-
тование в общем случае выполняется с неустранимой погрешностью.
Ошибка при переходе от дискретного сигнала к цифровому, т.е.
при выполнении операции квантования, уменьшается при увеличении
количества уровней квантования (уменьшении шага квантования) и
увеличении числа разрядов для представления отсчетов.
Работу аналого-цифрового преобразователя (АЦП) можно пред-
ставить в виде двухэтапного процесса (рисунок 1.5).
22
На первом этапе формируется последовательность
nTt
tsns
=
=
|)()( , в которой отсчеты
)
(
n
s
представлены с неограничен-
ной точностью. На втором этапе значение каждого отсчета
)
(
n
s
пред-
ставляется числом, состоящим из конечного числа двоичных разря-
дов. В результате получается новая последовательность
)(ns
кв
. В ре-
альных АЦП обе операции выполняются совместно, т. е. имеется еди-
ный блок, на вход которого поступает колебание
)
(
t
s
, а на выходе
формируется последовательность
)(ns
кв
. Разность
)()()( nsnsne
кв
−
=
называется шумом квантования или шумом аналого-цифрового пре-
образования.
Как было отмечено в предыдущем параграфе, полоса входного
колебания должна быть ограничена, так как иначе последователь-
ность
)(ns
кв
не будет однозначно представлять
)
(
t
s
. Поэтому анало-
го-цифровому преобразователю обычно предшествует аналоговый
фильтр нижних частот. Желательно, чтобы в полосе сигнала характе-
ристика фильтра имела минимальные пульсации, а подавление со-
ставляющих с частотой, превышающей половину частоты дискрети-
зации, составляло не менее 40 дБ. Например, для обработки речевых
сигналов достаточно использовать фильтр восьмого порядка (с кру-
тизной спада характеристики 48 дБ на октаву) /6/.
В зависимости от особенностей метода квантования последова-
тельности
)
(
n
s
шум квантования может иметь то или иное амплитуд-
ное распределение. Если наименьший шаг квантования равен
Q
, то
взаимосвязь между
)(ns
кв
и
)
(
n
s
для случая округления будет описы-
ваться характеристикой, представленной на рисунке 1.6. Поскольку
число уровней квантования конечно, все отсчеты, выходящие за мак-
)
(
t
s
)
(
n
s
)(ns
кв
Дискретизатор Квантователь
АЦП
Рисунок 1.5 – Структурная схема аналого-цифрового преобразователя
23
симальный )(
макс
Е или минимальный )(
мин
Е уровень, округляются
до этих значений. Обычно такого ограничения сигнала сверху и снизу
стараются избежать путем соответствующего выбора шага квантова-
ния
Q
уровня входного аналогового сигнала. Из рисунка 1.6 видно,
что сигнал ошибки удовлетворяет (за исключением случаев превыше-
ния предельных уровней) соотношению
2
)(
2
Q
ne
Q
≤≤− (1.15)
при любых
n
. Используя достаточно общие предположения, можно
показать, что распределение сигнала ошибки является равномерным.
Рисунок 1.6 - Характеристика квантователя при использовании
округления
На рисунке 1.7 представлен график плотности вероятности
ошибки квантования при округлении /8/.
24
На рисунке 1.8 процесс округления в АЦП иллюстрируется на
примере дискретизации аналогового синусоидального колебания
)
(
t
s
.
В нижней части рисунка 1.8 представлены ошибки квантования каж-
дого из отсчетов
Как и ожидалось, последовательность, представляющая ошибку,
имеет случайный характер.
Рисунок 1.8 - Ошибка квантования синусоидального сигнала
При получении отсчетов )(ns
кв
могут быть использованы и дру-
гие способы квантования. Так, при усечении в качестве отсчета сигна-
ла используется ближайший меньший уровень квантования. На ри-
Рисунок 1.7- Плотность вероятности ошибки квантования при
округлении
25
сунке 1.9 графически представлено соотношение между )(ns
кв
и
)
(
n
s
при усечении. Поскольку результат усечения равен результату
округления, уменьшенному на половину шага квантования, то график
плотности вероятности сигнала ошибки будет таким, как показано на
рисунке 1.10.
Из рисунков 1.7 и 1.10 видно, что ошибка квантования имеет
среднее значение, равное нулю при округлении и
2
/
Q
при усечении,
а ее дисперсия в обоих случаях равна
12/
2
Q
.
Любые аналоговые сигналы всегда сопровождаются шумом того
или иного вида, т. е. обрабатываемая реализация имеет конечное от-
ношение сигнал/шум. Например, при передаче речевого сигнала по
обычной телефонной линии отношение сигнал/шум составляет около
36 дБ, так что никакое увеличение разрядности не позволит получить
в дискретизированном сигнале отношение сигнал/шум большее, чем в
исходном аналоговом сигнале.
Рисунок 1.9 - Характеристика квантователя при использовании усечения
26
Рисунок 1.10 - Плотность вероятности ошибки усечения
Действительно, если шаг квантования
Q
значительно меньше
амплитуды сигнала, младшие разряды отсчетов последовательности
будут всего лишь более точно описывать шум, сопровождающий ана-
логовый сигнал. Отсюда следует, что увеличение числа разрядов
АЦП сверх некоторой величины приводит лишь к увеличению точно-
сти представления входного аналогового шума. Итак, разрядность
АЦП определяется характером преобразуемого сигнала.
Восстановление аналогового сигнала из цифрового осуществля-
ется цифроаналоговым преобразователем (ЦАП).
Цифроаналоговый преобразователь представляет собой устройст-
во, служащее для преобразования последовательности
)
(
n
y
в анало-
говое колебание
)
(
t
y
вида
∑
−
=
n
nTthnyty ),()()(
(1.16)
причем вид интерполирующей функции
)
(
t
h
определяется видом
цифроаналогового преобразователя. Одной из наиболее распростра-
ненных интерполирующих функций
)
(
t
h
является прямоугольный
импульс длительностью
T
секунд. Такие ЦАП обычно называют
цифроаналоговыми преобразователями с интерполятором нулевого
порядка. На рисунке 1.11 изображены типичная последовательность
)
(
n
y
и аналоговый сигнал
)
(
t
y
на выходе ЦАП с интерполятором ну-
левого порядка, рассчитанный по формуле (1.16).
27
Рисунок 1.11 - Входной (а) и выходной (б) сигналы ЦАП
с интерполятором нулевого порядка
Ясно, что выходное аналоговое колебание
)
(
t
y
содержит большое
количество нежелательных высокочастотных составляющих. Для их
подавления после ЦАП обычно включают аналоговый линейный
фильтр нижних частот с постоянными параметрами и частотой среза
не выше
)
2
/(
1
T
Гц, где
T
/
1
— частота дискретизации. Такой фильтр
называют выходным, а комбинацию из ЦАП и выходного фильтра—
восстанавливающим фильтром.
Цифроаналоговое преобразование в принципе позволяет без
ошибки восстановить аналоговое колебание, эквивалентное (в неко-
тором смысле) входной последовательности ЦАП. Из формулы (1.16),
однако, следует, что
)
(
ω
Y
, спектр выходного колебания
)
(
t
y
, не будет
совпадать в полосе
)
2
/(
1
0
NT
f
≤
≤
со спектром
)(
ω
j
D
eY
входной по-
следовательности
)
(
n
y
, так как,
)
(
ω
Y
и
)(
ω
j
D
eY
связаны соотноше-
нием
),()()(
ωω
ω
HeYY
j
D
=
(1.17)
28
где
)
(
ω
H
— спектр
)
(
t
h
.
Для интерполятора нулевого порядка
ω
ω
ω
)2/sin(2
)(
T
H = . (1.18)
Чтобы скомпенсировать искажение спектра, вносимое неравно-
мерностью частотной характеристики ЦАП, последовательность
)
(
n
y
часто предварительно пропускают через цифровой фильтр, ампли-
тудная характеристика которого аппроксимирует функцию
.
)(
1
)2/sin(2
)(
ωω
ω
ω
HT
eG
j
==
(1.19)
Таким образом, последовательное соединение устройств с ха-
рактеристиками
)(
ω
j
D
eY
и Н
)
(
ω
H
в целом обеспечивает равномер-
ную частотную характеристику. На рисунке 1.12 показаны все опера-
ции, необходимые для перехода от последовательности
)
(
n
y
к анало-
говому колебанию
)
(
t
y
со спектром, эквивалентным в полосе
)
2
/(
1
)
2
/(
1
T
f
T
≤
≤
−
спектру исходной последовательности.
Рисунок 1.12 - Структурная схема цифроаналогового преобразователя с
компенсацией частотной характеристики
29
Следует иметь в виду, что цифровой компенсирующий фильтр,
показанный на рисунке 1.12, не обязательно выполнять в виде от-
дельного устройства, его можно включить в состав самой системы
цифровой обработки.
1.2 Основы теории дискретных (цифровых) линейных систем
1.2.1 Линейные системы с постоянными параметрами
Цифровая система обработки сигналов по существу является ал-
горитмом преобразования одной последовательности (называемой
входной) в другую (называемую выходной). Простое представление
системы ЦОС дано на рисунке 1.13. Входная последовательность
обозначена через
)
(
n
x
, а выходная – через
)
(
n
y
. Функционально они
связаны соотношением
)],
(
[
)
(
n
х
n
y
ψ
=
где вид оператора
)
(
•
ψ
зависит от свойств конкретной системы.
Линейная система определяется следующим образом /6/. Если
)(
1
nx
и
)(
2
nx
— некоторые входные последовательности, а
)(
1
ny
и
)(
2
ny
— соответствующие им отклики линейной системы, то при по-
даче на вход последовательности
1 2
( ) ( )
a
х n bх n
+
на выходе образует-
ся последовательность )()(
2
1
nbynay
+
(
a
и
b
—
произвольные посто-
янные).
Рисунок 1.13 - Представление системы ЦОС
Система с постоянными
параметрами (рисунок 1.14) характе-
ризуется тем, что если входной последовательности
)
(
n
x
соответст-
вует выходная последовательность
)
(
n
y
, то входной последователь-
ности )(
0
nnx
−
при любых
0
n
соответствует на выходе последователь-
ность
)(
0
nny
−
.
30
Рисунок 1.14. Представление линейной системы с постоянными парамет-
рами
В линейной системе с постоянными параметрами (ЛПП-система)
входная и выходная последовательности связаны соотношением типа
свертки. Допустим, что
)
(
n
x
— входная, а
)
(
n
y
— выходная последо-
вательности ЛПП-системы, и пусть
)
(
n
h
— отклик системы на еди-
ничный импульс (импульсная характеристика системы). Используя
формулу (1.5),
)
(
n
x
можно записать в виде
∑
∞
−∞
=
−=
m
mnumxnx ).()()(
0
Поскольку
)
(
n
h
является откликом системы на последователь-
ность )(
0
nu , а параметры системы постоянны,
)
(
m
n
h
−
будет откли-
ком на последовательность )(
0
mnu
−
. Из свойства линейности следу-
ет, что откликом на последовательность )()(
0
mnumx
−
⋅
должна быть
последовательность
)
(
)
(
m
n
h
m
x
−
. Поэтому отклик на
)
(
n
x
будет ра-
вен
∑
∞
−∞
=
−=
m
mnhmxny ).()()( (1.20)
Он имеет вид свертки входного сигнала с отчетами импульсной
характеристики системы. Простой заменой переменных равенство
(1.20) может быть преобразовано к виду
∑
∞
−∞
=
−=
m
mnxmhny ).()()( (1.21)
Таким образом, последовательность
)
(
n
h
полностью описывает
ЛПП-систему.