Автор неизвестен-Методические указания к контрольной работе по алгебре и аналитической геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
Задача 1.
Дана система трёх линейных уравнений. Найти решение её методом Крамера.
2x + 3y + z = 1
- x + 4y + 2z = - 1
x - 2z - 3z = - 3
Решение.
Запишем формулы Крамера: ; ; .
Здесь: D - определитель системы;
D
x
– определитель, полученный из определителя системы заменой первого
столбца на столбец свободных членов;
D
y
- определитель, полученный из определителя системы заменой второго
столбца на столбец свободных членов;
D
z
– определитель, полученный из определителя системы заменой третьего
столбца на столбец свободных членов.
В нашем случае имеем:
.
.
.
.
Теперь найдем значения неизвестных:
; ; .
Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и
убедимся в правильности решения.
Задача 2.
Даны координаты вершины пирамиды . Сделать
1. длину ребра .
2. угол между ребрами и
3. площадь грани
4. уравнение прямой
5. уравнение плоскости
6. объем пирамиды
, , ,
Решение:
1. Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю
вектора . Расстояние между точками и
вычисляется по формуле .
Подставляя в эту формулу исходные данные, получим
2. Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:
В нашем случае , . Чтобы найти координаты вектора, из
координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким
образом,
3) Площадь треугольника можно найти, используя свойства скалярного
произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и
численно равна модулю их векторного произведения.
В нашем случае,
= =
=
Имеем,
Итак, площадь грани
4. Уравнение прямой
найдем как канонические уравнения прямой в пространстве:
,
где - координаты направляющего вектора прямой, а -
координаты точки прямой. В нашем случае , а в качестве точки .
Итак, уравнение прямой имеет вид:
.
В общем виде:
или
5) Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки , и :
,
,
.
Упрощая, получим: .
6) Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного
произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно
.
Найдем смешанное произведение векторов , и :
Ответы:
1. длина ребра равна (ед.)
2. угол между ребрами и равен
1. площадь грани равна 11.58 (кв. ед.)
2. уравнение прямой (в каноническом виде ):
3. уравнение плоскости (в общем виде):
4. объем пирамиды
равен 11 (куб. ед.).